《数学分析(1,2,3)》教案 例:求由二=xy和二=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围空间区域的体积 例:求二次积分l=[x SIn y du 注意:最外层积分的积分限一定是常数。 二用极坐标计算二重积分 也有一种情形,函数f在D上可积,但无论采用哪种积分次序都“算不出来” 例:=』ed,D=(xy)x2+y2≤a2 在定积分中,换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式,用于简化 积分区域或被积函数。 作极坐标变换:x= rose,y=rsin0(0≤r<+∞,0≤0≤2x)。 在变换下,函数∫(x,y)→f(rcos,rsin),dd→> rare,区域D→D。二重积分化为 [/s(x, ykdrdy=f(rcos e, rsin e)rdrde 说明:①注意,∫虽经极坐标交换,但又变成极坐标系下二重积分,这是如何计算极坐标系下二重积分, 在极坐标下,二重积分一样可以化为二次积分来计算,下面分情况讨论之 情形1若D={()()≤r≤h()≤b≤B2},(0),(0)为,B2上的连续函数,则称之为 型区域。这时,可将之化为下面形式: f(rcos0, rsinO)rdrde= def(rcos, rsin ])rdr 情形2若D={(,O)()≤6≤(,sr≤n},其中(r),B2()∈CF,n21(r型区域),此时有 f(rcos e, sine)rdrde= dr f(rcosO, rsin O)rde 情形3若极点O是积分区域的内点,则交换后的区域为:D={()10≤rsr(6),0≤6≤2} 此处r=()是D的边界曲线,J(rcos,sn)rhde= jo deff(rcos, sino)rdr 情形4若积分区域的边界曲线r=r(6)通过极点O时,应先求出极径,继使r()=0的两个角度61,日2, 此时有: cosB, sino)rdrde= de. f(coso, rsin O)rdr ②何时使用极坐标变换?当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为f(x2+y2)时,采用极坐标 交换来计算往往简便得多。 20-2《数学分析（1，2，3）》教案 20-2 例：求由 z xy = 和 z x y = + ， x y + =1， x = 0 ， y = 0 所围空间区域的体积 V 。 例：求二次积分 1 0 x sin x y I dx dy y =   注意：最外层积分的积分限一定是常数。 二 用极坐标计算二重积分 也有一种情形，函数 f 在 D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例： 2 2 ( ) x y D I e dxdy − + =  ， D =  2 2 2 ( , ) | x y x y a +  在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化 积分区域或被积函数。 作极坐标变换： x r y r = = cos , sin   (0 ,0 2 )   +   r   。 在变换下，函数 f x y f r r ( , ) ( cos , sin ) →   ， dxdy rdrd →  ，区域 ' D D → 。二重积分化为 ( ) ( ) ' , cos , sin D D f x y dxdy f r r rdrd =      。 说明：①注意， D f  虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分， 在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之： 情形 1 若 ' D =( , ) | ( ) ( ), r r r r       1 2 1 2     ， 1 r ( )  ， 2 r ( )  为[ 1 ， 2 ]上的连续函数，则称之为  型区域。这时，可将之化为下面形式： ' ( cos , sin ) D f r r rdrd     = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r d f r r rdr          情形 2 若 ' D =( , ) | ( ) ( ), r r r r r r     1 2 1 2      ，其中 1  ( )r ， 2  ( )r  C[ 1 r ， 2 r ]（ r 型区域），此时有 ' ( cos , sin ) D f r r rdrd     = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r r r dr f r r rd        情形 3 若极点 O 是积分区域的内点，则交换后的区域为： ' D =( , ) | 0 ( ),0 2 r r r          此处 r = r ( )  是 ' D 的边界曲线， ' ( cos , sin ) D f r r rdrd     = 2 ( ) 0 0 ( cos , sin ) r d f r r rdr        情形 4 若积分区域的边界曲线 r =r ( )  通过极点 O 时，应先求出极径，继使 r ( )  =0 的两个角度 1 ， 2 ， 此时有： ' ( cos , sin ) D f r r rdrd     = 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) r d f r r rdr         。 ②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为 2 2 f x y ( ) + 时，采用极坐标 交换来计算往往简便得多