第1章:误差分析 称为舍入误差。 4截断误差 假如真值x′为近似值系列{xn}的极限由于计算机只能执行有限 步的计算过程,所以我们只能选取某个x作为x的近似值,由 此产生的误差称为截断误差 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差:设(x)可以在 x=xo处展开为泰勒级数,记fNx)为前N+1项的和RN(x)为余项, 如果用fN(x近似表示f(x),则RN(x就是截断误差 提示:在我们的课程中,重点是考虑尽可能减小截断误差,尽可 能消肖除舍入误差的副作用。 12误差基本概念 1绝对误差与相对误差 定义:设x为某个量的真值,x为x“的近似值,我们称|x·-x 为近似值x的绝对误差;称x∵-x'为近似值x的相对误差。 注释:我们在实际进行误差分析时,所讨论的误差几乎全都是绝 对误差,所以在口语中,我们也把绝对误差简称为误差。 提示:在实际应用中,我们通常是用·-x/k来表示x的相对误 差,这样会使得有关的计算和理论分析更简单一 2误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值x′,所以近似值x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的,但是我们 总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义设x为真值x的近似值 若e>0满足条件|x-x≤e则称e为x的绝对误差限(或误差限) 若e>0满足条件x‘-x/kx≤e,则称e为x的相对误差限 提示:由绝对误差限和相对误差限的定义可知,它们满足关系第 1 章：误差分析 - 2 - 2/10 称为舍入误差。 4.截断误差 假如真值 x * 为近似值系列{xn}的极限,由于计算机只能执行有限 步的计算过程，所以我们只能选取某个 xN 作为 x *的近似值，由 此产生的误差称为截断误差。 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设 f(x)可以在 x=x0 处展开为泰勒级数，记 fN(x)为前 N+1 项的和，RN(x)为余项， 如果用 fN(x)近似表示 f(x)，则 RN(x)就是截断误差。 提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可 能消除舍入误差的副作用。 1.2 误差基本概念 1.绝对误差与相对误差 定义：设 x *为某个量的真值，x 为 x *的近似值，我们称 |x * - x| 为近似值 x 的绝对误差；称|x * - x|/|x * |为近似值 x 的相对误差。 注释：我们在实际进行误差分析时，所讨论的误差几乎全都是绝 对误差，所以在口语中，我们也把绝对误差简称为误差。 提示：在实际应用中，我们通常是用|x * - x|/|x|来表示 x 的相对误 差，这样会使得有关的计算和理论分析更简单一些。 2 误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值 x *，所以近似值 x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的，但是我们 总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义 设 x 为真值 x * 的近似值: 若 e>0 满足条件|x* -x|≤e,则称 e 为 x 的绝对误差限（或误差限）； 若 er>0 满足条件|x* -x|/|x|≤er,则称 er 为 x 的相对误差限. 提示：由绝对误差限和相对误差限的定义可知，它们满足关系