系统2:4y≥c,y≥0,y∈R"(提示:用(A,-1)代替4) 推论2下面结论恰有一个成立 1)存在0≤x∈Rn,使得Ax≤c 2)存在0≤y∈Rm,使得Ay≥0,cy<0(提示:以(-1)乘1)、2)中不等式即变成推 论1)。 定理9:( Gordan定理)设A=Ax,则下列二系统有只有一个有解。 系统1:Ax<0.x∈R 系统2:Ay=0,y≥0,y≠0,y∈Rm 证:设系统1有解,即存在x∈R",满足Ax<0,用反证法。假定系统2也有解,即存在y∈Rm, y≥0,y≠0,使Ay=0,这时由Ax<0,及y≥0,y≠0,可得y4x<0,即xAy<0,因之 Ay≠0,矛盾,故系统2无解 反之,若系统1无解,令S=4x=yS2=<0则S与s是非空凸集,S∩S2=④ 从而由定理7,存在向量p≠0,使得pAx≥pz(Vx∈R"),当z→0时,得pAx≥0 (x∈R"),又由z0及其任意性,立知p≥0,令x=A(-p)=-Ap得 p4x=-pAp=-4p≥20,所以Ap=0,可见p是系统2的解 §4凸函数 凸函数定义 定义4.设∫(x)是定义在非空凸集ScR"上的函数,若x,y∈S,不等式 ∫(x+(1-)y)≤4(x)+(1-4)f(y) 对于0≤A≤1的一切λ都成立,则称f(x)为S上的凸函数。若对0<A<1的一切,当 x≠y时, f(x+(1-A)y)<4(x)+(1-)f(y) (24) 总成立,则称f(x)是S上的严格凸函数。 若-f(x)是凸(严格凸)函数,则称f(x)为凹(严格凹)函数,对于凹函数类(23)、(24)161 系统 2： T m A y  c, y  0, y  R （提示：用 (A I) T , − 代替 T A ）。 推论 2 下面结论恰有一个成立： 1）存在 n 0  x  R ，使得 Ax  c 。 2）存在 m 0  y  R ，使得 A y  0, c y  0 T T （提示：以 (−1) 乘 1）、2）中不等式即变成推 论 1）。 定理 9： （Gordan 定理）设 A=Am×n,则下列二系统有只有一个有解。 系统 1： Ax  0, n x  R . 系统 2： A y = 0, T y  0， y  0， m y  R . 证： 设系统 1 有解，即存在 n x  R ，满足 Ax  0, 用反证法。假定系统 2 也有解，即存在 m y  R ， y  0， y  0 ，使 A y = 0, T 这时由 Ax  0, 及 y  0 , y  0 ,可得 y Ax  0, T 即 x A y  0, T T 因之 A y  0, T 矛盾，故系统 2 无解。 反之，若系统 1 无解，令  ,  0, S1 = y Ax = y S2 = z z  则 S1 与 S2 是非空凸集， S1  S2 =  ， 从而由定理 7，存在向量 p  0 ,使得 p Ax p z T T  （  n x  R ），当 z →0 时，得 p Ax  0 T （  n x  R ），又由 z<0 及其任意性，立知 p  0 ，令 x A p A p T T = (− ) = − 得 0 2 p Ax = − p AA p = − A p  T T T T ，所以 A p = 0 T ，可见 p 是系统 2 的解。 §4.凸函数 一、凸函数定义 定义 4. 设 f (x) 是定义在非空凸集 n S  R 上的函数,若 x, y  S, 不等式 f (x + (1− ) y)  f (x) + (1− ) f ( y) (23) 对于 0   1 的一切  都成立,则称 f (x) 为 S 上的凸函数 。若对 0   1 的一切  ，当 x  y 时， f (x + (1− ) y)  f (x) + (1− ) f ( y) （24） 总成立，则称 f (x) 是 S 上的严格凸函数。 若 − f (x) 是凸（严格凸）函数，则称 f (x) 为凹（严格凹）函数，对于凹函数类（23）、（24）