证:充分性显然(只需取k=2)。现证必要性(数学归纳法) k=2时,结论显然成立,假定k=m时,结论成立,令x=∑λ,x, 其中,≥0∑λ=1,不妨设mn≠1,于是上式可写成 x=(1-am4Dy+amx m+l 其中 ,,十 注意 ≥0,i=1, =1,故由归纳假设y∈S,因S为凸集,必有x∈S 证毕 定理3设S1,S2是凸集,则下列集合亦然 (1)S+S2=(=x+yx∈S1,y∈S2} (2) |=x-y,x∈S1,y∈ S (3)S==x∈S,∈R (4)任意多个凸集之交集仍为凸集。(证明留给读者) 设集合ACR",包含A的最小凸集被称为A的凸包,记作cOmA。由定理3之(4)可知,A 的凸包就是所有包含A的凸集之交。由定理2,A的凸包是A的一切凸组合的集合。换言之 x∈cOm当且仅当x=∑1x2,∑1=1,λ20,x∈Ai=1…k。进一步还有以下定理 定理4设集合AcR",则cO4中的每一点可用A中至多n+1个点的凸组合来表示。 证:假设 xE comA,x=∑ax,∑a,=1a1>0,x∈A ,如果m>n+1,只 须证明x也可以用m-1个点的凸组合表示。事实上,因m-1>n,故存在不全为零的实数 使c1(x2-x") 令Cn=-( +cm-1),则c1x+…+cmxm=0,c1+…+Cn=0。选取正数E,使得 an+B≥0,i=1…,m且a+BCb=0,1≤≤m 则有 158158 证： 充分性显然（只需取 k = 2 ）。现证必要性（数学归纳法）。 k = 2 时，结论显然成立，假定 k = m 时，结论成立，令  + = = 1 1 m i i i x  x ， 其中， o, i  1 1 1  = + = m i i ，不妨设  m+1  1 ，于是上式可写成 1 1 1 (1 ) + = − + + + m m m x  y  x ， 其中 + + − = + 1  1 1 1 y x  m  m m m x 1−  +1  。 注意 0 1 1  − m+ i   ，i = 1,  ,m，= + = − m i m i 1 1 1 1   ，故由归纳假设 y  S ，因 S 为凸集，必有 xS ， 证毕。 定理 3 设 1 2 S ,S 是凸集，则下列集合亦然： （1） S1 + S2 = z z = x + y, xS1 , y S2  （2） S1 − S2 = z z = x − y, xS1 , y S2  （3）   1 1 1 S = z z = x, x  S ,  R （4）任意多个凸集之交集仍为凸集。（证明留给读者） 设集合 n A  R ，包含 A 的最小凸集被称为 A 的凸包，记作 convA 。由定理 3 之（4）可知， A 的凸包就是所有包含 A 的凸集之交。由定理 2， A 的凸包是 A 的一切凸组合的集合。换言之， xconvA 当且仅当 , 1 = = k i i i x  x 1, 1 = = k i i 0, x A, i i   i = 1,  , k 。进一步还有以下定理： 定理 4 设集合 n A  R ，则 convA 中的每一点可用 A 中至多 n +1 个点的凸组合来表示。 证： 假设 xconvA， , 1 = = m i i i x  x 1, 1 = = m i  i 0, x A, i  i   i = 1,  ,m ，如果 m  n +1 ，只 须证明 x 也可以用 m−1 个点的凸组合表示。事实上，因 m−1 n ，故存在不全为零的实数 1 1 , , m− c  c ，使 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 − + + − = − − m m m m c x x  c x x 。 令 ( ) m = − 1 + + m−1 c c  c ，则 0 1 1 + + = m m c x  c x ，c1 ++ cm = 0 。选取正数  ，使得 +  0, i i  c i = 1,  ,m, 且 i + c i = 0,1 i 0  m 0 0   ， 则有