清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章重积分（4.5）第五节含参变量的积分（课后作业）.doc_大学文库

第四章重积分第五节含参变量的积分 1 第四章重积分第五节含参变量的积分 4-5-1 含参积分的概念及性质 4-5-2 广义含参积分第十四讲含参变量积分的概念与性质课后作业：阅读：第四章第二节: pp.102---107,、第三节: pp.109---113 预习：第四节三重积分的计算 pp.114---123 作业: 习题 2: pp. 108--109 :1,(3), (5), (6); 2, (2), (3), (4); 3(书上错写成 2), (3),(4); 4(书上错写成 3), (2), (4); 5(书上错写成 4); 7(书上错写成 9); 8(书上错写成 10); 习题 3: pp. 113--114 : 2; 3; 4; 5. 引言 Γ 函数和 Β 函数是在物理和工程技术中常见的两个函数。它们都是用积分定义的函数。其中  =  + − − 0 1 ( ) x e dx  x  (6.1)  =  − 1 − − 0 1 1 ( , ) x (1 x) dx     (6.2) 根据对于一元函数广义积分的研究结果，我们已经知道： 1．当且仅当   0 时，无穷积分  + − − 0 1 x e dx  x 收敛，因此 Γ 函数 () 的定义域是（0，+ )。 2．当且仅当   0，   0 时，瑕积分  − 1 − − 0 1 1 x (1 x) dx   收敛，因此 Β 函数 (,  ) 的定义域是 D ={(,  )|  0,   0}。 Γ 函数和函数都是由积分确定的函数。在积分  + − − 0 1 x e dx  x 中， x 是积分变量，  是参变量。在对于 x 的积分过程中，  是不变的。但是积分的结果一般与  是有关的，也就是说，积分值是  的函数。这样的积分称为含参变量积分。同样，在积分  − 1 − − 0 1 1 x (1 x) dx   中， ,  都是参变量，这个含参变量积分是 ,  的二元函数，记作 (,  )。除了初等函数之外，我们曾经研究过隐函数和由参数方程确定的函数的微分法；还研究过函数级数的和函数的连续性、微分法和积分法。本节考察含参变量积分（由积分确定的函数）。例如 = I f (x) g(x, y)dy ， = I F(s,t) g(t,s, x)dx （其中 I 是某个区间）， = D (t) f (t, x, y)dxdy （其中 D 是 2 R 中的某个区域）以及 =  ( ) ( ) ( ) ( , ) u x v x f x g x y dy 等等。我们将研究这样的问题：含参变量积分作为参变量的函数，如何研究它们的连续性,可导性,以及如何求导数和积分等问题

第四章重积分第五节含参变量的积分 2 6.1．含参变量的定积分假设当 x 在某个范围中任意固定时，定积分  b a g(x, y)dy 存在，则称  b a g(x, y)dy 是含参变量的定积分（此处 x 为参变量）。此时，由积分确定了一个 x 的函数，该函数的定义域就是使得积分  b a g(x, y)dy 存在的那些 x 的值构成的集合。同样，假设当 t 任意固定时，在通常意义下的二重积分 D f (t, x, y)dxdy 存在，则 D f (t, x, y)dxdy 也是含参变量的定积分（二重积分， t 为参变量）。首先研究含参变量积分的连续性。定理 6.1：设 =    f (x) g(x,t)dt 。如果二元函数 g(x,t) 在矩形 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则 f (x) 在区间 [a,b] 上连续。证明：任取 [ , ] x0  a b ，按照函数连续性的定义，为了证明 f (x) 在点 0 x 连续，只需要证明：对于任意给定的正数  ，都能够找到正数  ，只要 x[a,b] 满足不等式 | x − x0 |  ，就有 | ( ) − ( )|  0 f x f x 。现在开始证明定理.注意到 | ( ) ( )| | ( , ) ( , ) | − 0 =  −  0     f x f x g x t dt g x t dt =  −   −     | [g(x,t) g(x ,t)]dt | | g(x,t) g(x ,t)| dt 0 0 （6.3）对于任意给定的正数  , 由于 g(x,t) 在有界闭区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 上连续，从而一致连续。因此存在正数  ，只要 | x − x0 |  ，那么对于所有的 t [,  ] ，都有    − | g(x,t) − g(x0 ,t)| （6.4）于是只要 | x − x0 |  ，由（6.3）和（6.4）式就推出 | ( ) ( ) 0 f x − f x   −   | g(x,t) g(x ,t)| dt 0       = −  dt 。这就证明了 f (x) 在点 0 x 连续。由于 0 x 是在区间 [a,b] 任取的，所以 f (x) 在区间 [a,b] 处处连续。证毕。注释：定理 1 为求含参变量积分的函数极限提供了一个简单的途径。在定理 6.1 的条件下，由于函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，所以对于任意的 [ , ] x0  a b ，有 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 。因为 =    f (x) g(x,t)dt ， =    f (x) g(x ,t)dt 0 ，由此得到  =  →     g x t dt g x t dt x x lim ( , ) ( , ) 0 0 又因为二元函数 g(x,t) 连续，因此 ( , ) lim ( , ) 0 0 g x y g x y x→x = 。于是由上式得到

第四章重积分第五节含参变量的积分 3  =  → →     g x t dt g x t dt x x x x lim ( , ) [ lim ( , )] 0 0 （6.5）这就是说，在定理 1 的条件下，对于参变量 x 的求极限运算 lim ( ) 0 f x x→x 与对于变量 t 的积分运算    g(x,t)dt 可以交换顺序。在定理 1 的条件下，由于函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，所以积分 f x dx g x y dy dx b a b a ( ) =  ( ( , ) )   （6.6）存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出 g x y dy dx b a ( ( , ) )   g x y dx dy b a =  ( ( , ) )   （6.7）于是得到下述结论：定理 6.2：设 =    f (x) g(x,t)dt 。如果二元函数 g(x,t) 在矩形 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则积分  b a f (x)dx 存在，并且（6.7）式成立。定理 6.2 的意义在于，它为计算含参变量积分提供了一种方法，即可以通过交换积分顺序计算积分（6.6）。同时，由此也可以得到计算定积分的一种技巧。例 6.1：计算定积分  − = 1 0 ln dx x x x I b a （其中 a,b 为常数，满足 0  a  b ）解：由于被积函数没有初等原函数，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算这个积分。注意到 x x x x x x dt b a b a t b a t ln ln 1 −  = = + ，所以  − = 1 0 ln dx x x x I b a =   =   1 0 1 0 dx x dt dt x dx b t a b a t dt t b x a t  + = + 1 0 1 ) 1 ( ln( 1) ln( 1) 1 1  = + − + + = dt b a t b a 在上述解题过程中，将原来的被积函数 x x x b a ln − 看成某个含参变量 x 的积分  b a t x dt ，然后交换积分顺序，最后求得原积分的值。另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题要比研究连续性与求积分复杂一些。定理 6.3:假设函数 g(x,t) 以及该函数关于参变量 x 偏导数 x g   都在区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则 f (x) 在区间 [a,b] 上可导，并且     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) （6.8）证明：对于任意的 x[a,b] ，假设 x + x[a,b] （作这个假设是为了使 f (x + x) 有定义），则有 +  − =  +  −  =  +  −       f (x x) f (x) g(x x,t)dt g(x,t)dt [g(x x,t) g(x,t)]dtdt 于是

第四章重积分第五节含参变量的积分 4 x x f x x f x  =  ( +  ) − ( ) 1  +  −   [g(x x,t) g(x,t)]dt  +  −  =   g x x t g x t dt x [ ( , ) ( , )] 1 （6. 9）因为 x g   存在，根据微分中值定理，存在介于 x 和 x + x 之间的点  ，使得 x x g t g x x t g x t    +  − = ( , ) ( , ) ( , )  (对于每一个 t [,  ]， 存在，但是一般  与 t 有关。) 于是由（6.9）式得到 x f x x f x  ( +  ) − ( )    =    dt x g( ,t) （6.10）由（6.10）式得到， | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x | ( , ) ( , ) | dt x g x t dt x g t     −   =      dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) | 由于 x g   在区域 D 连续，所以一致连续。因此对于任意正数  ，存在正数  ，只要 | x |  ，就有（注意 | − x || x | ）     −    −   | ( , ) ( , ) | x g x t x g t 于是当 | x |  时，有 | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) |       = −  dt 这说明当 x →0 时， x f x x f x  ( +  ) − ( ) 的极限为      dt x g(x,t) 。从而     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) 注释：（6.8）式说明：对于含参变量所确定的函数求导数时，对于参变量 x 求导运算可以与对于自变量 t 的积分运算交换顺序。例 6.2：计算积分  +  0 cos ) 2 1 ln(1 x dx 。解：记 =  +  0 I(y) ln(1 y cos x)dx 。则根据定理 6.3 得到  +  + =    =   0 0 1 cos cos ( ) ln(1 cos ) dx y x x y x dx y I y  +  = + + = −    0 0 1 cos 1 ) 1 cos 1 (1 1 y x dx y y dx y y x

第四章重积分 6.2.含参变量广义积分设I是一个(有限或无限)区间,考察含参变量积分 f(x)=g(x, t )dr (6.13) 如果对于每一个x,∫g(x,D)d是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕积分),则称由(6.13)式确定的函数为含参变量广义积分。付于由含参变量广义积分确定的函数,同样需要研究连续性、积分交换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量广义积分的一致收敛性,所以问题要复杂得多。以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性,然后对于含参变量无穷积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用,读者可以参考数学分析教科书。定义6.1:(含参变量无穷积分的一致收敛性)考察含参变量无穷积分 lg(x.l。假设对于每个x∈1,关于变量t的无穷积分f(x,1)dt收敛。并记 F(x)=「f(x,1)d。如果对于任意正数E,都存在正数N,只要T满足T>N,对于所有的x∈都有(x1)-F(x)kE,则称含参变量无穷积分f(x,1)d关于参变量x∈一致收敛关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题,有与定理 6.1,6.2和6.3平行的以下三个定理。(由于篇幅所限,略去这些定理的证明细节) 定理6.5:设二元函数∫(x,D)在区域D={(x,1)|x∈l,t≥a}连续, 并且含参变量无穷积分f(x,)d关于参变量x∈I一致收敛。则函数F(x)=f(x,t)a在区间I上连续。定理6.6:设二元函数∫(x,)在区域D={(x,D)|x∈I,t≥a}连续, 并且含参变量无穷积分f(x,1)d关于参变量x∈一致收敛。则积分(6f(x,1)m)x存在,并且 j (o f(x, t)d )dx=5 (f(,t)dx)dt 定理6.7:设二元函数f(x,1)在区域D={(x,D)|x∈l,t≥a}处处可导,且处处连续,其中是有限区间。假设对于每个x∈1,关于变量t的无穷积分f(x,n)d收敛。又设含参变量无穷积分 xf(x,1)d关于参变量x∈1一致收敛。则函数 F(x)=f(x,D)d可导,并且 F(x)= [f(x, n)]dt 作为定理6.7的一个应用,下面计算一个著名的广义积分例6.3:计算 dx(a为常数)。解:任取正数k>0,令1(a)=le-knaa。考察以a为参变第五节含参变量的积分 6

第四章重积分第五节含参变量的积分 6 6.2．含参变量广义积分设 I 是一个（有限或无限）区间，考察含参变量积分 = I f (x) g(x,t)dt （6.13）如果对于每一个 x ， I g(x,t)dt 是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕积分)，则称由（6.13）式确定的函数为含参变量广义积分。对于由含参变量广义积分确定的函数，同样需要研究连续性、积分交换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量广义积分的一致收敛性，所以问题要复杂得多。以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性，然后对于含参变量无穷积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用，读者可以参考数学分析教科书。定义 6.1：（含参变量无穷积分的一致收敛性）考察含参变量无穷积分  + a g(x,t)dt 。假设对于每个 xI ，关于变量 t 的无穷积分  + a f (x,t)dt 收敛。并记 F(x) =  + a f (x,t)dt 。如果对于任意正数  ，都存在正数 N ，只要 T 满足 T  N ，对于所有的 xI 都有 |  f (x,t)dt − F(x)|  T a ，则称含参变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题，有与定理 6.1，6.2 和 6.3 平行的以下三个定理。（由于篇幅所限，略去这些定理的证明细节）定理 6.5：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 连续，并且含参变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。则函数 F(x) =  + a f (x,t)dt 在区间 I 上连续。定理 6.6：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 连续，并且含参变量无穷积分  + a f (x,t)dt 关于参变量 xI 一致收敛。则积分   + I ( f (x,t)dt)dx 0 存在，并且   + I ( f (x,t)dt)dx 0 =   + 0 ( f (x,t)dx)dt I 定理 6.7：设二元函数 f (x,t) 在区域 D ={( x,t)| x I,t  a} 处处可导，且 x f   处处连续，其中 I 是有限区间。假设对于每个 xI ，关于变量 t 的无穷积分  + a f (x,t)dt 收敛。又设含参变量无穷积分   +  a f x t dt x ( , ) 关于参变量 xI 一致收敛。则函数 F(x) =  + a f (x,t)dt 可导,并且     = + a f x t dt x F (x) [ ( , )] 作为定理 6.7 的一个应用，下面计算一个著名的广义积分。例 6.3：计算  + 0 sin dx x ax （ a 为常数）。解：任取正数 k  0 ，令 =  + − 0 sin ( ) dx x ax I a e kx 。考察以 a 为参变

清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 重积分（4.5）第五节含参变量的积分（课后作业）

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