《数学分析(1,2,3)》教案 例:|=」leho,D=(xy)lx2+y2sa2 sin√x2+y2 dxd 例:求 三二重积分的一般变量替换 计算二重积分,除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。 定理2设∫(x,y)是Xy平面的闭区域D上的连续函数,又设 u=u(x,y), v=v(x, y) 在D上有关于x和y的连续偏导数,通过()把D变为D,并且变换(+)是一对一的,又设J=Du≠0 D(x,y) f(, y)dxdy=lf(x(u,v),y(u,v) D(x, y) dudy。 注:(1)在定理中,假设J≠0,但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于0。或只在 小区域上等于0而在其他点上非0,此时上述结论能成立。 x,y)cose -sing (2)特例:x=rcos6,y=rsin,此 a(r0)sing rose F,根据①,有 f(x, y)dxdy=ll f(rcos 0, sine)rdxdy (3)在具体问题中,选择变换公式的依据有两条:(i)使交换的函数容易积分;(ⅱ)使得积分限容易安排。 例:求椭球体+2+=≤1的体积 例:求出由抛物线y2=px,y2=qx(0<p<q)以及双曲线xy=a,xy=b(0<a<b)所围区域的面积 §2三重积分的计算 化三重积分为三次积分 设A=[ab]×c,d]×[e,门是R中的(闭)长方体,f是定义在A上的有界函数。那么∫在A上的三重积 分可以化为先对z,后对y,x的积分: ∫xy:)dd∫(xy:k 或y→>x→z的积分 f(x,y, z)dxdydz dx. f(x,y, =)dy 20-3《数学分析（1，2，3）》教案 20-3 例： 2 2 3( ) x y D I e dxdy − + =  ， D =  2 2 2 ( , ) | x y x y a +  。 例：求 2 2 2 2 2 2 4 sin x y x y dxdy    +  +  。 三 二重积分的一般变量替换 计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。 定理 2 设 f x y ( , ) 是 XY 平面的闭区域 D 上的连续函数，又设 u u x y = ( , ) ， v v x y = ( , ) （*）。 在 D 上有关于 x 和 y 的连续偏导数，通过（*）把 D 变为 D' ，并且变换（*）是一对一的，又设 ( , ) 0 ( , ) D u v J D x y =  ， 则 ( , ) D f x y dxdy  = ' ( , ) ( ( , ), ( , )) | | ( , ) D D x y f x u v y u v dudv D u v  。 注：（1）在定理中，假设 J  0，但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于 0。或只在一 小区域上等于 0 而在其他点上非 0，此时上述结论能成立。 （2）特例： x r y r = = cos , sin   ，此时 ( , ) ( , ) x y r    = cos sin sin cos | | r r r     − = ，根据①，有 ( , ) D f x y dxdy  = ' ( cos , sin ) D f r r rdxdy    。 （3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排。 例：求椭球体 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + +  的体积。 例: 求出由抛物线 2 y px = ， 2 y qx = (0   p q) 以及双曲线 xy a = ，xy b = (0   a b) 所围区域的面积。 §2 三重积分的计算 一 化三重积分为三次积分 设 A a b c d e f =   [ , ] [ , ] [ , ] 是 3 R 中的（闭）长方体， f 是定义在 A 上的有界函数。那么 f 在 A 上的三重积 分可以化为先对 z ，后对 y x, 的积分： ( , , ) A f x y z dxdydz  = ( , , ) b d f a c e dx dy f x y z dz    ， 或 y x z → → 的积分 ( , , ) A f x y z dxdydz  = ( , , ) f b d e a c dz dx f x y z dy   