清华大学：《微积分》课程教学资源_第五章（5.5）Stokes公式（课后作业）

第十三章向量分析 第五章向量分析 第二十讲 Stokes公式 5-5-1 Stokes公式 5-5-2旋度及其物理意义 课后作业: 阅读:第五章第五节:Gaus公式和 Stokes公式pp.173-181 预习:第五章第六节:无源场和保守场pp.182-187 作业:习题5:Pp181-182:1,(1),(3,(5),(7);2;3,(3);4,(1);5;6. 5-5 Stokes公式 本节专门讨论空间向量场 F(x,y,=)=X(x,y, =)i+Y(x,y, s)j+Z(x, y, =k 5-5-1 Stokes公式 定理( Stokes公式):设区域上的连场 F(x,y, ==X(x,y, =)i+Y(x,y, 3j+Z(,y, =)k S是区域Ω内的一块逐片光滑有向曲面 其边界为逐段光滑的有向曲线(关于有向曲面的边界的定向在上 一节已经说明)则有:手Fd=』∫(×F 或者中ax+hay+z Q,、守Ab+(、孤A ax al aa 此式称为 Stokes公式 证明:首先设曲面S的方程为 z=f(x,y),(x,y)∈Dn L=aD是D的边界 曲面S的边界是L= 设aD的参数方程为 x=x(1)y=y(1).(a≤t≤B) 这时△S的参数方程为 x 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 - 第五章 向量分析 第二十讲 Stokes 公式 5-5-1 Stokes 公式 5-5-2 旋度及其物理意义 课后作业： 阅读：第五章 第五节: Gauss 公式和 Stokes 公式 pp. 173---181 预习：第五章 第六节: 无源场和保守场 pp. 182---187 作业: 习题 5: pp.181---182: 1,(1), (3), (5), (7) ; 2; 3,(3); 4, (1); 5; 6. 5-5 Stokes 公式 本节专门讨论空间向量场: F x y z X x y z i Y x y z j Z(x y z)k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + , , 5-5-1 Stokes 公式 定理 (Stokes 公式): 设区域  上的连场 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) S 是区域  内的一块逐片光滑有向曲面, 其边界 S 为逐段光滑的有向曲线(关于有向曲面的边界的定向在上 一节已经说明).则有: ( ) .    =   S S F dl F dS      或者  + + S Xdx Ydy Zdz  = −  +  dy dz z Y y Z S ( )     ( ) ( )dx dy. y X x Y dz dx x Z z X −  + −          此式称为 Stokes 公式. 证明: 首先设曲面 S 的方程为 z = f (x, y), ( ) Dxy x, y  , L = Dxy 是 Dxy 的边界; 曲面 S 的边界是 L = S . 设 Dxy 的参数方程为 x = x(t), y = y(t). (  t   ) 这时 S 的参数方程为 z S  S 0 y Dxy x Dxy

第十三章向量分析 x=x(1) (a≤t≤B) 2 ==(x(0),y) 5X(xy,=+(x,y)= ∫(x(x(y()=()y)x()+(x(y()(c()y)()址 5X(x,y=(x,y)+(x,y:(x,y) 「z0:x()+=;y(0)h=于z÷+2=d 5x(xy.+(xy,地b+2(xy d x(x, y =(x, y)kr+r(x, =(x, y)dy+z= ar+Z,dy f(x(xy:(x,)+z:)+((x,)+2= +2=y)a(X+Z ar_ax dxdy dxdy +ze dodi a(y( z(x, y, 2)ldx dy or aY azaZ alkte-ildrdvsa(r(x,3, 2)+=' Z(x,y, 2)2dxdy 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 ( )      = = = ( ( ), ( )) ( ) z z x t y t y y t x x t , (  t   ) X(x y z)dx Y(x y z)dy L , , + , ,  = = (X(x(t) y(t) z(x(t) y(t)))x (t) Y(x(t) y(t) z(x(t) y(t)))y (t))dt   +    , , , , , , = X(x y z(x y))dx Y(x y z(x y))dy L , , , + , , ,  ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )))) ( )   =    Z x y z dz Z x t y t z x t y t z x t y t z t dt L , , , , , , , = ( )( ( ) ( ))     +   =  +   L Z t z x x t z y y t dt Z z x dx Z z y dy   X(x y z)dx Y(x y z)dy Z(x y z)dz L , , + , , + , ,  = X(x y z(x y))dx Y(x y z(x y))dy L , , , + , , ,   +  +   L Z z x dx Z z y dy = (X(x y z(x y)) Z z )dx (Y(x y z(x y)) Z z )dy y L x +  + +   , , , , , , = ( ) ( ) dxdy y X Z z x Y Z z Dxy y x            +  −   +  **=                    −     +        −    −           −   − Dxy x y dxdy y X x Y z x X z Z z z Y y Z = ( )    Dxy F n dxdy   = ( )    S F dS   . ** ⚫ ( ) dxdy x Y Z z y   +  = ( ) dxdy x Y x y z z Z x y z y   ( , , ) +  ( , , ) = = z Z z dxdy z Z x Z z z z Y x Y x y x x y          +          +    +          +   ; ⚫ ( ) dxdy y X Z z x   +  = ( ) dxdy y X x y z z Z x y z x   ( , , ) +  ( , , ) =

第十三章向量分析 OX aX +Z=dxdy d(y+z=)a(x+z dxdy ar aY +2 OX aX azaZ ay aXa ar aX aZ d+/2.y X OX aZ ay az az a 最后的等式是由于 dx∧d= cos y ds,d∧d= cos a ds,dz∧dhx= cos Bds ==:-=;+k;元=(E-+k) CosC= cos COSy= cy∧ dz cos a ∧ dy cosy →dxAd=-^d dz a dx cos B →水Ad=-t∧ dx∧ dy cos y →nxdy=d∧di+d^dj+∧dk=dS 于是得到 Stokes公式 于++=x)=xF 当S由若干片光滑曲面S2…S组成时,可以首先对于各片曲 面S得到 Stokes公式 于xk+1+在=xF 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 = z Z z dxdy z Z y Z z z z X y X y x y y x         +             +   +             +   ⚫ ( ) ( ) dxdy y X Z z x Y Z z y x           +  −   +  = = z dxdy z Z x Z z z z Y x Y x y x                  +    +          +   z dxdy z Z y Z z z z X y X y x y                    +   +             +   − = = z dxdy x Z z X z z Y y Z y X x Y x y                  −    −           −   −          −   = dz dx x Z z X dy dz z Y y Z dx dy y X x Y          −    +           −    +           −   最后的等式是由于： dx  dy = cos ds, dy  dz = cos ds, dz  dx = cos  ds, , n z i z j k x y     = −  −  + ; ( z i z j k ) n n x y      = −  −  + 1 0 ; n z x   cos = − , n z y   cos  = − , n  1 cos =  dx dy z dx dy dx dy dy dz =   = −  x      cos cos , dx dy z dx dy dx dy dz dx =   = −  y      cos cos  n dxdy dy dzi dz dx j dx dy k dS      =  +  +  = 于是得到 Stokes 公式. ( ) ( )    + + =    =    = S k S i S Xdx Ydy Zdz F dS F dS i      当 S 由若干片光滑曲面 S1 ,...,Sk 组成时, 可以首先对于各片曲 面 Si 得到 Stokes 公式: ( )   + + =   Si Si Xdx Ydy Zdz F dS   

第十三章向量分析 然后各式两端分别对于从1到k求和注意到在求和的过程中,各 片曲面S的边界曲线中不属于的那些曲线要先后沿其正反两个 方向分别积分一次因而互相抵消.于是就得到 fx++2h=∑∫(xF)=(xF) 于是 Stokes公式得证 以上用到向量场 F(x,y,z)=X(x,y,)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,)k k 的旋度算子:V×F Ox oy 0= 8-1(21(2 5-5-2旋度及其物理意义 设M为固定点,而0为单位向量,丌是通过点M且以为法向量的 (有向)平面在x上取一个以M为中心,以为半径的圆盘S其边界为 L.积分Fd是向量场沿L的环流量 在圆盘S上单位面积的平均环流量就是积分 由 Stokes公式得到 V×F 在上式中令r>0,由被积函数的连续性就得到 F.d=(×F(M 这就是说,在点M处,向量VxF在方向的投影等于,向量场 F沿圆周L的环流量当r→0时的极限.它反映了向量场F环绕向 量n0的旋转强度 因此V×F是这样一个向量,它在某个方向,比如n0方向的投影 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 然后各式两端分别对于 i 从 1 到 k 求和.注意到在求和的过程中, 各 片曲面 Si 的边界曲线中不属于 S 的那些曲线要先后沿其正反两个 方向分别积分一次,因而互相抵消. 于是就得到 ( ) ( )    + + =    =    = S k S i S Xdx Ydy Zdz F dS F dS i      于是 Stokes 公式得证. 以上用到向量场 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 的旋度算子： X Y Z x y z i j k F             = = k y X x Y j x Z z X i z Y y Z              −    +        −   +           −   5-5-2 旋度及其物理意义 设 M 为固定点, 0 n  为单位向量, 是通过点 M 且以 0 n  为法向量的 (有向)平面.在  上取一个以 M 为中心, 以 r 为半径的圆盘 Sr 其边界为 Lr . 积分   Lr F dl   是向量场沿 Lr 的环流量. 在圆盘 Sr 上单位面积的平均环流量就是积分   Lr F dl r   2 1  由 Stokes 公式得到    =   S F dS r L F dl r r r     2 2 1 1   在上式中令 r →0,由被积函数的连续性就得到 ( ( )) . 1 lim 2 0 0   =   → L F dl F M n r r r      这就是说, 在点 M 处, 向量 F   在 0 n  方向的投影等于, 向量场 F  沿圆周 Lr 的环流量当 r →0 时的极限. 它反映了向量场 F  环绕向 量 0 n  的旋转强度. 因此 F   是这样一个向量, 它在某个方向，比如 0 n  方向的投影

第十三章向量分析 反映了向量场F环绕向量而的旋转强度.所以称Vx为向量场F 的旋度记作rotF.于是 Stokes公式又可以写作 手Fd=JmoF 于是在(5.14)中右三项分别为向量场ν环绕三个坐标轴的旋转强度 例3:设H(x,y,=)是由稳恒电流/(x,y,)产生的磁场强度 S为有向曲面.则物理知识,磁场环量等于所曲面的电通量知识 知道::d=』7:dS.这就是说另一方面由Soks公式得 到Hd=1「ords.比较以上两式得到 roth=/ 这就是电磁场理论中的的基本方程之一。 例4设S为球面x2+y2+2=R2在第一卦限中部分的外侧, F=y+习+xk.试验证 Stokes公式 解:注意到S的法向量与三个坐标轴都成锐角,故 by^ de da dx d∧dh dvde-lldcdx jard Da 其中D,D2,D=是S在三个坐标面上的投影 另一方面,△由 L,=(x,y=): x=Rcost, y=Rsin 1,2=0) (x,y, =) y=Rcost, -=Rsin t, L=(,, 2): ==Rcost, x=Rsint, y=o) 组成于Fd=Fd+「F团+「Fd L Fd=ydx+zdy 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 反映了向量场 F  环绕向量 0 n  的旋转强度. 所以 称   v 为向量场 F  的旋度.记作 rot F  .于是 Stokes 公式又可以写作    =   S S F dl rotF dS     于是在(5.14)中右三项分别为向量场 v 环绕三个坐标轴的旋转强度. 例 3:设 H (x, y,z)  是由稳恒电流 I (x, y,z)  产生的磁场强度. S 为有向曲面. 则物理知识，磁场环量等于所曲面的电通量知识 知道: .    =  S S H dl I dS      这就是说. 另一方面,由 Stokes 公式得 到    =  S S H dl rotH dS      . 比较以上两式得到: rotH I.   = 这就是电磁场理论中的的基本方程之一。 例 4:设 S 为球面 2 2 2 2 x + y + z = R 在第一卦限中部分的外侧, F yi zj xk     = + + . 试验证 Stokes 公式. 解: 注意到 S 的法向量与三个坐标轴都成锐角,故 ( )    S F dS   =           S y z x x y z dy dz dz dx dx dy =  −  −  −  S dy dz dz dx dx dy = 4 3 2 R dydz dzdx dxdy Dyz Dz x Dxy  − − − = −    其中 Dxy , Dzx , Dyz 是 S 在三个坐标面上的投影. 另一方面,S 由 ( )  ( )  ( )       = = = = = = = = = = = = , , : cos , sin , 0 , , : cos , sin , 0 , , : cos , sin , 0 1 2 1 L x y z z R t x R t y L x y z y R t z R t x L x y z x R t y R t z 组成.      =  +  +  S L1 L2 L3 F dl F dl F dl F dl             = + L1 L1 F dl ydx zdy  

第十三章向量分析 =「(-Rsnt·tRsn=-[R2sn2td= 同样可以得到∫F:=F=、P 于是有∮F 例5:计算积分=(-=)+(-x)+(x-y在其中 L是柱面x2+y2=R2与平面x+三 abN1(a>0,b>0)的交线 其正向从O二轴向下看去为逆时针方向 解:曲线L是平面a+b=1上的一个椭圆周 设S是L围成的椭圆,上侧为正,则由 Stokes公式得到 于(y-)+(=-x0+(x-y=2/+j+k, -2(cos a+cos B+cosy)llds 其中a,By是平面的法向量与三个坐标轴的夹角 它们的余玄分别等于 COS B=U cOS y= a2+b2 √a+b 平面上的面积微元是 dS=11+()+(2)dd bady 1a2+b-dxdy=Na +b-zr2 b 由以上结果便得到 R 例6:计算积分/=「(x2-y)d+(y2-x)+(x2-xy)t x=acos e 其中L为:{y=asnO,(0≤≤2) 二=h6/2 曲线的正向与参数增加方向一致 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 = ( ) 4 sin sin sin 2 2 0 2 2 2 0 R R t t R t dt R t dt    −  = − = −   同样可以得到 . 4 2 2 2 R F dl F dl L L   =  = −       于是有 ( )    = − =   S S F dl R F dS     2 4 3   例 5:计算积分 ( ) ( ) ( ) .  = − + − + − L I y z dx z x dy x y dz 其中 L 是柱面 2 2 2 x + y = R 与平面 + = 1 b z a x (a  0,b  0) 的交线. 其正向从 oz 轴向下看去为逆时针方向. 解: 曲线 L 是平面 + = 1 b z a x 上的一个椭圆周. 设 S 是 L 围成的椭圆,上侧为正, 则由 Stokes 公式得到    = − + + − + − + − = − + +  S L S dS y z dx z x dy x y dz i j k dS 2(cos cos cos ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )        其中 ,, 是平面的法向量与三个坐标轴的夹角, 它们的余玄分别等于 cos = ,cos ,cos . + = = + b a b a a b 2 2 2 2 0 平面上的面积微元是 dS z x z y dxdy a = 1+ + = a +b dxdy 1 2 2 2 2 ( ) ( ) .     于是 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 R a a b a b dxdy a dS S x y R  + = + =   +  由以上结果便得到 I a b a = − R + 2 2  . 例 6:计算积分 ( ) ( ) ( ) . 2 2 2  = − + − + − L I x yz dx y zx dy z x y dz 其中 L 为 : , (0 2 ) 2 sin cos              = = = z h y a x a 曲线的正向与参数增加方向一致

第十三章向量分析 解:设A(a,0,0),B(a,0,h)为L的起点和终点用L表示由A到B 的有向线段,S表示由L和L围成的有向曲面 则由 Stokes公式得到 (x2-y)x+(y2-2x)+(=2-xy)b k ds =110dS=0 aa 于是 =(x2-y)+(y2-x)+(x2-xy)k =(-「x2-y)+(y2-2x)d+(=2-xy) =-j(x2-y)+(y2-x)+(2-xy)d e-xy:=='d:=fhn' 在二维情形设F(x,y)=X(x,y)+Y(x,y)j 则V×F=( ok 将平面区域D看成是空间的有向曲面 其单位法向量为k.对于向量场 F(x,y)=X(x,y)i+r(x, y)j 曲面D应用 Stokes公式得到 手+=』xF西-一点灿 这恰好是 Green公式 因此 Stokes公式是Gren公式在三维空间的推广 第十三章向量分析

第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 解: 设 A(a,0,0),B(a,0,h) 为 L 的起点和终点.用 L1 表示由 A 到 B 的有向线段, S 表示由 L 和 L1 围成的有向曲面. 则由 Stokes 公式得到 0 0. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2  = = − − − = − + − + −    S S S dS dS x yz y zx z x y x y z i j k x yz dx y zx dy z x y dz         于是 . 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z x y dz z dz h L x yz dx y zx dy z x y dz x yz dx y zx dy z x y dz I x yz dx y zx dy z x y dz h L S L L       = − = = = − − + − + − = − − + − + − = − + − + −  在二维情形,设 F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) , 则 ( )k. y X x Y F        = − 将平面区域 D 看成是空间的有向曲面, 其单位法向量为 k  . 对于向量场 F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) , 曲面 D 应用 Stokes 公式得到 ( )dxdy. y X x Y Xdx Ydy F dS D D D    + =   = −        这恰好是 Green 公式. 因此 Stokes 公式是 Green 公式在三维空间的推广