《数学实验习题集》习题4

习题4 1.设离散型随机变量X具有概率分布律: 0102020301 试求E(1),E(2+5,E(1) 解E(X=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.2+1×0.3+2×0.1+3×0.1 =0.4, E(H2+5)=E(2)+5 =(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.2 +12×0.3+22×0.1+32×0.1 2+5=7.2. E(X1)=-21×0.1+-11×0.2+10×02+11×0.3+2×0.1+3×0.1 5.设随机变量X具有概率密度 x0 x<0 求E(),E(-2x+5),E(e-3) 解因为E)x(x)k=x2cb=2,所以 E(3X)=3E(X=3×2=6, E(-2X+5)=-2E(X)+5=-2×2+5=1 E(c3)=c3f(x)= ex.xedx= 17.(1)求第1题中X的方差D( 解E(2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×02+12×0.3+22×0.1+32×0.1

习题 4 1．设离散型随机变量 X 具有概率分布律 X −2 −1 0 1 2 3 pk 01 02 02 03 01 01 试求 E(X) E(X 2+5) E(|X|) 解 E(X)=(−2)0.1+(−1)0.2+00.2+10.3+20.1+30.1 =0.4 E(X 2+5)=E(X 2 )+5 =(−2)20.1+(−1)20.2+0 20.2 +1 20.3+2 20.1+3 20.1 =2.2+5=7.2 E(|X|)=|−2|0.1+|−1|0.2+|0|0.2+|1|0.3+|2|0.1+|3|0.1 =1.2. 5．设随机变量 X 具有概率密度         = − 1 0 1 0 0 ( ) Ae x x x x f x x  (1)求常数 A 解 由 1 1 1 0 2 1 1 ( ) − + − + − = = + = +    f x dx xdx Ae dx Ae x  得 2 e A=  (2)求 X 的数学期望 解 3 4 2 ( ) ( ) 1 1 0 2 = = + =    + − + − xe dx e E X xf x dx x dx x  6．设随机变量 X 的概率密度为      = − 0 0 0 ( ) x xe x f x x  求 E(3X) E(−2X+5) E(e −3X) 解 因为 ( ) ( ) 2 0 2 = = =   + − + − E X xf x dx x e dx x  所以 E(3X)=3E(X)=32=6 E(−2X+5)=−2E(X)+5=−22+5=1. 16 1 ( ) ( ) 0 4 0 3 3 3 = =  = =    + − + − − + − − − E e e f x dx e x e dx x e dx X x x x x . 17．(1)求第 1 题中 X 的方差 D(X) 解 E(X 2 )=(−2)20.1+(−1)20.2+0 20.2+1 20.3+2 20.1+3 20.1 =2.2

D(x=E(P2)[E(=2.04 (2求第14题中X的方差D( 解已知E(X=0.1. E(H)=(-2)×0.3+02×0.35+22×0.35=2.6, D(x)=E(P2[E(H=259 21.设随机变量(XY)具有联合概率密度 (xy)=21x+1 0其他 试求(1)的边缘密度;(2)Y的边缘密度;(3)E(1,D(1;(4)E(Y),D(Y;(5与Y 是否不相关?(6X与Y是否相互独立? 解(xy={21 0.其它 (1)当x1时,f(x,y)=0,所以f(x)=0 当-1≤x≤1时,fx(x)=f(x,y)hy (1-x dy 所以∫x(x 1-|x当xk 0,其它 (2)同理得∫(y) 1-|y,当lyk1 0,其它 (3)E(X=Lx/(x)dr=[x(l-x)dr=0 D(X)=[x-E(XP/x(x)dx=[x()dx (4)由对称性知E(Y)=0,D)=1 (5)E(XY 所以cov(X,Y=0,X和Y不相关 (6)因为fx,y)≠(x)y),所以X与Y不相互独立 24.设已知三个随机变量X,Y,Z中,E(CX=1,E(Y=2,E(Z=3,D(=9,D(Y)=4, Da=.,px=2,Px=-3,z=4 (1)求E(X+Y+2) (2)D(H+H+Z); 3)D(x-2+3Z). 解(1)E(X+Y+Z=E(H)+E(Y)+E(Z=1+2+3=6

D(X)=E(X 2 )−[E(X)]2=2.04. (2)求第 14 题中 X 的方差 D(X) 解 已知 E(X)=0.1 E(X 2 )=(−2)20.3+0 20.35+2 20.35=2.6 D(X)=E(X 2 )−[E(X)]2=2.59. 21．设随机变量(X Y)具有联合概率密度     +  = 0 其他 | | | | 1 2 1 ( , ) x y f x y  试求(1)X 的边缘密度 (2) Y 的边缘密度 (3)E(X) D(X) (4)E(Y) D(Y) (5)X 与 Y 是否不相关？(6)X 与 Y 是否相互独立？ 解     +  = 0, 其它 , | | | | 1 2 1 ( , ) x y f x y  (1)当|x|1 时 f(x y)=0 所以 fX(x)=0 当−1x1 时 f x f x y dy dy x x X    − − − − = = 1 | | (1 | |) 2 1 ( ) ( , )  所以    −  = 其它 当 0, 1 | |, | | 1 ( ) x x f x X  (2)同理得    −  = 其它 当 0, 1 | |, | | 1 ( ) y y f y Y  (3) ( ) ( ) (1 | |) 0 1 1 = = − =  −  − E X xf x dx x x dx X  6 1 ( ) [ ( )] ( ) (1 | |) 1 1 2 2 = − = − =  −  − D X x E X f x dx x x dx X  (4)由对称性知 E(Y)=0 6 1 D(Y)= . (5)    −  − E(XY)= xyf(x, y)dxdy ] 0 2 1 [ 1 1 1 | | (1 | |) = =   − − − − x x x ydy dx  所以 cov(X Y)=0 X 和 Y 不相关. (6)因为 f(x y)fX(x)fY(y) 所以 X 与 Y 不相互独立 24．设已知三个随机变量X Y Z中 E(X)=1 E(Y)=2 E(Z)=3 D(X)=9 D(Y)=4 D(Z)=1 2 1  XY =  3 1  XZ =−  4 1 YZ =  (1)求 E(X+Y+Z) (2)D(X+Y+Z) (3)D(X−2Y+3Z) 解 (1)E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+2+3=6

(2)D(X++Z)=D(X+D()+D(Z) +2PYDXD(+2PzyDX)Dz)+2PYzvD(YDz 9+4+1+2××9×4+2×(-)×√9×1+2××√4×1=19 (3)D(X-2y+3Z=DCX+4D()+9D(Z 4ox√DOD)+60x√D(XD(∠)-12nz√D)DZ √4×1=10 26.设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为0.001,车辆间发生交通 事故与否相互独立,若在某个时间区间内恰有10万辆车辆通过,试求在该时间 内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值 解设在某时间内发生交通事故的次数为X,则 x~B(100000001), 由二项分布的性质知 E(X)=10,D(X)=9.999 由中心极限定理知 P(xs15=415-10)=41.58)=09426 9999 28.设某学校有1000名学生,在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修 的概率是0.05,且设每个学生去阅览室自修与否相互独立.试问该阅览室至少 应设多少座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座 解设至少应设a张座位才能以不低于0.95的概率保证来阅览室的学生都 有座位,并设在同一时间内去阅览室的学生人数为X,则由题意知 XB(10000.05),E(CX=50,DCX=47.5 由中心极限定理知 0.95≤p(X≤a)= 查表得 ≥1.65, 所以a≥614,即至少应设62张座位才能达到要求

(2) D(X +Y +Z)=D(X)+D(Y)+D(Z) 2 D(X)D(Y) 2 D(X)D(Z) 2 D(Y)D(Z) +  XY +  XZ + YZ 4 1 19 4 1 ) 9 1 2 3 1 9 4 2 ( 2 1 =9+4+1+2   +  −   +    = . (3)D(X−2Y+3Z)=D(X)+4D(Y)+9D(Z) 4 D(X)D(Y) 6 D(X)D(Z) 12 D(Y)D(Z) −  XY +  XZ − YZ 4 1 10 4 1 ) 9 1 12 3 1 9 4 6 ( 2 1 =9+44+91+4   +  −   −    = . 26．设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为 00001 车辆间发生交通 事故与否相互独立 若在某个时间区间内恰有 10 万辆车辆通过 试求在该时间 内发生交通事故的次数不多于 15 次的概率的近似值 解 设在某时间内发生交通事故的次数为 X ,则 X~B(100000,0.0001) 由二项分布的性质知 E(X)=10, D(X)=9.999 由中心极限定理知 ) (1.58) 0.9426 9.999 15 10 ( 15) ( = = − P X  =  28．设某学校有 1000 名学生 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修 的概率是 005 且设每个学生去阅览室自修与否相互独立 试问该阅览室至少 应设多少座位才能以不低于 095 的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座 位？ 解 设至少应设 a 张座位才能以不低于 0.95 的概率保证来阅览室的学生都 有座位 并设在同一时间内去阅览室的学生人数为 X 则由题意知 X~B(1000,0.05) E(X)=50 D(X)=47.5 由中心极限定理知 ) 47.5 50 0.95 ( ) ( −   = a p X a  查表得 1.65 47.5 50  a−  所以 a61.4 即至少应设 62 张座位才能达到要求