第九章欧几里得空间 §1.定义与基本性质 教学目标掌握欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式，度量矩阵的概念。 教学重点：欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式。 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设V是实数域R上的一个线性空间，若在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 (a,B),它具有下列性质： )(a,B=(B,a 2)(ka,B)=k(a.B). 3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y5 4)(a,a)20,(a,a)=0a=0. 这里a,B,y是V中任意向量，k是任意实数，则称V为欧几里得空间. 例1.在R”中对任意向量 a=(a,4,.an)bB=(6,b2,.b) (a.B)=ab+ab+.+ab (1) 定义 则易知()是内积，从而R”是欧几里得空间，今后仍用R”表示它 例2.在[a,上所有实连续函数全体所成线性空间C[a,]中.定义 (fx,g(x》=fxg(x)d 2 由定积分性质不难证明(2)是内积从而C[a,b]构成欧几里得空间 下面指出，欧几里得空间的一些基本性质，由定义1中1)可得 2)(a,kB)=(kBa)=k(B,a)=(a,B): 第九章 欧几里得空间 §1.定义与基本性质 教学目标: 掌握欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式，度量矩阵的概念。 教学重点: 欧几里得空间的定义，与内积相关的基本概念、基本公式。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 V 是实数域 R 上的一个线性空间，若在 V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 ( , ),   它具有下列性质： 1) ( , ) ( , );     = 2) ( , ) ( , ); k k     = 3) ( , ) ( , ) ( , );        + = + 4) ( , ) 0,( , ) 0 0.       =  = 这里    , , 是 V 中任意向量， k 是任意实数，则称 V 为欧几里得空间. 例1. 在 n R 中.对任意向量 1 2 1 2 ( , , ), ( , , ) n n   = = a a a b b b 1 1 2 2 ( , ) n n   = + + + a b a b a b (1) 定义 则易知(1)是内积，从而 n R 是欧几里得空间，今后仍用 n R 表示它. 例 2．在 a b,  上所有实连续函数全体所成线性空间 C a b  ,  中.定义 ( ( ), ( )) ( ) ( ) b a f x g x f x g x dx =  (2) 由定积分性质不难证明(2)是内积.从而 C a b  ,  构成欧几里得空间. 下面指出，欧几里得空间的一些基本性质，由定义 1 中 1)可得 2) ( , ) ( , ) ( , ) ( , );         k k k k = = =