第1章:误差分析 第1章误差分析 利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算:计算机所能 示的数的个数是有限的,我们需要用到的数的个数是无限的, 所以在绝大多数情况下,计算机不可能进行绝对精确的计算 定义:设x为某个量的真值,x为x的近似值,称x-x为 近似值x的误差,通常记为e(x),以表明它是与x有关的量。 与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体,由于时间和 经验的关系,我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍 11误差的来源 误差的来源是多方面的,但主要来源为:描述误差,观测误差, 截断误差和舍入误差。 1描述误差 为了便于数学分析和数值计算,人们对实际问题的数学描述通常 只反映出主要因素之间的数量关系,而忽略次要因素的作用由 此产生的误差称为描述误差。对实际问题进行数学描述通常称为 是建立数学模型,所以描述误差也称为是模型误差。 2观测误差 描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过 实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为 观测误差。 比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时,指针通常会落 在两个刻度之间,读数的最后位只能是估计值,从而也产生了 观测误差。 3舍入误差 几乎所有的计算工具,当然也包括电子计算机,都只能用一定数 位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数,由此产生的误差
第 1 章：误差分析 - 1 - 1/10 第 1 章 误差分析 利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能 表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的， 所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。 定义：设 x *为某个量的真值，x 为 x *的近似值，称 x * - x 为 近似值 x 的误差，通常记为 e(x)，以表明它是与 x 有关的量。 与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和 经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。 1.1 误差的来源 误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差， 截断误差和舍入误差。 1 描述误差 为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常 只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由 此产生的误差称为描述误差。对实际问题进行数学描述通常称为 是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。 2 观测误差 描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过 实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为 观测误差。 比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落 在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了 观测误差。 3.舍入误差 几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数 位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差
第1章:误差分析 称为舍入误差。 4截断误差 假如真值x′为近似值系列{xn}的极限由于计算机只能执行有限 步的计算过程,所以我们只能选取某个x作为x的近似值,由 此产生的误差称为截断误差 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差:设(x)可以在 x=xo处展开为泰勒级数,记fNx)为前N+1项的和RN(x)为余项, 如果用fN(x近似表示f(x),则RN(x就是截断误差 提示:在我们的课程中,重点是考虑尽可能减小截断误差,尽可 能消肖除舍入误差的副作用。 12误差基本概念 1绝对误差与相对误差 定义:设x为某个量的真值,x为x“的近似值,我们称|x·-x 为近似值x的绝对误差;称x∵-x'为近似值x的相对误差。 注释:我们在实际进行误差分析时,所讨论的误差几乎全都是绝 对误差,所以在口语中,我们也把绝对误差简称为误差。 提示:在实际应用中,我们通常是用·-x/k来表示x的相对误 差,这样会使得有关的计算和理论分析更简单一 2误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值x′,所以近似值x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的,但是我们 总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义设x为真值x的近似值 若e>0满足条件|x-x≤e则称e为x的绝对误差限(或误差限) 若e>0满足条件x‘-x/kx≤e,则称e为x的相对误差限 提示:由绝对误差限和相对误差限的定义可知,它们满足关系
第 1 章：误差分析 - 2 - 2/10 称为舍入误差。 4.截断误差 假如真值 x * 为近似值系列{xn}的极限,由于计算机只能执行有限 步的计算过程，所以我们只能选取某个 xN 作为 x *的近似值，由 此产生的误差称为截断误差。 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设 f(x)可以在 x=x0 处展开为泰勒级数，记 fN(x)为前 N+1 项的和，RN(x)为余项， 如果用 fN(x)近似表示 f(x)，则 RN(x)就是截断误差。 提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可 能消除舍入误差的副作用。 1.2 误差基本概念 1.绝对误差与相对误差 定义：设 x *为某个量的真值，x 为 x *的近似值，我们称 |x * - x| 为近似值 x 的绝对误差；称|x * - x|/|x * |为近似值 x 的相对误差。 注释：我们在实际进行误差分析时，所讨论的误差几乎全都是绝 对误差，所以在口语中，我们也把绝对误差简称为误差。 提示：在实际应用中，我们通常是用|x * - x|/|x|来表示 x 的相对误 差，这样会使得有关的计算和理论分析更简单一些。 2 误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值 x *，所以近似值 x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的，但是我们 总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义 设 x 为真值 x * 的近似值: 若 e>0 满足条件|x* -x|≤e,则称 e 为 x 的绝对误差限（或误差限）； 若 er>0 满足条件|x* -x|/|x|≤er,则称 er 为 x 的相对误差限. 提示：由绝对误差限和相对误差限的定义可知，它们满足关系
第1章:误差分析 3/10 e=erk,所以只要知道其中的任意一个,即可求出另外一个 3.数的近似表示 若x为真值x的近似值,且误差限为e那么我们可以把真值x表 示为x=x±e 提示:若ⅹ为真值x的近似值,且误差限为e那么我们有 xe≤x*≤x+e 13有效数字 .有效数字的概念 定义:如果真值x‘的近似值ⅹ的绝对误差限是它的某一个数位 的半个单位,则称近似值ⅹ准确到这一位,且这一位一直到最左 边第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字,有效数字的 个数称为有效数字的位数。 记号:若近似值ⅹ有p位有效数字,那么我们可以把x表示为 x=±0.x1X2.Xp×10n 其中xx2…,p∈{0,1…,)}且x1≠0. 提示:我们在书写近似数的时候,不要忽略了小数点右边最后面 的零,例如,0.6,060,0600所表示的数是相同的,但隐含说明 了有效数字的位数是不同的 2四舍五入法 若x‘的近似值为 其中x1x2…xmn∈{0,1,…,9}且x1≠0 如果要保留x有p(1sp≤m)位有效数字,即(kx‘x≤0.5×10P 那么我们可以把x的小数点后的第p+1位四舍五入称为使x保 留p位有效数字 3.根据有效数字估算相对误差限
第 1 章：误差分析 - 3 - 3/10 e = er·|x|, 所以只要知道其中的任意一个，即可求出另外一个。 3．数的近似表示 若 x 为真值 x 的近似值，且误差限为 e,那么我们可以把真值 x 表 示为 x *=x±e 提示：若 x 为真值 x *的近似值，且误差限为 e,那么我们有 x-e≤x*≤x+e. 1.3 有效数字 1．有效数字的概念 定义：如果真值 x *的近似值 x 的绝对误差限是它的某一个数位 的半个单位，则称近似值 x 准确到这一位，且这一位一直到最左 边第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字，有效数字的 个数称为有效数字的位数。 记号：若近似值 x 有 p 位有效数字，那么我们可以把 x 表示为 x=±0.x1x2…xp×10n 其中 x1,x2,…,xp∈{0,1,…,9},且 x1≠0. 提示：我们在书写近似数的时候，不要忽略了小数点右边最后面 的零，例如，0.6, 0.60, 0.600 所表示的数是相同的，但隐含说明 了有效数字的位数是不同的。 2.四舍五入法 若 x *的近似值为 x=±0.x1x2…xm×10n 其中 x1,x2,…,xm∈{0,1,…,9},且 x1≠0. 如果要保留 x 有 p(1≤p≤m) 位有效数字，即（|x* -x|≤0.5×10n-p）, 那么我们可以把 x 的小数点后的第 p+1 位四舍五入，称为使 x 保 留 p 位有效数字。 3．根据有效数字估算相对误差限
第1章:误差分析 若x*的近似值x有p位有效数字,那么我们有 x=±0.x1x2…x×10 ≤=10′ 由此不难得到 10P 10-p < 2×0.x…x×102x1 为了得到与具体的数无关的相对误差限的表达形式,我们可以把 x1取为最小值1,从而有 er≤0.5×10P+1 4根据相对误差限估算有效数字位数 注释:实际中几乎不会有这种类型的问题,为了完整性,所以做 一个简单的提示 若近似值x=±0x2…xn×10的相对误差限满足 2(x1+1 ×10,p 则x至少有p位有效数字 14利用微分进行误差估计 数值计算可理解为求某个函数y=f(x)的值,假如输入值x没有误 差,那么输出值y仅含舍入误差和截断误差,它们不会影响结果 的有效性;如果ⅹ是真值x与一个误差项Δx之和,那么那么输 出值y与真值y之间的误差Δy主要是由△x产生的,可以形象地 理解为在计算过程中的误差传播
第 1 章：误差分析 - 4 - 4/10 若 x*的近似值 x 有 p 位有效数字，那么我们有 由此不难得到 为了得到与具体的数无关的相对误差限的表达形式，我们可以把 x1 取为最小值 1，从而有 1 0.5 10− + p r e 4.根据相对误差限估算有效数字位数 注释：实际中几乎不会有这种类型的问题，为了完整性，所以做 一个简单的提示。 若近似值 n m x = 0.x1 x2 x 10 的相对误差限满足 则 x 至少有 p 位有效数字 1.4 利用微分进行误差估计 数值计算可理解为求某个函数 y=f(x)的值，假如输入值 x 没有误 差，那么输出值 y 仅含舍入误差和截断误差,它们不会影响结果 的有效性；如果 x 是真值 x *与一个误差项Δx 之和，那么那么输 出值 y 与真值 y *之间的误差Δy 主要是由Δx 产生的，可以形象地 理解为在计算过程中的误差传播。 − = n− p n p x x x x x x 10 2 1 | | 0. 10 * 1 2 1 1 1 * 2 10 2 0. 10 10 | | | | x x x x x x e p n p n p r − − + − = p m x e p r + − + 10 , 2( 1) 1 1 1
第1章:误差分析 5/10 1函数的一阶泰勒展式 设ft)在x*附近处处连续可导,对于绝对值充分小的Δx,记x 我们有 f(x*△x)=f(x*)f(x*)△x+o(△x) 从数值计算的角度看,假如x是某个量的真值,因此也是无法准 确得到的,所以上面的f(x*),f(x*鄘都是无法得到的,所以我 们要改换一下形式 从而有 f(x)=f(x+△x=f(x)+f(x)△x+o(△x) 我们可以利用这个公式估算计算结果的误差 2利用微分估计绝对误差 在计算方法课程中,我们可以这样来理解上面的一阶泰勒展式 假设f是一个系统,ⅹ是我们希望输入的真值,从而得到希望输 出的真值f(x*)。但是实际输入的是x的近似值x=x+△x其误差 为Δx,如果用f(x)作为f(x)的近似值,则误差为 △y=f(x)△x+o(△x) 略去比Δx高级的无穷小项,两边取绝对值,则有: △y|≈(x△x 结论:在微分公式df(x)=f(xdx中如果把dx解释为x的绝对误 差(限),那么df(x)就是所得到的计算结果f(x)的绝对误差限。 3.利用微分估计相对误差 当我们把f(x)的绝对误差(限)近似地表示为df(x)时,我们可以 进一步得到f(x)的相对误差(限)为 df(x) f(x)dx dIn f(x) f(x) 结论:我们可以把|dln[f(x)作为f(x)的相对误差限的计算公式。 提示:虽然有时候f(x)可以取负值,但进行误差分析时,可以将
第 1 章：误差分析 - 5 - 5/10 1 函数的一阶泰勒展式 设 f(t)在 x*附近处处连续可导，对于绝对值充分小的Δx，记 x= x*+Δx，我们有： f(x*+Δx)= f(x*)+ f' (x*)·Δx + o(Δx) 从数值计算的角度看，假如 x *是某个量的真值，因此也是无法准 确得到的，所以上面的 f(x*)， f' (x*)都是无法得到的，所以我 们要改换一下形式，x* = x +Δx，从而有 f(x* )=f(x+Δx)= f(x)+ f' (x)·Δx + o(Δx) 我们可以利用这个公式估算“计算结果”的误差. 2 利用微分估计绝对误差 在计算方法课程中，我们可以这样来理解上面的一阶泰勒展式： 假设 f 是一个系统，x *是我们希望输入的真值，从而得到希望输 出的真值 f(x* )。但是实际输入的是 x *的近似值 x=x*+Δx,其误差 为 Δx，如果用 f(x)作为 f(x* )的近似值，则误差为 Δy =f' (x)·Δx + o(Δx) 略去比 Δx 高级的无穷小项，两边取绝对值，则有： |Δy|≈|f' (x)·Δx| 结论：在微分公式 df(x)= f'(x)dx 中如果把|dx|解释为 x 的绝对误 差（限），那么|df(x)|就是所得到的计算结果 f(x)的绝对误差限。 3．利用微分估计相对误差 当我们把 f(x)的绝对误差（限）近似地表示为 df(x)时，我们可以 进一步得到 f(x)的相对误差（限）为。 结论：我们可以把| dln[f(x)]|)作为 f(x)的相对误差限的计算公式。 提示：虽然有时候 f(x)可以取负值，但进行误差分析时，可以将 ln ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) d f x f x f x dx f x df x = =
第1章:误差分析 它反号而不影响误差分析的结果。 14四则运算的误差估计 因为所有的计算工具都只能进行有限数位的数的四则运算,所 以我们应当掌握四则运算的误差分析方法。 不是一般性,我们只讨论两个正数的四则运算的误差估计问题 为此,假设X>y>0xy的绝对误差限分别为dxly 1.和与差的绝对误差 dx±dy <dx|+dy 结论:和或差的绝对误差(限)不会超过所有加数的绝对 误差(限)的和 注意:在实际应用中,我们的有效数字通常是由四舍五入 得到的,所以误差的符号会均衡出现,所以绝对误差不会 显著增大。 2.和的相对误差
第 1 章：误差分析 - 6 - 6/10 它反号而不影响误差分析的结果。 1.4 四则运算的误差估计 因为所有的计算工具都只能进行有限数位的数的四则运算，所 以我们应当掌握四则运算的误差分析方法。 不是一般性，我们只讨论两个正数的四则运算的误差估计问题， 为此，假设 x>y>0,x,y 的绝对误差限分别为|dx|,|dy|. 1． 和与差的绝对误差 ◆ | | | | | | | ( )| dx dy dx dy d x y + = ➢ 结论：和或差的绝对误差（限）不会超过所有加数的绝对 误差（限）的和。 ➢ 注意：在实际应用中，我们的有效数字通常是由四舍五入 得到的，所以误差的符号会均衡出现，所以绝对误差不会 显著增大。 2． 和的相对误差
第1章:误差分析 7/10 I d In(x+v)l tx+dy ≤ max(go1l、x+p×、y max i dx dy 结论:和的相对误差不超过加数中的较大的相对误差,或者说, 和的相对误差有下降的趋势, 注意:如果两个加数的数量级相差较大,由于计算机要对位相 加,所以较小的加数会扔掉许多有效数字,从而有可能产生较 大的相对误差。 3.差的相对误差 I dIn(x-y)
第 1 章：误差分析 - 7 - 7/10 ◆ max{| |,| |} max{| |,| |} ( ) | | | | | | | ln( )| y dy x dx x y y x y x y dy x dx x y y y dy x y x x dx x y dy x y dx x y dx dy d x y = + + + + + + = + + + + + = + 结论：和的相对误差不超过加数中的较大的相对误差，或者说， 和的相对误差有下降的趋势。 注意：如果两个加数的数量级相差较大，由于计算机要对位相 加，所以较小的加数会扔掉许多有效数字，从而有可能产生较 大的相对误差。 3． 差的相对误差 ◆ x y y y dy x y x x dx x y dy x y dx x y dx dy d x y − + − = − + − − − = − | | | ln( )|
第1章:误差分析 若x>> 则 1,≈0,从而有 ldln(x-y)-dhnx,此时数字稳定性很好。 若x,y>>0,x-y≈0,则 1,>1,从而 ⅹ-y的相对误差会大大增大,此时数字稳定性非常糟糕。 4.积的绝对误差 d(x·y =x·dy+y.ax x·dyl+|y ≤(x|+|ymax{ dx b dy} 5.商的绝对误差 d(-) y.dx-xdyl 当充分大而W充分小时,y·dxy2都很小,从而商的
第 1 章：误差分析 - 8 - 8/10 ➢ 若 x y ， 则 1, 0 − − x y y x y x ， 从 而 有 | d ln( x − y)|| d ln x | ，此时数字稳定性很好。 ➢ 若 x, y 0, x − y 0 ，则 1, 1 − − x y y x y x ，从而 x-y 的相对误差会大大增大，此时数字稳定性非常糟糕。 4． 积的绝对误差 ◆ (| | | |) max{| |,| |} | | | | | | | ( )| x y dx dy x dy y dx x dy y dx d x y + + = + 5． 商的绝对误差 ◆ 2 | | | ( )| y y dx x dy y x d − = ➢ 当|x|充分大而|y|充分小时， 2 | y dx|, y 都很小，从而商的
第1章:误差分析 9/10 绝对误差近似等于||dyl,此时 所以会 显著增大。 结论:绝对值较大的除以绝对值较小的数,上的绝对误差 会显著增大,这有可能导致计算机数字上溢,因此数值稳 定性可能不好。 6.积与商的相对误差 ldln(x·y) =dInx+dIn yl ≤dlnx|+|dny =dInx-dIn y <dInx +IdIn y 所以,即或上的相对误差不会超过相对误差的和。 选用计算方法应遵循的规则 1,应当尽量避免绝对值相近的两个正数相减
第 1 章：误差分析 - 9 - 9/10 绝对误差近似等于 | | | | 2 dy y x ，此时， | | 1 2 y x ，所以会 显著增大。 ➢ 结论：绝对值较大的除以绝对值较小的数，上的绝对误差 会显著增大，这有可能导致计算机数字上溢，因此数值稳 定性可能不好。 6． 积与商的相对误差 ◆ | ln | | ln | | ln ln | | ln( )| d x d y d x d y d x y + = + ◆ | ln | | ln | | ln ln | | ln( )| d x d y d x d y y x d + = − 所以，即或上的相对误差不会超过相对误差的和。 1.5 选用计算方法应遵循的规则 1，应当尽量避免绝对值相近的两个正数相减
第1章:误差分析 2,应当尽量避免绝对值较大的数除以绝对值较小的数。 3,应当防止“大数”吃“小数"。 4,尽可能减少运算次数,防止误差扩散
第 1 章：误差分析 - 10 - 10/ 10 2，应当尽量避免绝对值较大的数除以绝对值较小的数。 3，应当防止“大数”吃“小数”。 4，尽可能减少运算次数，防止误差扩散