《高等数学公式》例题讲解

高等数学公式 导数公式 (gx)=sec x (arcsin x) (secx)=secx·l(g (arccos x) (cscx)y=-cscx·clgx Cart a=a x)= (arcctgx) 基本积分表: igxdx=-In/cosx+C d x ∫cgdx=hnx+ =csc xdx=-ctgx+C ∫ecxd=hex+gx+C ∫ ccxx= In(csc x-ctg对+C secx·lgxx=secx+C dx x+c Irate -+C a-x +c +c x' -a 2a x+a shxdx=chx+C a+x chxdx= shx+c a a-x d arcsin -+C =hn(x+√ 1=|sin"xdk=「cos"xr= x2+a d hx+√x2+a2)+C hx+√x2-a2|+C 三角函数的有理式积分: 1+x,u=1g2,d2m

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u t g u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2  =  =  = −   =   = −  = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x +  = − +  = −  = − −  =           = +  +  = + = + = +  = − +  = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − +         arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2      − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0  

些初等函数: 两个重要极限: 双曲正弦 双曲余弦:chx im(1+-)2=e=2.718281828459045 双曲正切:thx h(x+√x2+1) +x 21 三角函数公式: 诱导公式 Cos 角 sina cosa -tga-ctga 90°a cosa sina ctga tga 180°- a sina 180°+a sind-cosa I tga 70-a-cosa -sina ctga tga 270°+a 360°-a SIna cOSa Ctga 和差角公式 和差化积公式 Sm(a±B)= sin a cos B± cosasn B sin a+snB=2smna+B B cos(a+B)=cos a cos BFsn asin B a+B. a-B sin a-sin B=2cos g(a±B) c!g(±B)=cac8F1 cosa+cos B=2c0s a+B a cgB±cga cosa-cos B=2sin a+Aci a-B

一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin                         + − − = + − + = + − − = + − + =                         ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg    =    =  =  =  1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin    x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = =  + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim (1 1 sin lim 0 + = = = → → e x x x x x x

倍角公式: sin 2a = 2sin a cosa cos 2a=2 c0s2a-1=1-2sin 2 a= cos2 2a sin 3a=3sin a-4sin'a cos 3a=4 cos'a-3cosa C 3tga-tg'a 2t tga tga -ig a 半角公式 1+cosa Cos 2 ±/=cosa sin a 1+cosa 1+cosa sin a 1g 1+cosa sin a 1+cosa I-cosa sin a 1-cosa 正弦定理: =2R 余弦定理:c2=a2+b2-2 abcess A sinb sin C 反三角函数性质: arcsin x=x- arccos x arctan=x- arcata 高阶导数公式——莱布尼兹( Leibniz)公式 n)= (n-k),,(k) ,,n(n-1) =1+n n(n-1)…(n-k+1)(-y()+…+ 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()b-a) 柯西中值定理:fb)-fa)_f( F(b-F(a F) 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率

·倍角公式： ·半角公式：                   1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + =  + = − = + − =  + =  − =  t g ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理： c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin   高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − +  + + − = +  + = − − − = −     中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a =   = − − − =  − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )    曲率：           2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = −               2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos t g t g t g ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =

弧微分公式:d=√h+y2a,其中y=1ga 平均曲率F△△a:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:△s:MM狐长 M点的曲率:K=ln ,1y 直线:K=0 半径为a的圆:K= 定积分的近似计算: 矩形法「f(x) b-a (y0+y1+…+yn1) 梯形法:「f(x)≈ b [(y+yn)+y+…+yn-] 抛物线法f(x) b (y+yn)+2(y2+y4+…+yn=2)+4(y1+y ) 定积分应用相关公式: 功:W=F·s 水压力:F=pA 引力:F=km,k为引力系数 函数的平均值=(x 均方根 f(odr b 空间解析几何和向量代数:

. 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y t g s = = +   = =   =       = = +   =  → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中      定积分的近似计算：    − − − − + + + + + + + + + −  + + + + −  + + + −  b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1     抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：   − − = = =  =  b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：

空间点的距离:d=M1M=√(x2-x)2+(2-y)+(=2-)2 向量在轴上的投影P元AB= Bcos p,oi是AB与轴的夹角 Pr(a,+a2)=Pr ja,+Pr ja2 ab=园bcos=ab+a,b,+ab,是一个数量 ab +a 两向量之间的夹角:cosb= 1, 6, +a. b √a2+a2+a2Vb2+b2+b2 c=a×b=,a,a=园下m例:线速度:下=x 向量的混合积ba=(axb)=,b,b=×61saa为锐角时, 代表平行六面体的体积。 平面的方程: 1、点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(二--0)=0,其中万={A,B,C},M(x02y0,二0) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x+2y+三=1 平面外任意一点到该平面的距离:d=Ax0+B0+C=0+D +B2+C 空间直线的方程:xx=y-=-=1其中=mnp;参数方程:y=0+m 二次曲面: 1、椭球面:+2 2、抛物面 z,(p,q同号) 3、双曲面 单叶双曲面:x+y-=1 双叶双曲面 +二=1(马鞍面) 多元函数微分法及应用

代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离：        [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u                           =   = =   =  = =  =  + +  + + + + =  =  = + + + = + =  = = − + − + − 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + =      = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x m t t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By C z D d c z b y a x Ax By C z D A x x B y y C z z n A B C M x y z   多元函数微分法及应用

az 全微分:d=d+dy du=dx+dy+dz 全微分的近似计算:A≈d=f(x,y)Ax+f,(x,y)Ay 多元复合函数的求导法: z=f(O)v(n=,。abn dt 二=f[u(x,y,v(x,y) ax au ax av ax 当u=u(x,y),v=v(x,y)时, d dx+dy dv==dx+dy 隐函数的求导公式: 隐函数F(xy=0,中=-F,da,F1、8,F1少 隐函数F(x,y,=)=0, - F. a- F, aFaF 隐函数方程组:(xy.)=0 J-o(, G)_ou oL_Fw F, G( v)=0 d(u,v aGaG O(F,G) 1 aF,G) J a(x, v) ax a(u,x) au 1 a(F,G) _1 O(F,G) a(,v) a(u,y) 微分法在几何上的应用 x=(1) 空间曲线{y=v()在点M(x0,y02)的切线方程 q(t0)v(t0)o(t0) 二=O(1) 在点M处的法平面方程:q(t0x-x0)+v(t0y-y)+o(t0(-=0)=0 若空间曲线方程为F(3=0则切向量=EE5 (x,y,二)=0 曲面F(x,y,=)=0上一点M(x,y,=0),则: 1、过此点的法向量:n={F(x0,y0,=0F(x0,y,=0)F(x0,y=0) 2、过此点的切平面方程:F(x0y,=0x-x)+F(x,y,2y-y)+F(x,y,aXx-)=0 3、过此点的法线方程:x-x=y-10=-=-=0 F(x0,y0,2=0)F(x0,y,20)F(x0,y0, 方向导数与梯度

z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = −   = −   = −    −   = = − =   +   =   +   = = =      +      =   =      +      = =   =  +    +   +   =   +   = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v   = −      = −      = −      = −    =         =   =    = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z − = − = − − + − + − = = =     = = =  − +  − +  − =  − =  − =  −      = = = 、过此点的法线方程： 、过此点的切平面方程： 、过此点的法向量： 曲面 上一点 ，则： 若空间曲线方程为： 则切向量 在点 处的法平面方程： 空间曲线 在点 处的切线方程：            方向导数与梯度：

函数=f(x,y)在一点p(xy)沿任一方向方向导数为:=c89+mp 其中为x轴到方向的转角。 函数=(xy)在一点p(x,y)梯度:gad/(xy)=7+ 它与方向导数的关系是:=gadf(x,y)e,其中e=cosq7+sm9·,为方向上的 单位向量。 是gaJ(xy)在上的投影 多元函数的极值及其求法: it(xo, yo)=f(xo,yo)=0, :f(xo, yo)=A, f(o yo)=B, f,(xo, yo)=C AC-B2>0时 ∫A0(x0,y)为极小值 则:AC-B20)的引力:F={F2,F,F},其中: F1=/ p(x, y)xdo F=fff-pl(r, y)ydc F=- p(x, y)xdo 柱面坐标和球面坐标:

是 在 上的投影。 单位向量。 它与方向导数的关系是： ，其中 ，为 方向上的 函数 在一点 的梯度： 其中 为 轴到方向 的转角。 函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为： f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin    =  =  +      +   = =   +   =   =            多元函数的极值及其求法：          − = −       −  = = = = = 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， 则： 设 ，令： 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C 重积分及其应用：             + + = − + + = + + =  = = = = = = =          +        = = + =  D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y x d F f a x y a x y yd F f x y a x y x d F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin )                      ， ， 平面薄片（位于 平面）对 轴上质点 的引力： ，其中： 平面薄片的转动惯量：对于 轴 对于 轴 平面薄片的重心： 曲面 的面积 柱面坐标和球面坐标：

x=rose 柱面坐标y=rsnO f(, y, =)dxdyd==F(r,0,=)rdrdadz 其中:F(r,O,)=f( rose,rsin,z) x=rsn cos0 球面坐标y= rsin sin, dv=rdorsin -dedr=rasin drdode J5(x,y, =dxdyd:=F(r,p,0) sin gadrdode= de do F(r,p,0)rsin gdr 重心:x=1 yed 其中M=x=川 转动惯量:,=小(y2+=2)ph1,=(x2+=2)ah,1:=(x2+y)poh 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分) 设(xy在上连续,的参数方程为1=0(a5D则 f(x,y)ds=「/(y()Vo2()+u2(o)dt(a<B)特殊情况{x=t y=q()

                         = + = + = + = = = = = = = =    =      = = = = =      = = = I y z dv I x z dv I x y dv z dv M x dv M y dv z M x dv y M x f x y z dxdydz F r r drd d d d F r r dr dv rd r d dr r drd d z r y r x r F r z f r r z f x y z dxdydz F r z rdrd dz z z y r x r x y z r                                        ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 ( , , ) ( , , ) sin ( , , ) sin sin sin cos sin sin sin cos ( , , ) ( cos , sin , ) sin , ( , , ) ( , , ) , cos 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 0 2 2 2 转动惯量： ， ， 重心： ， 其中 球面坐标： ， 其中： 柱面坐标： 曲线积分：    = = =  +        = =   ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( , ) 2 2 y t x t f x y ds f t t t t dt t y t x t f x y L L L              特殊情况： 设 在 上连续， 的参数方程为： 则： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): 设L的参数方程为 x=g(1) y=v() P(x,y)x+Q(x,y)={P()(m)]q(1)+p(m)v(njwy(m)d 两类曲线积分之间的关系P+gh=(Pcsa+gosB)ds,其中a和份别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式』2-0)=-手P+Q的格林公式2一b=P+Qh 当P=-y,Q=x,即 =2时,得到D的面积:A=h=xd-yd 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy)Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,日Q_P。注意奇点,如(00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积 在=时,P+②b才是二元函数0xy)的全微分,其中 (xy)=∫Pxy)d+xy),通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分(x=1xyx+:(x,y)+:(x)h 对坐标的曲面积分Pxy)+Q(xy)dk+R(x,y)dd其中: (x,y.)bd=xy:(x,yd取曲面的上侧时取正号 P(x,)=「Pxy:y1v,取曲面的前侧时取正号 (x,y)ddk=qx,y(:,x1tdk,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系pb+d+Rh=j(Posa+cosB+ Rosy)d 高斯公式

，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = +         = = = −   −   = − = = +   −   = +   −   + = + + =  +     = =            u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L               曲面积分：                   + + = + + =  =  =  + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy z x yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系：    ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分： 高斯公式：

+o)dv=h Pdydz+od=dx+ Rdxdy=H(Pcosa+Ocos B+Rcosy ) ds 高斯公式的物理意义一一通量与散度: 散度:d=22+2+R,即:单位体积内所产生的流体质量,p<0则为消失 通量[A.nds=A,ds=( Pcos+ Ocos B+ Rosy)ds, ∑ 因此,高斯公式又可写成:小dwAh=手4d 斯托克斯公式—曲线积分与曲面积分的关系 )dh+(---)dzdx+( )dxdy=f Pdx+Ody+Rdz 上式左端又可写成:12- cosa cosp cos dyd: rdx dx ax P O R 空间曲线积分与路径无关的条件 aR a0 aP aR a0 aP oy aa ax ax ay 旋度:mot_aa P O R 向量场沿有向闭曲线的环流量手P+Qh+R=于A1d 常数项级数: 等比数列+q+q+…+q"=1=g 等差数列+2+3+…+n≈(+1)m 调和级数:+++…+-是发散的 级数审敛法

                =  = = + +    +   +   = = + + = + +   +   +   Adv A ds A nds A ds P Q R ds z R y Q x P dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds z R y Q x P n n      div ( cos cos cos ) div , div 0, ... ( ) ( cos cos cos ) 因此，高斯公式又可写成： 通量： ， 散度： 即：单位体积内所产生的流体质量，若 则为消失 高斯公式的物理意义— —通量与散度：         斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：              + + =        =   =     =     =         =       = + +   −   +   −   +   −   A Pdx Qdy Rdz A t ds P Q R x y z A y P x Q x R z P z Q y R P Q R x y z P Q R x y z dydz dzdx dxdy dxdy Pdx Qdy Rdz y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R     向量场 沿有向闭曲线 的环流量： 旋度： 空间曲线积分与路径无关的条件： ， ， 上式左端又可写成： i j k rot cos cos cos ( ) ( ) ( )    常数项级数： 调和级数： 是发散的 等差数列： 等比数列： n n n n q q q q q n n 1 3 1 2 1 1 2 ( 1) 1 2 3 1 1 1 2 1 + + + + + + + + + = − − + + + + = −    级数审敛法：