第六章:数值积分与数值微分 1 第6章:数值积分与数值微分 6.1求积公式 由定积分的定义可知,连续函 数f(x)在区间[a,b]上的定积分近 似值可以表示为[a,b]内的一些点 X0×1,Xn处的函数值 f(xo,fx1),…,f(xn)的加权和或线性 组合,即 f(x)dx≈∑w·∫(x,) (1) 其中Wo,W1,Wn仅与X0,X1,xXn 有关而与被积函数f(x)无关。我们 把这样的公式称为求积公式,也称
第六章：数值积分与数值微分 1 第 6 章：数值积分与数值微分 6.1 求积公式 由定积分的定义可知，连续函 数 f(x) 在区间[a,b]上的定积分近 似值可以表示为[a,b]内的一些点 x0,x1,…,xn 处的函数值 f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或线性 组合，即 = = b a k n k k xk f x dx w f 0 ( ) ( ) （1） 其中 w0,w1,…,wn 仅与 x0,x1,…,xn 有关而与被积函数 f(x)无关。我们 把这样的公式称为求积公式，也称
第六章:数值积分与数值微分 为机械求积公式。 1.术语和记号 为了计算f(x)在区间[a,b]上 的定积分近似值,我们通常的做法 是把积分区间[a,b]划分为n等分, 记 h=( b-a)/n, xo=a, xk=a+kh, k=0, 1 2…,n,称xoX1,xn为[a,b]的一个 等份分划。 假如XX1.1Xn为[a,b]的一个 等份分划那么求积公式(1)中的 WoW1,Wn的选取仅仅只与n有
第六章：数值积分与数值微分 2 为机械求积公式。 1．术语和记号 为了计算 f(x) 在区间[a,b]上 的定积分近似值，我们通常的做法 是，把积分区间[a,b]划分为 n 等分， 记 h=(b-a)/n,x0=a,xk=a+kh,k=0,1, 2,…,n,称 x0,x1,…,xn 为[a,b]的一个 等份分划。 假如 x0,x1,…,xn 为[a,b]的一个 等份分 划那么 求积 公式(1)中的 w0,w1,…,wn 的选取仅仅只与 n 有
第六章:数值积分与数值微分 关,从而可以简化对求积公式的研 2求积公式的性质 微积分学中我们曾研究过,定 积分保持函数的线性关系不变,它 的含义是,若f(x),g(刈)都是[ab]上 的可积函数,则对任意实数uV我 们有uf(x)+vg(x)也是ab]上的可 积函数,而且 ∫la:f(x)+pg(x)x=a∫f(x)+∫g(x 不难验证,求积公式也保持函数的 线性关系不变,即
第六章：数值积分与数值微分 3 关，从而可以简化对求积公式的研 究。 2.求积公式的性质 微积分学中我们曾研究过，定 积分保持函数的线性关系不变，它 的含义是，若 f(x),g(x)都是[a,b]上 的可积函数，则对任意实数 u,v,我 们有 u·f(x)+v·g(x)也是[a,b]上的可 积函数，而且 + = + b a b a b a [u f (x) v g(x)]dx u f (x)dx v g(x)dx 不难验证，求积公式也保持函数的 线性关系不变，即
第六章:数值积分与数值微分 ∑ wk{·f(x)+ν·g(xk u·∑w4·f(x)+ν∑叩·g(x4) 3几种常见的求积公式 在后面的讨论中,我们将经常 用到下面一些非常简单的求积公 式,他们是中点公式、梯形公式和 辛卜生公式。 (1)中点公式 f(x)≈(b-a).fa+b (2)梯形公式 ∫(x)≈(b-a)f(a)+f(b (3)辛卜生公式 a+b f(x)d≈(b-a∫(a)+∫()+∫(b) 4.截断误差 在求积公式中,我们使用的是
第六章：数值积分与数值微分 4 ( ) ( ) [ ( ) ( )] k k n k k k k n k k k k k n k k u w f x v w g x w u f x v g x = + + = = = = = = 0 0 0 3.几种常见的求积公式 在后面的讨论中，我们将经常 用到下面一些非常简单的求积公 式，他们是中点公式、梯形公式和 辛卜生公式。 ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f b a b f x dx b a f a f f x dx b a f a f b a b f x dx b a f b a b a b a 6 1 6 2 4 6 1 3 2 1 2 1 2 2 1 + + − + − + + − （ ） 辛卜生公式 （ ） 梯形公式 （ ） 中点公式 4．截断误差 在求积公式中，我们使用的是
第六章:数值积分与数值微分 近似等号,这是因为,对于一般的 被积函数来说,利用这些公式计算 所得的结果除了舍入误差外,还有 截断误差。 有时为了进行误差分析,我们 可以把求积公式式写成 ∫∫(x)d=∑,f(x,)+R∥ (12) 其中R印表示的就是截断误差。 5代数精度的概念 定义:一个求积公式 f(x)dx≈∑w4·f(x2)
第六章：数值积分与数值微分 5 近似等号，这是因为，对于一般的 被积函数来说，利用这些公式计算 所得的结果除了舍入误差外，还有 截断误差。 有时为了进行误差分析，我们 可以把求积公式式写成 = = = + b a k n k k f x dx w f x R f k 0 ( ) ( ) [ ] （1’） 其中 R[f]表示的就是截断误差。 5.代数精度的概念 定义：一个求积公式 = = b a k n k k xk f x dx w f 0 ( ) ( )
第六章:数值积分与数值微分 如果对所有的次数不超过m的多 项式严格相等,而对某些m+1次 多项式不相等,则称该公式具有代 数精度m,或该公式的代数精度为 利用求积公式的线性性,我们 不难证明下面的结论。 定理:如果求积公式对1,x,,Xm 格相等,而对Ⅻm+1不相等,则该 公式的代数精度为m。 作为课外练习,鼓励大家给出 完整证明
第六章：数值积分与数值微分 6 如果对所有的次数不超过 m 的多 项式严格相等，而对某些 m+1 次 多项式不相等，则称该公式具有代 数精度 m，或该公式的代数精度为 m。 利用求积公式的线性性，我们 不难证明下面的结论。 定理：如果求积公式对 1，x,…,xm 严格相等，而对 xm+1 不相等，则该 公式的代数精度为 m。 作为课外练习，鼓励大家给出 完整证明
第六章:数值积分与数值微分 6基本结论 我们不难利用上面的定理所给 出的方法证明辛卜生公式的代数精 度是3,而中点公式和梯形公式的 代数精度是1。 现在我们可以对这三个公式作 个简单的评价 中点公式和梯形公式的代数精 度虽然都是1,但中点公式只计算 一个点的函数值,而梯形公式要计 算两个点处的函数值,所以中点公 式优于梯形公式
第六章：数值积分与数值微分 7 6.基本结论 我们不难利用上面的定理所给 出的方法证明辛卜生公式的代数精 度是 3，而中点公式和梯形公式的 代数精度是 1。 现在我们可以对这三个公式作 一个简单的评价： 中点公式和梯形公式的代数精 度虽然都是 1，但中点公式只计算 一个点的函数值，而梯形公式要计 算两个点处的函数值，所以中点公 式优于梯形公式
第六章:数值积分与数值微分 与梯形公式相比,辛卜生公式 只多计算一个点的函数值,但代数 精度却增加到3,显然辛卜生公式 更为优越。 6.2牛顿柯特斯求积公式 1.利用插值多项式近似替代被积函 数 设f(x)为被积函数,[a,b为积 分区间,X0X1…,Xn为[a,b]内的 n+1个互异的点记Ln(x)为相应的 拉格朗日插值多项式,那么我们有
第六章：数值积分与数值微分 8 与梯形公式相比，辛卜生公式 只多计算一个点的函数值，但代数 精度却增加到 3，显然辛卜生公式 更为优越。 6．2 牛顿-柯特斯求积公式 1. 利用插值多项式近似替代被积函 数 设 f(x)为被积函数，[a,b]为积 分区间 ，x0,x1,…,xn 为[a,b]内的 n+1 个互异的点，记 Ln(x)为相应的 拉格朗日插值多项式，那么我们有
第六章:数值积分与数值微分 f(x=L(x)+r,(x) 两边同时积分得:∫f(xt=∫L(x)x+JR(x)d 如果我们取 f(x)dx=L(x)dx 那么截段误差为:JR(x)tx 2.利用插值多项式导出求积公式 利用∫f(xlL(x)t 以及Ln(x)=∑(x)·∫(x 可得∫∫(x)-∑(x,f(x,)x)d 亦即∫f(x) l4(x)dtcl·∫(x) 记2=∫lL(x)drk=0, 则有∫∫(x)d=∑f(x) 在上面给出的公式中,由于诸 k(x)都是多项式函数,所以诸Wk 都可以精确地计算出来。从而我们 可以得到一般性的求积公式
第六章：数值积分与数值微分 9 R x dx f x dx L x dx f x dx L x dx R x dx f x L x R x b a n b a n b a b a n b a n b a n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + 那么截段误差为： 如果我们取 两边同时积分得： 2.利用插值多项式导出求积公式 = = = = = = = = = = = = = = = k n k k k b a b a k k k n k k b a k b a b a k n k k k b a k n k n k k b a n b a f x dx w f x w l x dx k n f x dx l x dx f x f x dx l x f x x dx L x l x f x f x dx L x dx 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) , ,..., ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( )]( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 则 有 记 亦 即 可 得 以 及 利 用 在上面给出的公式中，由于诸 lk(x)都是多项式函数，所以诸 wk 都可以精确地计算出来。从而我们 可以得到一般性的求积公式
第六章:数值积分与数值微分 3讨论: 回顾上一章关于多项式插值的 结论,由于任意次数不超过n的多 项式与它的任意n+1个基点的插 值多项式恒等,再由求积公式的代 数精度的定义,我们立即得到:由 n个基点的拉格朗日插值多项式所 形成的求积公式的代数精度至少式 为了同时说明求即公式得代数 精度,我们记
第六章：数值积分与数值微分 10 3.讨论： 回顾上一章关于多项式插值的 结论，由于任意次数不超过 n 的多 项式与它的任意 n+1 个基点的插 值多项式恒等，再由求积公式的代 数精度的定义，我们立即得到：由 n 个基点的拉格朗日插值多项式所 形成的求积公式的代数精度至少式 n。 为了同时说明求即公式得代数 精度，我们记