f(r+ P)-f(r)=LP+o(PD (11) 易证L(x)=(9(x2….9(x2 (12) 称L(x0)为f(x)在点x0的导数或梯度,记为v(x°),于是(11)变成 f(X°+P)=F(X)+V(X°)yP+oP (13) 定义(3)设F:ScR"→R,且x∈S,如果F(X)的所有分量f(x)i=1.…,m在x0点都可微,则称 向量值函数F(X)在x点可微,即 f(x)-Vf(x°)P 它等价于 lm F(x +P)-F(r)-VF()P 0 其中称VF(x°)为向量值函数F(X)在点x0的导数或 Jacobi矩阵,其具体形式如下: 1(X)骈.. VF(X on(x)an(x)an(X°) 令g(x)=V(x)=(…,y,则gx定义了一个在区域ScR→的向量值函数,若gX)于S上可 微,则对于多元函数f(X)而言,它便在S上二次可微,Vg(x)就是fx)的二阶导数,由(15)得: a(x) a(x a(x) Vg(X)=Vf(x)= (16) a(x) 8/( a(x) 故f(x)的二阶导数是n阶矩阵,称(16)为f(x)的Hese矩阵,记为H(x)=v2f(x) 当八(x)的所有二阶偏导数连续时,O=可,/=1… ax, ar, ar ax, 此时H(X)对称 例1 次函数 f()=XAX+bx+C=2a,xx+2bx,+C 其中,A是对称矩阵,则Vf(x)=Ax+b,V2f(x)=A 例2已知o(x)=f(X+P),其中∫:R"→R,g=R2→R,P∈R",求证 o'(a)=V(X+AP)'P o'()=PV(+AP)P 证:由连锁规则得 56156 ( ) ( ) ( ) 0 0 f X P f X L P P T + − = + （11） 易证 T n x f X x f X L X ) ( ) , , ( ) ( ) ( 0 1 0 0     =  （12） 称 ( ) 0 L X 为 f (X ) 在点 0 X 的导数或梯度，记为 ( ) 0 f X ，于是（11）变成 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f X P F X f X P o P T + = +  + （13） 定义（3）设 n m F : S  R → R ，且 X S 0 ，如果 F(X)的所有分量 f i (X),i =1,  ,m 在 0 X 点都可微，则称 向量值函数 F(X)在 0 X 点可微，即 i m P f X P f X f X P T i I i P 0 1, ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 = = + − −  → (14) 它等价于 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 = + − −  → P F X P F X F X P P 其中称 ( ) 0 F X 为向量值函数 F(X)在点 0 X 的导数或 Jacobi 矩阵，其具体形式如下：                              = n m m m n x f X x f X x f X x f X x f X x f X F X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 1 0      (15) 令 T n x f x f g(x) f (x) ( , , ) 1     =  =  ，则 g(x)定义了一个在区域 n n S  R → R 的向量值函数，若 g(X)于 S 上可 微，则对于多元函数 f(X)而言，它便在 S 上二次可微， g(X ) 就是 f(X)的二阶导数，由（15）得：                                    =  = 2 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 2 1 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x f X x x f X x x f X x x f X x x f X x f X g X f X      (16) 故 f (X ) 的二阶导数是 n 阶矩阵，称(16)为 f (X ) 的 Hesse 矩阵，记为 ( ) ( ) 2 H X =  f X 当 f (X ) 的所有二阶偏导数连续时， i j n x x f x x f i j j i , , 1, , 2 2 =     =    此时 H (X ) 对称。 例1， 二次函数 f X X AX b X C a x x b x C i i j i i i j i j T T = + + =  +  + 2 , 1 2 1 ( ) 其中，A 是对称矩阵，则 ( ) , ( ) . 2 f x = Ax + b  f x = A 例 2 已知 () = f (X + P) ，其中 1 f : R R n → ， 1 1  = R → R , n P  R ,求证: f X P P T () =  ( +  ) (17) P f X P P T ( ) ( ) 2   =  +  (18) 证：由连锁规则得：