x=x+ cx=∑(a1+Ec)x 注意上式右端是x2,…,xm的凸组合,且其中至少有一个系数是0。证毕 R中有限个点x,…,x的凸包称为一个多胞形;若x xk+-x1是线性无关的(意 味k<n+1),则此凸包称为具有顶点x1…x+的一个单纯形。 设S、S2∈R"是非空集合,H=p==a为超平面,如果x∈S,vy∈S2都有 px≥a,py≤a,则称H(p,a)分离S、S2(若二不等式严格成立,则称严格分离)。 定理5设ScR"是非空闭凸集,且原点0gS,则必存在超平面H(P,a)严格分离0和S.即存在 p≠0,a>0使x∈S,px>a>0 证:取集合T=x∈R"≤a使得S⌒T≠d。由于S∩T是有界闭集,所以连续函数 f(x)=在S∩T上某点x达到最小值,即0<1|s|xeS∩r 注意到T是以原点为中心的超球的特性:若x∈T<则必有x∈T故知Wx∈S,均有 2|,由于S的凸性,又有 Ax+(1-A)x∈S0≤4≤1, 从而 Ax+(1-4)x° 由此可得 2(x-x9)(x-x9)+2ax"(x-x9)≥0 此式对充分小的正数亦成立,故必有 xx≥xx 取a=,p=x,便有px>a>0 证毕。 定理6(承托超平面定理)若S是一个非空凸集,y是S的边界点,则存在非0向量p∈R",使对 x∈S闭包,有py≤px,亦即存在超平面H(p,a)它通过点y,且使S包含在它的某半闭空 间之中(称H为凸集S的承托超平面) 证:因y是集合S的边界点,故存在点列y≠S闭包y→y(k→>∞),由定理5可找到p∈R 159159 = +  = = m i i i x x c x 1  = + m i i i i c x 1 (  ) 注意上式右端是 m x , , x 1  的凸组合，且其中至少有一个系数是 0。 证毕。 n R 中有限个点 1 1 , , k+ x  x 的凸包称为一个多胞形；若 2 1 1 1 x x , , x x k − −  + 是线性无关的（意 味 k  n +1 ），则此凸包称为具有顶点 1 1 , , k+ x  x 的一个单纯形。 设 n S1、S2  R 是非空集合， H z p z a T = = 为超平面，如果 1 2 xS , yS 都有 p x a p y a T T  ,  ，则称 H(p, a) 分离 S1、S2 （若二不等式严格成立，则称严格分离）。 定理 5 设 n S  R 是非空闭凸集，且原点 0S ，则必存在超平面 H ( p, a) 严格分离 0 和 S .即存在 p  0， a  0 使 x  S, p x  a  0. T 证： 取集合 T = x  R x   n 使得 S T   。由于 S T 是有界闭集，所以连续函数 f (x) = x 在 S T 上某点 0 x 达到最小值，即 0 , , 0  x  x x  S T 注意到 T 是以原点为中心的超球的特性:若 , , . 0 0 x T x  x 则必有x T 故知 xS ，均有 . 0 x  x ，由于 S 的凸性，又有 (1 ) ,0 1, 0 x + −  x  S    从而 (1 ) . 0 0 x + −  x  x 由此可得 ( ) ( ) 2 ( ) 0 2 0 0 0 0 x − x x − x + x x − x  T T   此式对充分小的正数  亦成立，故必有 0 0 0 x x x x T T  取 0 2 0 2 1 a = x , p = x ，便有 p x  a  0. T 证毕。 定理 6 （承托超平面定理）若 S 是一个非空凸集，y 是 S 的边界点，则存在非 0 向量 n p  R ，使对 xS 闭包，有 p y p x T T  ，亦即存在超平面 H ( p, a) 它通过点 y，且使 S 包含在它的某半闭空 间之中（称 H 为凸集 S 的承托超平面）。 证： 因 y 是集合 S 的边界点，故存在点列 y S k  闭包 y → y(k → ), k 由定理 5 可找到 k n p  R