3)(a,B+Y）=(B+,a)=(B,a)+(y,a)=(a,B)+(a,) 由条件4)可知，对任意向量a,√(a,a)有意义.于是我们引进 定义2非负实数√a,a)称为向量a的长度，记为d, 由此定义可知，对a∈V,k∈R有 ka=a ⊙ 长度为1的向量称为单位向量若口去0则由)5知·回“线是一个单位向最，如此得到单位向 量的方法称为将α单位化. 为了在一般欧几里得空间中引进夹角的概念，我们先给出 柯西一布涅柯夫斯基不等式：对Va,BeV有 (a.B)saB 当且仅当α，B线性相关时，等号成立 证明B-0时，结论显然成立以下设B≠0.令1为实变量，则由条件(4)知，对1∈R有 (a+1B,a+tβ)20.即 (a,a)+2(a,B)1+(B+B)r2≥0 由一元二次实函数的性质可知 4[(a,B)-4(a,aBB≤0. 由此即得(a,B)≤(a,a(B,).当a,B线性相关时，等号显然成立.反之，若等号成立.则必有 (a+iB,a+tB)=0.由条件4)有a+tB=0.故a,B线性相关 由(4)可导出许多著名的不等式例如对例1中的空间R”,(4)式即 22c2 而对于例2中的空间C[a,b],(4式即 rsd3) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).               + = + = + = + 由条件 4)可知，对任意向量    , ( , ) 有意义.于是我们引进 定义 2 非负实数 ( , )   称为向量  的长度，记为  . 由此定义可知，对      V k R , 有 k k   = (3) 长度为 1 的向量称为单位向量.若   0. 则由(3)易知， 1    就是一个单位向量，如此得到单位向 量的方法称为将  单位化. 为了在一般欧几里得空间中引进夹角的概念，我们先给出 柯西—布涅柯夫斯基不等式：对    , V 有 ( , )      (4) 当且仅当  , 线性相关时，等号成立. 证明  = 0 时，结论显然成立.以下设   0. .令 t 为实变量，则由条件(4)知，对  t R 有 ( , ) 0.     + +  t t 即 2 ( , ) 2( , ) ( ) 0       + + +  t t (5) 由一元二次实函数的性质可知.   2 4 ( , ) 4( , )( , ) 0.       −  由此即得 ( , ) ( , )( , ).        .当  , 线性相关时，等号显然成立.反之，若等号成立.则必有 ( , ) 0.     + + = t t .由条件 4)有   + = t 0 .故  , 线性相关. 由(4)可导出许多著名的不等式.例如.对例 1 中的空间 n R ，(4)式即 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = =      而对于例 2 中的空间 C a b  , ，(4)式即 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     