p2|=1,使超平面H(p,a2)严格分离点y和S闭包,即 x> ,Vx∈S闭包 由于{是有界序列,故可设p→P(→∞),于是便有 px≥p2y vx∈S闭包。 证毕。 推论:若S是非空凸集,点yS,则必存在p≠0,P∈R",使得x∈S闭包有 Py≤pX 定理7:若S1和S是R"中两非空凸集,S1∩S2=Φ,则存在一非0向量p,使x∈S1闭包,vy∈S2 闭包,有 py≤P x 证:令S=S-S==x-y,x∈Sy∈S2)由定理6之推论知存在p∈R",p≠0,使v∈S 有p0≤p,即有py≤px,Wx∈S1,vy∈S2,于是亦有 s甲p{y∈S2}≤nf{px∈S} 故对所有x∈S闭包,y∈S2闭包,有py≤px 证毕。 作为分离定理的应用,现证明下面两个择一性定理,它们在数学规划中很有用。 定理8:( Farkas定理)若A是m×n矩阵,c是n维列向量,则下面二系统有且只有一个有解。 系统1:Ax≤0,c2x>0,x∈ 系统2:Ay=c,且y≥0,y∈Rm 证:若系统2有解,即存在y∈Rm,y≥0,使得Ay=c,如果存在x∈R"使得Ax≤0,则 c'x=(4y)3x=yAx≤0,故系统1无解。 若系统2无解,作集合S={=4yy20,则CS,显然S是非空闭凸集,由定理5 知存在向量p≠0,使得V∈S有pc<pz,因0∈S,故pc<0,从而 c(-p)>0,又由p2==pAy>pc,而y≥0可任取,故必pA≥0,即 A(-p)≤0,从而-p是系统1的解 推论1下面二系统有且只有一个有解: 系统1:Ax≤0,x≥0,cx>0,x∈R 160160 = 1 k p ，使超平面 ( , ) k k H p a 严格分离点 k y 和 S 闭包，即 k Tk Tk p x  p y ， xS 闭包 由于   k p 是有界序列，故可设 p → p(i → ) i k ，于是便有 p x p y T T  ， xS 闭包 。 证毕。 推论： 若 S 是非空凸集，点 y  S ，则必存在 p  0， n p  R ，使得 xS 闭包有 p y p x T T  。 定理 7：若 S1 和 S2 是 n R 中两非空凸集， S1  S2 =  ，则存在一非 0 向量 p，使 S1 x 闭包， S2 y  闭包，有 p y p x T T  证： 令 S=S1-S2=z z = x − y, xS1 , y S2  由定理 6 之推论知存在 n p  R ， p  0 ,使 z S 有 p p z T T 0  ，即有 p y p x T T  ， S1 x ， S2 y  ，于是亦有 supp y y S2  inf p x x S1 T T    故对所有 S1 x  闭包， S2 y  闭包，有 p y p x T T  。 证毕。 作为分离定理的应用，现证明下面两个择一性定理，它们在数学规划中很有用。 定理 8：（Farkas 定理）若 A 是 m×n 矩阵，c 是 n 维列向量，则下面二系统有且只有一个有解。 系统 1： Ax  0, c x  0 T ， n x  R . 系统 2： A y c, T = 且 y  0， m y  R . 证： 若系统 2 有解，即存在 m y  R ， y  0 ，使得 A y c, T = 如果存在 n x  R 使得 Ax  0, 则 c x T = (A y) x = y Ax  0, T T T 故系统 1 无解。 若系统 2 无解，作集合 S = {z z = A y, y  0} T ，则 cS ，显然 S 是非空闭凸集，由定理 5， 知存在向量 p  0 ，使得 z S 有 p c p z T T  ，因 0S ，故 p c  0 T ，从而 c (−p)  0 T ，又由 p z p A y p c T T T T =  ，而 y  0 可任取，故必  0 T T p A ，即 A(− p)  0 ，从而 − p 是系统 1 的解。 推论 1 下面二系统有且只有一个有解： 系统 1： T n Ax  0, x  0, c x  0, x  R