()=∑ af(X+aP a(x, +AnP,=vf(r+aP)'P a2 o(k ox,+Ap) FRiar +Ap )a(x +dp)2p=pv/(+/P)P 定理1设∫:R"→R具有二阶连续偏导数,则 f(X+P)=f()V()'P+-PV2(X)P (19) 其中=X+P,0<0<1(X在X和X+P的连线上) 证:设o(4)=f(X+AP),按一元函数的 Taylor展开式把o(4)在λ=0展开,并注意(17)(18)式得 9(4)=9(0)+'(0)元+g°(4)2,0<6<1 令元=1,即得(19),公式(19)还可写成 f(X +P)=f(X)+v()P+P/(X)P+o(P) (20) 若vf(X)连续,则中值公式成立(考虑∞(1)-9(0)) f(X+P)-f(X)=Vf(X+6P)P,0<6<1 3凸集 定义3集合ScR"称为凸的,如果x,x2∈S总有 ax2+(1-a)x2∈S,0≤a≤1 (21) 这表明,对于凸集中的任意两点,连结这两点的直线段仍位于此集合之内。 设ScR是凸集,称x为凸集S的顶点,如x2,x2∈S及0<a<1,x=ax2+(1-a)x2 则必有x=x1=x2。这表明,集合S的顶点不能位于S中的任何直线段的内部。 例R"中的超平面:H={px=a,x∈R"}是一个凸集,其中非零向量P称为超平面的法向 量,a是实数。由超平面H所决定的闭(开)半空间H={Px2ax∈R (H={xP2x<a,x∈R"})均为凸集。 定理2集合ScR"是凸集的充要条件是:对于任意正整数k≥2,若点x'∈S,=1…,k,则它们 的凸组合 λ1x2+…+λx∈S (22) 其中,A1≥0, 15157 p f X P P x p f X P T n i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) 1      =  +  +  +  = = P P P f X P P x p x p f X P p x p f X P d d T j i n i n j j j i i n i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ 2 1 1 2 1          =  +  +  +  + =  +  +  =   = = = 定理 1 设 1 f : R R n → 具有二阶连续偏导数，则 f X P f X f X P P f X P T T ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 + = +  +  （19） 其中 X = X + P,0    1 （ X 在 X 和 X+P 的连线上） 证：设 () = f (X + P) ，按一元函数的 Taylor 展开式把 () 在  = 0 展开，并注意（17）（18）式得 ( ) ,0 1 2 1 ( ) (0) (0) 2   =  +  +        令  = 1 ，即得（19），公式（19）还可写成 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 f X P f X f X P P f X P o P T T + = +  +  + (20) 若 f (X ) 连续，则中值公式成立（考虑 (1) −(0) ）: f (X + P) − f (X ) = f (X + P) P,0    1 T 3.凸集 定义 3 集合 n S  R 称为凸的，如果 x x  S 1 2 , 总有 x + − x  S 1 2  (1 ) ，0  1 （21） 这表明，对于凸集中的任意两点，连结这两点的直线段仍位于此集合之内。 设 n S  R 是凸集，称 x 为凸集 S 的顶点，如 x x  S 1 2 , 及 0  1， 1 2 x =x + (1−)x ， 则必有 1 2 x = x = x 。这表明，集合 S 的顶点不能位于 S 中的任何直线段的内部。 例 n R 中的超平面：   T n H = x P x = a, x  R 是一个凸集，其中非零向量 P 称为超平面的法向 量， a 是实数。由超平面 H 所决定的闭（开）半空间   T n H = x P x  a x  R + , （   T n H = x P x  a x  R − , ）均为凸集。 定理 2 集合 n S  R 是凸集的充要条件是：对于任意正整数 k  2 ，若点 x S,i 1, , k, i  =  则它们 的凸组合 x x S k  ++ k  1 1 （22） 其中， 0, 1 1   = = k i i i