清华大学：《微积分》课程教学资源_第三章 向量值函数与空间曲线（3.3）曲线的曲率与挠率（课后作业）

第三章向量值函数与空间曲线 第三章空间曲线的基本知识 第三节曲线的曲率与挠率 第十讲曲线的曲率与挠率 课后作业: 阅读:第三章第三节曲线的曲率与挠率pp.87--94 预习:第三章第四节在天体力学中的应用pp94-96 作业 1.在下列曲线的曲率k和挠率τ (1)F=(acht, a sht, at) 2)F=(t-sin t, 1-cost, t) (3)F=(tsim, t cos t,an)(圆锥曲线) (4)F=(2n) 2.证明曲线F=(,1+,1-是平面曲线。 3.证明曲线F=(+3+212,2-2+52,1-2)是平面曲线 4.证明:(1)T”N=0;(2)B'·N=0 3.3曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式 2.3.1曲线的曲率 ●曲率的定义 在很多实际问题中,例如,设计拐弯的铁道,弯曲的梁,曲线形的刀具,都 必须考虑曲线的弯曲程度,数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率 它应该如何定义呢 设光滑曲线C的方程为F=f(s),s为自然参数,当s由s→S0+△As时,切 向量()与7(+0)的正向夹角为A0.显然,越大,则曲线C在A △s 弧段上平均弯曲程度越大。所以A越大,等价于A=|7(n+△)-川越 大,因此,光滑曲线C在点S0处的曲率可以用 (s)=|(s米 来描述,下面难出曲线C在一点处的曲率和曲率半径的定义 定义22光滑曲线F=F()对自然参数s的二阶导向量的模庐《称为曲线r(s) 在点s处的曲率,记作k(s),即A(s)=|(s 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 1 第三章 空间曲线的基本知识 第三节 曲线的曲率与挠率 第十讲 曲线的曲率与挠率 课后作业： 阅读：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94 预习：第三章 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96 作业: 1. 在下列曲线的曲率 k 和挠率： (1) ( ) T r = a cht, a sht,at  ； (2) ( ) T r = t − sin t, 1− cost, t  ； (3) ( ) T r = tsin t, t cost, at  （圆锥曲线）； (4) ( ) T r t t t 2 3 = , ,  。 2. 证明曲线 T t t t r t       = + − 1 , 1 , 1  是平面曲线。 3. 证明曲线 ( ) T r t t t t t 2 2 2 = 1+ 3 + 2 , 2 − 2 + 5 , 1−  是平面曲线。 4. 证明：(1) T  N = 0   ； (2) B  N = 0   . 3.3 曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式 2.3.1 曲线的曲率 ⚫ 曲率的定义 在很多实际问题中，例如，设计拐弯的铁道，弯曲的梁，曲线形的刀具，都 必须考虑曲线的弯曲程度，数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率。 它应该如何定义呢？ 设光滑曲线 C 的方程为 r r(s)   = , s 为自然参数，当 s 由 s s s 0 → 0 +  时，切 向量 ( ) 0 T s  与 T(s + s) 0  的正向夹角为 。显然， s  越大，则曲线 C 在 A  B  弧段上平均弯曲程度越大。 所以  s 越大，等价于 ( ) s T s s T s s T  +  − =   ) ( ) 0 0   越 大，因此，光滑曲线 C 在点 s0处的曲率可以用 lim ( ) ( ) 0 0 0 T s r s s T s    =  =     → 来描述，下面难出曲线 C 在一点处的曲率和曲率半径的定义。 定义 2.2 光滑曲线 r r(s)   = 对自然参数 s 的二阶导向量的模 r (s)   称为曲线 r(s) 在点 s 处的曲率，记作 k(s)，即 k(s) r (s)  = 

第三章向量值函数与空间曲线 当k(s)≠0时,称R)=为曲线严)在点s处的曲率半径 k(s) 在弗雷耐标架中,由于T()=(s),了(s)=(s),而N()= 故 7(s)=|(s)N(s)=k(s)N(s) 我们称向量k(s)N(s)为曲线(s)在点s处的曲率向量。 由向量f(s)+R(s)N(s)表示的点Q称为曲线在点s处的曲率中心 在点s的密切平面上,以曲率中心Q为圆心,曲率半径R(s)为半径的圆M, 称M为曲线在点s处的密切圆。 显然,密切圆与曲线在点s相切,而且在点s它们有相同的曲率,工程中常 常用密切圆的一段弧来近似代替点s邻近的一段曲线。 曲率的几何意义,我们先证一个引理 设l()是单位向量函数,△=e(+△n)-e(),而△为e(+△)和()的夹 角,则 事实上,按照向量函数导数的定义,有 △O 2SI 由曲率的定义和(=1及上述结果,得 =|(s州 式中△是T(s+As)和r(s)的夹角。所以,曲线在一点处的曲率就是曲线在该点 的切向量倾角对其弧长的变化率,或称切线对弧长的转动率,这就是曲率的几何 意义 例1求圆柱螺线产()=( acost asin t b)的曲率。 f F(=(acost, a sin t, bt) (=(-acost,-asin t,O) (o Va2+b2 (asin t, a cost, b) dtdt ds ds dt / dr (acost, -asin t,0) b2√a2+b (cost, -sin t,O) 故 ds b2 第三章向量值函数与空间曲线 2

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 2 当 k(s)0 时，称 ( ) k(s) R s 1 = 为曲线 r(s)  在点 s 处的曲率半径. 在弗雷耐标架中，由于 T(s) = r (s)   ,T (s) = r (s)   , 而 ( ) ( ) r (s) r s N s      = ，故 T (s) r (s) N(s) k(s)N(s)      =  = 我们称向量 k(s)N(s)为曲线 r(s)  在点 s 处的曲率向量。 由向量 r(s) R(s)N(s)   + 表示的点 Q 称为曲线在点 s 处的曲率中心。 在点 s 的密切平面上，以曲率中心 Q 为圆心，曲率半径 R(s)为半径的圆 M ， 称 M 为曲线在点 s 处的密切圆。 显然，密切圆与曲线在点 s 相切，而且在点 s 它们有相同的曲率，工程中常 常用密切圆的一段弧来近似代替点 s 邻近的一段曲线。 ⚫ 曲率的几何意义，我们先证一个引理。 设 e(t)  是单位向量函数， e e(t t) e(t)     = +  − ，而  为 e(t + t)  和 e(t)  的夹 角，则 dt t de t t   =  →  0 lim ( )  事实上，按照向量函数导数的定义，有 t t t t e dt de t t t t   =    =   =  →  →  →   0 0 0 lim 2sin lim lim ( )   由曲率的定义和 T(s) = 1  及上述结果，得 ds s dT s k s r s t   =  = =  →  0 lim ( ) ( ) ( )   . 式中  是 T(s + s)  和 T(s)  的夹角。所以，曲线在一点处的曲率就是曲线在该点 的切向量倾角对其弧长的变化率，或称切线对弧长的转动率，这就是曲率的几何 意义。 例 1 求圆柱螺线 ( ) ( ) T r t = a cost asin t bt  的曲率。 ( ) ( ) ( ) T T T r t a t a t r t a t a t b r t a t a t bt ( cos , sin ,0) ( sin , cos , ) ( cos , sin , )  = − −  = − =    解 ( ) ( cos , sin ,0) ( cos , sin ,0) 1 1 ( sin , cos , ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 t t a b a a t a t dt a b a b ds dt dT ds dT a t a t b r t a b r t ds dr T s T − − + = − − + + = = − + =   = =       故 2 2 a b a ds dT k + = = 

第三章向量值函数与空间曲线 例2证明:空间曲线为直线的充要条件是曲率k(s)=0 证:必要性:设直红方程为r()=se+b(其中e,b为常向量) 故尸=e”=0.即k(S)=际s)=0 充分性:若k=r"S=0则由r"(s)=0解得f()=se+b为直线。 一般参数t表示的曲线(r=r(t)的曲率表示式。 r(s=r(Or(s) 由 F"(s)=r")((s)2+r(t)r 而(s)=(s=1,及(s)P(s)=0 k(s)=|(s)=际(s)x(s 所以=F((s)×(F"(r(s)2+F('( =((s)(P(1)×F"(t) 因此a ds|df‖ds|dlF dd→a=//→r(s)= k(s) ()xF"() 2.3.2挠率 空间曲线除了有“弯曲”的概念外,还有一个“挠扭”的概念,“弯曲”是 相对于“直”而言的,而“挠扭”是相对于“平”而言的,位于一个平面上的曲 线称为平面曲线,它是不“挠扭”的,所以,我们称非平面曲线为挠曲线。 挠曲线上点s+As将偏离s处的密切平面,或者说曲线上点s和s+As处的 密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异,例如,一条弹簧,在压得 很紧的时候,它的每一圈都接近于(或者就是)平面曲线,曲线上点s+△s偏离 s处的密切平面较小;放开时,曲线上点s+△s偏离s处的密切平面程度就会就 大 我们将用密切平面的变化率,即密切平面的法向量(即曲线的从法向量) B(s)的变化率来描述这种偏离程度,从而导出曲线论中的另一个重要的几何概 念:挠率 在弗雷耐标架((s)N(B(s)}中 B()7(s)=0 对上式两边求导,得B'(s)7(s)+B(s)·T(s)=0 将T'(s)=k(s)N(s)和B(s)·N(s)=0,代入得 B′( 又由B(s)·B(s)=0可知B(s)同时垂直于7(s)和B(s) 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 3 例 2 证明：空间曲线为直线的充要条件是曲率 k(s)0。 证：必要性：设直红方程为 r(s) s e b    = + （其中 e b   , 为常向量） 故 r  = e,r  = 0,   即 k(s) = r (s)  0  充分性：若 k = r(s)  0 则由 r(s) = 0 解得 r(s) s e b    = + 为直线。 ⚫ 一般参数 t 表示的曲线(r=r(t))的曲率表示式。 由 ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r s r t t s r t t s r t r t r s r t t s  =   +      =   =        而 r (s) = T(s) = 1   ,及 r (s)r (s) = 0   所以 ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( )( ( )) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 t s r t r t r t t s r t t s r t t s k s r s r s r s =     =      +   =  =            因此 ( ) r (t) t s dt dr dt ds dt dr dt ds  =  =   =    1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) r t r t r t k s     =    2.3.2 挠率 空间曲线除了有“弯曲”的概念外，还有一个“挠扭”的概念，“弯曲”是 相对于“直”而言的，而“挠扭”是相对于“平”而言的，位于一个平面上的曲 线称为平面曲线，它是不“挠扭”的，所以，我们称非平面曲线为挠曲线。 挠曲线上点 s+s 将偏离 s 处的密切平面，或者说曲线上点 s 和 s＋s 处的 密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异，例如，一条弹簧，在压得 很紧的时候，它的每一圈都接近于（或者就是）平面曲线，曲线上点 s+s 偏离 s 处的密切平面较小；放开时，曲线上点 s+s 偏离 s 处的密切平面程度就会就 大。 我们将用密切平面的变化率，即 密切平面的法向量（即曲线的从法向量） B(s)  的变化率来描述这种偏离程度，从而导出曲线论中的另一个重要的几何概 念：挠率。 在弗雷耐标架 r(s);T(s), N(s), B(s)     中， B(s)T(s) = 0   ， 对上式两边求导，得 B(s)T(s) + B(s)T (s) = 0     将 T (s) k(s) N(s)    = 和 B(s) N(s) = 0   ，代入得 B(s)T(s) = 0   又由 B(s) B(s) = 0   可知 B (s)   同时垂直于 T (s)  和 B(s) 

第三章向量值函数与空间曲线 从而B()平行于N(s),即 其中τ(s)是数值函数,前面的负号是为了方便添加的。于是, B(s)={(s(s)=B(s)N(s) 所以,我们对曲线的挠率给出如下的定义。 定义2.3我们称函数r(s)=-B(s)N(s)为曲线r(s)在点S处的挠率 由于 (s)=1B= 其中△o表示B()和B(s+△s)间的夹角,即两相邻点的密切平面的夹角。所以, 挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率,或曲 线在该点“偏离”相应的密切平面的程度,这就是挠率的几何意义 例3证明:由线r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。 证必要性是显然的,因为曲线上任一点处的密切平面都是r(s)所处的平 面,即B(s)方向不随s变化,是一个常向量,故有 B (sI 充分性:已知对任意s有τ(s)≡0即B(s)≡0,即从法线向量 B(s)=B(常向量), 因为 T(s)·B=0, 故 (r(s)·B0)′=r'(s)B。=T(s)·B≡0 从而 (r(s)·B0)=q(常数),或(r(s)-r(O)·B0=0 即曲线上任一点r(s)均位于过r(0),以B为法向量的平面上 例4求圆柱螺线的曲率和挠率,其中ab常数,且a>b0=-1 +b 解由[‖=1,知s为自然参数,所以 T(s=r(s)=(a@sin @s, ao cos os, bo) T(s)=r(s=(a@ cos s, -a@ sin as, 0) T'(S) (cos @s, -sin @s, 0) B(s)=T(s)xN(s)=o(bsin as, -b cos os, a) B(s=bo(cos os, sin @, 0)=-bo-N(s) 因此曲率k(s)=T(s=ao b:挠率 2b +b 由此可见,一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 4 从而 B (s)   平行于 N(s)  , 即 B (s) (s)N(s)    = − 其中 (s) 是数值函数，前面的负号是为了方便添加的。于是， B (s) (s), (s) B (s) N(s)     =   = −   所以，我们对曲线的挠率给出如下的定义。 定义 2.3 我们称函数 (s) B (s) N(s)    = −   为曲线 r(s)在点 s 处的挠率 由于 s s B s s   =  =  →   0 ( ) ( ) lim  其中表示 B(s)  和 B(s + s)  间的夹角，即两相邻点的密切平面的夹角。所以， 挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率，或曲 线在该点“偏离”相应的密切平面的程度，这就是挠率的几何意义。 例 3 证明：由线 r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。 证 必要性是显然的，因为曲线上任一点处的密切平面都是 r(s)所处的平 面，即 B(s)方向不随 s 变化，是一个常向量，故有 (s) = B(s) = 0。 充分性：已知对任意 s 有 (s)  0 即 B(s)  0 ，即从法线向量 B(s)=B0（常向量）， 因为 T(s)·B00, 故 (r(s)B0 ) = r(s)B0 = T(s)B0  0 , 从而 (r(s)B0 ) = q （常数），或 (r(s) − r(0)B0 = 0 即曲线上任一点 r(s)均位于过 r(0)，以 B0为法向量的平面上。 例 4 求圆柱螺线的曲率和挠率，其中 a,b 常数，且 a b a b  = + , 1 2 2 。 解 由 dr ds = 1,知 s 为自然参数，所以， ( ) (cos ,sin ,0) ( ). ( ) ( ) ( ) ( sin , cos , ) , ( cos , sin ,0) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos , sin ,0) , ( ) ( ) ( sin , cos , ) , 2 2 2 2 B s b s b N s B s T s N s b s b s a s s T s T s N s T s r s a s a s T s r s a s a s b T T T T T                                = = − =  = − = − −   =  =  = − − =  = − 因此曲率 k s T s a a a b ( ) = ( ) = = +  2 2 2 ; 挠率  =  = + 2 2 2 b b a b 。 由此可见，一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数

第三章向量值函数与空间曲线 按照定义,曲率k(s)总是正,在(a>0),而挠率τs)却带有正号或负号 当b>0时,τ>0b<0时,τ<0,也就是说,螺线是右手螺旋时,挠率取正 值,左手螺旋时,挠率取负值。 从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时,最简单的挠曲线是圆柱螺线,如 同圆是最简单的平面曲线一样。 用f(5)高阶阶导数计算挠率τ的公式: (()≈((s)产(sF(s) 证明:由F(s)=k(s)N(s),于是, (r.B)=-((kN).B)=-((kN. B)-(kN.B)) N -(N·B)= 其中N⊥B→kN.B=0 当曲线用一般参数t表示产=P()时,挠率r的计算公式 r(s=r(t ds 因为P(=o(a)+r 产()=F%0)d 3厂 Ir"(s=k F()×F" dtl‖dsdt dt 代入挠率公式r=((sf(s)(S式,即得挠率在一般参数t下的计算公式 G(),F"(t)F"(t) G"()×F"V) 由此可知 r=0分(F(s)产"s)产"s)=0分(F()"(t);"()=0 它们都是平面曲线的充要条件。 例5求三次参数曲线f()=(31-1312,3+12) 的弗雷耐标架乒,N,及k和τ。 F()=3(1-12,2,1+t) 解r"t)=6(-t1,t), "(t)=6-10,1) 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 按照定义，曲率 k(s)总是正, 在(a>0)，而挠率 (s) 却带有正号或负号： 当 b>0 时，   0;b  0 时，   0 ，也就是说，螺线是右手螺旋时，挠率取正 值，左手螺旋时，挠率取负值。 从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时，最简单的挠曲线是圆柱螺线，如 同圆是最简单的平面曲线一样。 ⚫ 用 r(s)  高阶阶导数计算挠率 的公式： ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) 2 , , ( ) 1 r s r s r s r s r s B s k            =   = 证明： 由 r (s) k(s)N(s)    = ，于是， ( ) . (( ) ( )) 1 (( ) ) 1 ( ) 1 = −   =    =   =   −   N B kN B kN B k kN B k r B k           其中 N ⊥ B  kN  B = 0     . ⚫ 当曲线用一般参数 t 表示 r r(t)   = 时，挠率  的计算公式: 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) , , , 3 3 2 2 3 2 2 2 ds d t ds d t ds dt r t ds dt r s r t ds d t r t ds dt r s r t ds dt r s r t  +   +       =   +        =   =          ( ) ( ) ( ) ( ) 3 r t r t r t r s k      = =     dt ds dt ds T dt ds ds d r dt d r =  =  =    代入挠率公式 ( ( ) ( ) ( )) ( ) 2 , , r s r s r s r s          = 式，即得挠率在一般参数 t 下的计算公式 ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 , , r t r t r t r t r t t       =       由此可知 = 0  (r (s),r (s),r (s)) = 0  (r (t),r (t),r (t)) = 0          。 它们都是平面曲线的充要条件。 例 5 求三次参数曲线 ( ) (3 ,3 ,3 ) 3 2 3 r t = t − t t t + t  的弗雷耐标架 T N B    , , 及 k 和 。 解 ( ) ( ) r (t) = 6(-1,0,1) , r t = 6(-t,1,t) , 3(1 ,2 , 1+ t ) , T T 2 2    = −    T r t t t

第三章向量值函数与空间曲线 F()×F"()=18(-1+t2,-21,1+t2), 厂(=32(1+2) ()×F"()=182(+12) 按照标架的计算公式,有 B '()×F"() 1+t ()×F"( 1+t2°1+t2 由式(2-22")及(2-26”)得 F()×F"(M 3(1+t2)2 VF()F()F”.、 F()×F"( 注意,对一般参数t,我们是先求B,后求N的,这与对弧长参数的情形正 相反。 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 2(1 ). 3 2 1 , 18 1 , 2 ,1 , 2 2 2 2 r t r t t r t t r t r t t t t T    = +  = +    = − + − +      按照标架的计算公式，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ,0 , 1 1 , 1 2 ,1 , 1 2 , 1 1 2 1 1 ,1 , 1 2 , 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T T t t t t N B T t t t t r t r t r t r t B t t t t r t r t T         + − − − =  =         + − + − +    =    =         + + −  =  =           由式(2-22)及(2-26)得 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) . 3(1 ) , , 1 , 3(1 ) 1 2 2 2 3 2 2 t r t r t r t r t r t t r t r t r t k + =      = + =     =           注意，对一般参数 t，我们是先求 B  ，后求 N  的，这与对弧长参数的情形正 相反