第三章导数与微分 第八讲函数的微分法 CThe Differentiable Methods of function 阅读:第3章32,3.3,3.4pp.60-78, 预习: 练习pp59-50习题3:1至5;6:单数小题;7;8(1);9:单数小题 10:单数小题;11,(2);13:单数小题;14:单数小题 15,(1),(3) 作业pp59-50习题3.1:6:双数小题;8,(2);9:双数小题; 10:双数小题;1,(1);13:双数小题;14:双数小题 15,(2),(4);17;18. 预习:第四章41pp.80-88 练习pp73-74习题33:1至3;4:单数小题;5:单数小题 7:单数小题 pp7879习题34:1至4;5:单数小题;6:单数小题 9:单数小题 作业pp73-74习题33:4:双数小题;5:双数小题;6; 7:单数小题;9 pp7879习题34:5:双数小题;6:双数小题;7;8 9:(2),(4),(6)10);11 3-3函数的微分法 33-1复合函数导数公式 )复合函数微分法 定理(链式法则)设有可微函数y=f(u)和u=g(x), 则复合函数y=f(g(x)亦可微,且 4(g(x)=r(g(x),g(x)或=.如 证明;m4-m1(y.m1-(mA丫mAn Ar→0△x Mn→0△a八△x→0△x f(g(x))g(x) 上面证法有一个问题:由x是自变量,当Ax→>0时,Ax≠0,但不能保证中间变量的增量 △a=g(x+△x)-g(x)总不等于零.因此将写成 不但欠妥,而且也不满足复合函数 l△x 求极限的全部条件。因此必须换一种证法 正确证明方法 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 第八讲 函数的微分法 (The Differentiable Methods of function) 阅读： 第 3 章 3.2, 3.3, 3.4 pp.60—78, 预习: 练习 pp59--50 习题 3.1: 1至 5; 6: 单数小题; 7; 8, (1); 9: 单数小题; 10 : 单数小题; 11, (2); 13: 单数小题; 14: 单数小题; 15, (1), (3) 作业 pp59--50 习题 3.1: 6: 双数小题; 8, (2); 9: 双数小题; 10 : 双数小题; 11, (1); 13: 双数小题; 14: 双数小题; 15, (2), (4); 17; 18. 预习: 第四章 4.1 pp.80--88 练习 pp73--74 习题 3.3: 1 至 3; 4: 单数小题; 5: 单数小题; 7 : 单数小题; pp78—79 习题 3.4 : 1 至 4; 5: 单数小题; 6: 单数小题; 9 : 单数小题; 作业 pp73--74 习题 3.3: 4: 双数小题; 5: 双数小题; 6; 7 : 单数小题; 9. pp78—79 习题 3.4: 5: 双数小题; 6: 双数小题; 7; 8 9 : (2),(4),(6),(10); 11. 3-3 函数的微分法 3-3-1 复合函数导数公式 (一) 复合函数微分法 定理 ( 链式法则 ):设有可微函数 y = f (u) 和 u = g(x) , 则复合函数 y = f (g(x)) 亦可微, 且 ( ( )) ( ) ( ( )) f g x g x dx df g x = 或 dx du du dy dx dy = 证明： x y x →0 lim = = → → → x u u y x u u y x 0 u 0 x 0 lim lim lim = dx du du dy = f (g(x))g (x) 上面证法有一个问题: 由 x 是自变量,当 x →0 时, x 0 ,但不能保证中间变量的增量 u = g(x + x) − g(x) 总不等于零. 因此将 x y 写成 x u u y 不但欠妥，而且也不满足复合函数 求极限的全部条件。因此必须换一种证法。 正确证明方法：
第三章导数与微分 y=f()可微→4(l)=f(b)△a+o(△) 可以用另外一种方式表示:O(△)=o(1)△n,该式当△=0时也正确 4(u)=f(u)△a+o(1)△a 4(u)f()△n,o(1)△(a0) △x 4x5(a)4 o(1) X 当Ax→0 d(u0) (二)微分形式不变性(复合函数的微分公式) 设有可微函数y=f()和u=g(x),则复合函数y=f(g(x)亦可微,且其微分是 dJf(u)=f()·dh 证明:d()=f(u(x)△x =f'(un)(x)x=f(un)·d l(x)=x,才有d=△,因此对自变量x,我们将微分写 dJf(x)=f(x)·△x=f(x)dx 当u(x)≠x,有dh≠Δ,因此对中间变量u=u(x),我们不能将微分写成 df(u(x)=f(u)△a,但有:df(u)=f'()dh 也就说说,不管u是自变量还是中间变量(函数),微分形式都是 df(u)=f(u) du 称之为微分形式不变性。 (三)复合函数微分法举例 例1:设y=co(5x2+2x+3),求y(x) 解: +2x+3 y=f(u)=cosu dy dy du d x du dx =(-sna)(10x+2) (10x+2)sn(5x2+2x+3) 例2:设y=(x )2,求y(x) dy 3(x-1 x+1)(x+1 (x+1)2 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 y = f (u) 可微 ( ) ( ) ( ) f u0 = f u0 u + o u 可以用另外一种方式表示: o(u) = o(1)u , 该式当 u = 0 时也正确 f (u0 ) = f (u0 )u + o(1)u . x u o x u f u x f u x o u x f u u x f u + = + = ( ) (1) ( ) ( ) (1) ( ) 0 0 0 0 当 x →0, ( ) 0 ( ) 0 0 = + d x du f u d x df u . (二) 微分形式不变性(复合函数的微分公式) 设有可微函数 y = f (u) 和 u = g(x) , 则复合函数 y = f (g(x)) 亦可微, 且其微分是 df (u) = f (u) du 证明： df u f u x x ( ) = x ( ( )) = = f (u)u (x)x = f (u) du 当 u(x) = x , 才有 du = u , 因此对自变量 x , 我们将微分写成： df (x) = f (x)x = f (x) dx 当 u(x) x , 有 du u , 因 此 对 中 间 变 量 u = u(x) , 我 们 不 能 将 微 分 写 成 ： df (u(x)) = f (u)u , 但有： df (u) = f (u) du . 也就说说，不管 u 是自变量还是中间变量(函数)，微分形式都是: df (u) = f (u) du . 称之为微分形式不变性。 (三) 复合函数微分法举例 例 1: 设 y = cos(5x +2x + 3) 2 ,求 y (x). 解: 令 u = g(x) = 5x +2x + 3 2 , y = f (u) = cosu. = = (−sin u)(10x + 2) dx du du dy dx dy = (10 2)sin( 5 2 3) 2 x + x + x + 例 2: 设 2 3 ) 1 1 ( + − = x x y , 求 y (x). 解: . ( 1) 3( 1) 1 1 1 1 2 3 2 5 2 1 ' 2 1 + − = + − + − = x x x x x x dx dy x
第三章导数与微分 例3:y=hn(x+ ),求y(x) 解(x+x+(x+√x+a)x+(x+a2) 1+(x2+a2)2(x2+a2)’1+(x2+a2)2.2x 例3:f(x) Sn(2 arctan-),x≠0 求f(x) 0 解当x≠0,f(x)=co2 arctan2 arctan 2 cos 2 arctan 2 arctan sin 2 arctan 当x=0,f(0)=lmn ,令u= arctan-→-=tan f(o=lim sin(2u) tan u= lim 2sin2u=2 → f'(x)=lim 2 cos 2 arctan lim cos 2 arctan-=2 x→01+x 这里有:Imf(x)=f(0)=2,这是必然的吗? 另解:令l= arctan-→-=tanu→snl= coSu= f(x)=sin[ 2 arctan-=sin 2u=2sin ucosu 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 例 3: y = ln(x + x +a ) 2 2 ,求 y (x). 解: . ( ) ( ) (ln( )) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a x x a x x a x x a x x a + + + + = + + + + + + = = 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 x x a x a x x x a x a x a + + + + = + + + + + − − . 1 2 2 x +a = 例 3: ( ) = = 0 , 0 ), 0 1 sin( 2arctan x x f x x , 求 f (x) . 解: 当 x 0, ( ) = x x f x 1 2arctan 1 cos 2arctan = + − = + − x x x x x 1 cos 2arctan 1 2 1 1 1 1 2cos 2arctan 2 2 2 ; 当 x = 0, ( ) = → x x f x 1 sin 2arctan 0 lim 0 , 令 u x x u tan 1 1 = arctan = , (0) lim sin (2 ) tan lim 2sin 2 2 2 2 = = = → → f u u u u u . ( ) 2 1 lim cos 2arctan 1 2 lim 1 cos 2arctan 1 2 lim lim 0 2 0 2 0 0 = + − = + − = → → x x → x → x f x x x x x 这里有： lim ( ) (0) 2 0 = = → f x f x , 这是必然的吗？ 另解：令 u x x u tan 1 1 = arctan = 2 2 1 , cos 1 1 sin x x u x u + = + = ( ) 2 1 2 sin 2 2sin cos 1 sin 2arctan x x u u u x f x + = = = = ;
第三章导数与微分 2 在x=0点的问题实际上只是因为函数的表示 若用f(x)= 2 则是无任何无定义点的好函数 1+x 而用f(x),则要考虑的问题x=0和x≠0 实际上x=0是函数f(x)=sim|2 arctan的可去间断点。 3-3-2微分(求导)方法 ()对数求导法则 1幂指函数求导 对于幂指函数f(x)=l(x)x)的求导,可变成 f()=u(x)"x)=e"()In(u(r) 再利用复合函数求导 亦可用对数求导方法设y=f(x) 则(my)=,于是y=yhy)这就是对数微分法 例4 解:(hy)’=(nx2)’=(xhx)=hx+ yny)’=x(nx+1) 例5:设y= (x-1)(x-2 ,求 V(x-3)(x-4) 解:(hy)=([ln(x-1)+l(x-2)-(x-3)-h(x-4)) 2 y=y(n y)= 2 (二)参数微分法 若y对于x的函数由参数方程 x=q(1) 确定的,如何求? 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 x x x x x x x f x + − = + + − = + = . 在 x = 0 点的问题实际上只是因为函数的表示： 若用 ( ) 2 1 2 x x f x + = , 则是无任何无定义点的好函数； 而用 f (x), 则要考虑的问题 x = 0 和 x 0 . 实际上 x = 0 是函数 ( ) = x f x 1 sin 2arctan 的可去间断点。 3-3-2 微分(求导)方法 (一) 对数求导法则 1 幂指函数求导 对于幂指函数 ( ) ( ) ( ) v x f x = u x 的求导, 可变成 ( ) ( ) ( ) v x f x = u x = v( x)ln(u( x)) e 再利用复合函数求导。 亦可用对数求导方法. 设 y = f (x) 则 (ln ) y y y = ,于是 y = y(ln y) 这就是对数微分法. 例4: x y =x ，求 y 解： (ln y) = (ln x ) = (x ln x) = ln x +1 x . y = y(ln y) =x (ln x +1) x . 例5: 设 3 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y ,求 y 解： [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)]) 3 1 (ln y) = ( x − + x − − x − − x − ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 3 1 − − − − − + − = x x x x ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( ( 3)( 4) ( 1)( 2) 3 1 (ln ) 3 − − − − − + − − − − − = = x x x x x x x x y y y (二) 参数微分法 若 y 对于 x 的函数由参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 确定的, 如何求 ? dx dy
第三章导数与微分 只要假定x=0(0存在反函数并且女 q()≠0 存在.根据复合函数求导法则,得到 dx dx (o) dt 中中d中/dy( dr dt dx dx dt ( 例6:在椭圆x+y=1上任一点求其切线 解:椭圆可以表示成参数方程 x=a cos (0≤6<2丌) ly=bsin 6 椭圆上任意一点x= acos 6,y=bsnθ,切线斜率等于 dy de bcos asn6(当不等于零) 于是当θ不等于零时,即y不等于零时切线方程为 te(x-x 例7:设 x=a(In tan +cost) dy y=asin t dy dt aCost Tant acOs dt Sint (三)隐函数求导 如果变量y对于变量x的函数关系y=y(x)是由一个方程 F(x,y)=0 确定的,则称y=y(x)为隐函数。一般来说,要将其解出y,以表示成显函数形式,不但很困难 甚至不可能.如何在不解出y的情况下求隐函数的导数?这可以用复合函数求导法则来求隐函数 的导数 例8:设函数y=y(x)由方程:e+sn(x+y)=0,求y 解:将方程e+sn(x+y)=0两端关于自变量x求导数。在求导数的过程中始终将y看成x的 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 只要假定: x = (t) 存在反函数,并且 = (t) 0 dt dx , 有 ( ) 1 1 t dt dx dx dt = = 存在. 根据复合函数求导法则, 得到 ( ) ( ) t t dt dx dx dy dx dt dt dy dx dy = = = 例6: 在椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 上任一点求其切线. 解: 椭圆可以表示成参数方程: , (0 2 ) sin cos = = y b x a , 椭圆上任意一点 x = a cos, y = bsin ,切线斜率等于 sin cos a b d dx d dy dx dy − = = (当 不等于零). 于是当 不等于零时,即 y 不等于零时,切线方程为 cot (X x) a b Y − y = − − . 例7: 设 = = + y a t t t x a sin cos ) 2 (ln tan ,求 dx dy .解: Tant Sin t aCos t aCost dt dx dt dy dx dy = = = 2 (三) 隐函数求导 如果变量 y 对于变量 x 的函数关系 y = y(x) 是由一个方程 F(x, y) = 0 确定的, 则称 y = y(x) 为隐函数。一般来说, 要将其解出 y ，以表示成显函数形式, 不但很困难， 甚至不可能. 如何在不解出 y 的情况下求隐函数的导数? 这可以用复合函数求导法则来求隐函数 的导数. 例 8: 设函数 y = y(x) 由方程: e +sin( x + y) = 0 xy ,求 y 解: 将方程 e +sin( x + y) = 0 xy 两端关于自变量 x 求导数。在求导数的过程中,始终将 y 看成 x 的
第三章导数与微分 函数运用复合函数求导法则 e-y(xy)+cos(x+y)(x+y)=0 e(y+xy)+cos(x+y(1+y)=0 +cos(x+y) xe" +cos(x+ y 3-4高阶导数 对导函数再求导,就成为高阶导数。设y=f(x) 阶导数;y=f(x),y=(x) 阶导数:y"=(f(x)=f"(x),y”= d df(x)df(x) dx a d (df(x)df(x) 三阶导数:y”=(x)=f"(x),y2d 四阶导数 (=(7(x)=八,y(4)=d(df(x)-dfx) dx dx3 n阶导数: (n)=(r(n-1)(y d(d"-lf(x)d"f(x) 例9求sinx,cosx的高阶导数 (Sn x)=cos x=sin(x+o) (sin x)=(cos x)=-sin x=sin( x+2) 归纳得到 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 函数,运用复合函数求导法则, e (xy) + cos(x + y)(x + y) = 0 xy e ( y + xy ) + cos(x + y)(1+ y ) = 0 xy cos( ) cos( ) xe x y ye x y y xy xy + + + + = − 3-4 高阶导数 对导函数再求导，就成为高阶导数。设 y = f (x), 一阶导数： y = f (x), dx df x y ( ) = 二阶导数： y ( f (x)) = f (x) = , 2 2 ( ) ( ) dx d f x dx df x dx d y = = 三阶导数： y ( f (x)) = f (x) = , 3 3 2 2 ( ) ( ) dx d f x dx d f x dx d y = = 四阶导数： ( ( )) ( ) (4) (4) y f x = f x = , 4 3 4 (4) ( ) 3 ( ) dx d f x dx d f x dx d y = = n 阶导数： ( ( )) ( ) ( ) ( 1) ( ) y f x f x n n n = = − , n n n n n dx d f x dx d f x dx d y ( ) ( ) 1 1 ( ) = = − − 例9 求 sin x, cos x 的高阶导数 ) 2 (sin ) cos sin( x = x = x + ) 2 (sin ) (cos ) sin sin( 2 x = x = − x = x + 归纳得到 ) 2 (sin ) sin( ( ) n x x n = +
第三章导数与微分 同样可以得到 例10:(x2)")=p(p-1)(p-2).、( 特别当n=-1时(2)y0==Dm 例Ⅱ(hx)(=(-) 例12(a2) a) a 特别当a=e时(e2)")=ex 高阶导数的乘积公式:莱布尼茨公式 设u=u(x),v=v(x),且记u0=l(x),p0=(x) (n-k+1) 例13(x2e2)100=(e2)(x2)+100e2)(x2)+ 100.99 2(e2)∞(x2)"+0 xe+200xe+9900e 例14求( (arctan x) 解:y=( arctan x) →(+x)y=1 1+x +x)y)2=0.n≥ +x2)2)+2)y)+u()y) 2xy+(n-)y)n≥1 1+x (2x +n一 n≥1 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 同样可以得到 ) 2 (cos ) cos( ( ) n x x n = + 例10: p n p n x p p p p n x − ( ) = ( −1)( − 2)...( − +1) ( ) 特别当 n = −1 时 . ( 1) ! ) 1 ( 1 ( ) + − = n n n x n x 例11 n n n n x n x x ( 1) ( 1)! ) 1 (ln ) ( 1 ( ) ( 1) − − = = − − 例12 x n n x (a ) (ln a) a ( ) = 特别当 a = e 时 x n x e =e ( ) ( ) . 高阶导数的乘积公式：莱布尼茨公式 设 u = u(x), v = v(x), 且记 ( ), ( ) (0) (0) u = u x v = v x , ( ) ( ) ( ) = − = − − − + = = n k k n k n k k k n k n n u v k n n n k u v C u v 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! 1 1 例13 ( ) = ( ) ( ) +100( ) ( ) + 2 (100) (100) 2 (99) 2 x e e x e x x x x + ( ) ( ) 0 2 100 99 (98) 2 + e x x = x x x x e 200 x e 9900 e 2 + + . 例14 求 ( ) (n) arctan x 解： ( ) 2 1 1 arctan x y x + = = (1 ) 1 2 + x y = (( ) ) ( ) 1 0, 1 2 + x y = n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, 1 2 1 1 2 2 1 1 = − + + + + − y n n n x y n x y n n n ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 ), 1 1 1 2 1 + − + − = + − x y n y n x n y n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − = + = + − 2 1 , 1 1 , 1 1 1 2 1 2 x y n y n x n y x y n n n
第三章导数与微分 特别是 (O)=1 y+)(0)=-n(n-1)y)0)n≥1 (0)=1 →{y()=0,k≥1 y2x+()=-2k(2k-1)y2-0(0)=(-1)(2k),k≥1 例15求 (arcsin x)y 解: →(-xx)2=1→-2x(y)2+2-x)yy=0 第三章导数与微分
第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 特别是： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = + − 0 1 0 , 1 0 1 , 1 1 y n n y n y n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − = = + − 0 2 2 1 0 1 2 ! , 1 0 0, 1; 0 1, 2 1 2 1 2 y k k y k k y k y k k k k 例15 求 ( ) (n) arcsin x ; 解： (1 )( ) 1 1 1 2 2 2 − = − = x y x y 2 ( ) 2(1 ) 0 2 2 − x y + − x y y = (1 ) 0 2 − x y − x y =
