清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 重积分（4.1）重积分的概念与性质（课后作业）

第四章重积分 第四章重积分 4-1重积分的概念与性质 4-1-1引言、背景 4-1-2重积分定义 4-1-3重积分性质 第十一讲二重积的概念与性质中的应用 课后作业: 阅读:第四章第一节重积分的概念与性质pp.97--101 预习: 第二节二重积分的计算 pp102--109 作业:第四章习题1:p.102:1,(1);2,(1);3,(2);4;5;8,(1),(2) 4-1-1引言、背景 定积分作为积分和式这种概念向多元函数的推广,就是重积分。 例一曲顶柱体的体积 曲顶柱伡( sylinder)是 空间一区域Ω,由三张曲面 围成 第一张,由z=f(x,y)≥0 z=f(x, 表示的空间曲面 第二张:位于上述函数定义 域内的(xO平面上)有界 闭区域D 第三张:是母线与平行于 O轴、垂直于D的柱面柱文 如何求曲顶柱体的体积 首先,分小取近似:即 将区域D分割成小块:△G1,△σ2…△On(也表每小块面积) 相应地Ω也被分成了n个小曲顶柱体△V,i=1,…,n,(也表每小曲 顶柱体之体积),显然可得近似值: 1≈f(P)△σ 其中,P(51,)∈△a1(1≤i≤n) 接着,求和取极限:即 因此得到曲顶柱体Ω的体积V的一个近似值 r=∑M≈∑f(P)△σ 可以认为,其极限值 =m∑f(P)△a (如果存在)就是其体积,这里 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 第四章 重积分 4-1 重积分的概念与性质 4-1-1 引言、背景 4-1-2 重积分定义 4-1-3 重积分性质 第十一讲 二重积的概念与性质中的应用 课后作业： 阅读：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101 预习： 第二节 二重积分的计算 pp.102---109 作业: 第四章 习题 1: p. 102 : 1,(1); 2,(1); 3, (2); 4; 5; 8, (1), (2). 4-1-1 引言、背景 定积分作为积分和式这种概念向多元函数的推广，就是重积分。 例一 曲顶柱体的体积 ⚫ 曲顶柱体 (sylinder ) 是 空间一区域  ，由三张曲面 围成: 第一张, 由 z = f (x, y)  0 表示的空间曲面 第二张: 位于上述函数定义 域内的( xOy 平面上) 有界 闭区域 D ; 第三张：是母线与平行于 Oz 轴、垂直于 D 的柱面柱 面  . 如何求曲顶柱体的体积？ 首先，分小取近似：即： 将区域 D 分割成小块： n  , ,  , 1 2 (也表每小块面积)； 相应地  也被分成了 n 个小曲顶柱体 Vi ,i = 1,  ,n，(也表每小曲 顶柱体之体积), 显然可得近似值： i Pi i V  f ( ) 其中, P ( , ) (1 i n) i  i i   i   . 接着，求和取极限：即： 因此得到曲顶柱体  的体积 V 的一个近似值   = = =    n i i i n i V V f P 1 1 ( )  , 可以认为，其极限值 = → =  n i Pi i V f 1 0 lim ( )   (如果存在)就是其体积, 这里 z z = f(x ,y) Pi y y+d y y y x d  x + d x D x

第四章重积分 =Adcl4o|=N1:Qe△ar} 例二非均匀分布的质量计算 设有一块薄板,薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板 的质量M? 用D表示薄板占据的平面有界区域,并且用 p=p(x,y)(x,y)∈D) 表示区域D(即薄板上)中的点(x,y)处的密度 首先,分小取近似:即: 将区域D分割成小块:△12△O2AGn(也表每小块面积); 相应地薄板质量M也被分成了n个小块薄板△M,i=1,…,n,(也 表每小块薄板之质量),显然可得近似值: △≈f(P)△a 其中,P(;,)∈△G;(1≤i≤n) 接着,求和取极限:即: 因此得到薄板质量M的一个近似值 M=∑M=∑P(P)△a 可以认为,其极限值 M=m∑(P)A0 以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同 的如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题 过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念 4-1-2重积分定义 在一元函数微积分学中 黎曼积分f(x)x是作为一种和式的极限而定义的 现在在二元函数中先于以推厂 设:z=f(xy),P(xy)∈D 为了叙述方便,先引进几个名词 划分:将一个平面或空间的区域D分成n份△1,i=1…,n,使 得:D=∩△o,;且≠,(△a)a,)= 称△a1,i=1…n是D的一个划分,记为:T={a1,=1…n} △G,称为D的一个子域: 集合的直径,设S是一点集 d(△)=S{PPQ∈△称为集合△σ的直径 划分的直径 λ=Max{4(△a)称为划分T={a1,i=1…n}的直径 定义1设∫:DcR2→R,D是有界闭区域,若对于D的任意划分 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 i i n  = Max  1  ,  i = MaxPQ P,Q i 例二 非均匀分布的质量计算 设有一块薄板, 薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板 的质量 M ? 用 D 表示薄板占据的平面有界区域, 并且用  = (x, y) ((x, y)  D) 表示区域 D (即薄板上)中的点 (x, y) 处的密度. 首先，分小取近似：即： 将区域 D 分割成小块： n  , ,  , 1 2 (也表每小块面积)； 相应地薄板质量 M 也被分成了 n 个小块薄板 Mi ,i =1,  ,n ，(也 表每小块薄板之质量), 显然可得近似值： i Pi i V  f ( ) 其中, P ( , ) (1 i n) i  i i   i   . 接着，求和取极限：即： 因此得到薄板质量 M 的一个近似值   = = =    n i i i n i M M P 1 1  ( )  , 可以认为，其极限值 = → =  n i M Pi i 1 0 lim ( )   以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同 的.如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题 过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念. 4-1-2 重积分定义 在一元函数微积分学中， 黎曼积分  b a f (x)dx 是作为一种和式的极限而定义的. 现在在二元函数中先于以推广： 设: z = f (x, y), P(x, y)D 为了叙述方便，先引进几个名词. ⚫ 划分: 将一个平面或空间的区域 D 分成 n 份 1 ,i =1,  ,n ，使 得：  n i D i =1 =  ; 且   ( ) ( ) =  0 0 , i j i j , 称 1 ,i =1,  ,n 是 D 的一个划分, 记为： T = 1 ,i =1,  ,n,  i 称为 D 的一个子域； ⚫ 集合的直径 , 设 S 是一点集 d( ) = SupPQ P,Q 称为集合  的直径 ⚫ 划分的直径  ( ) 1 i i n  = Max d    称为划分 T = 1 ,i =1,  ,n 的直径. 定义 1 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域，若对于 D 的任意划分

第四章重积分 T={G,i=1…;n},及任意取点P(5,n)∈△o,(=1,…n),积 分和式∑f(5,7)△G的极限 im∑f(5,n)△a 存在,则称f(x,y)在D上(黎曼Rmam)可积,记f(x,y)∈R(D) 此极限称为f(x,y)在D上的二重积分,记作 f(x,y)d=,加m∑f(5,)A0 是二重积分号,D是积分域,∫(x,y)是被积函数,do为面积元 若用“E-δ”语言,可以用如下的形式描述二重积分的定义: 定义1设∫:DcR2→R,D是有界闭区域,如果有常数A, E>0,3δ>0,对于D的任意划分T={Aa1i=1…n 及任意取点P(1n)∈△G,(i=1…,n),只要A(T)<δ,就有 ∑f(5,n)0 <E成立, 称()在D上可积,其中的为f(x,y)在D上的二重积分 这样:曲顶柱体的体积V就是(x)飞在D上的二重积分值,即 V=f(r, y)do 类似地,面密度为p(x,y)的平面薄板D的质量M是 M=‖|m(x,y)do 类似地可以给出,三重积分的定义 定义2设∫:cR3→R,Ω是有界闭区域,若对于Ω的任 意划分T={△n,i=1…,n},及任意取点P(,n,5)∈△1 (=1…n),积分和式∑f(5,n,51)△的极限 f(i, n, s Av 存在,则称∫(x,y,z)在9上(黎曼Rmm)可积,记f∈R(g2), 此极限称为∫在Ω上的三重积分,记作 盯(xyMh=m∑(5,n,5;)△ 是三重积分号,Ω是积分域,∫(x,y)是被积函数,do为面积元 其中:∫是三重积分号,Ω是积分域,f(x,y,=)是被积函数, dhv是体积元 这里的a(T)是9的划分T={△加1的直径;△又表子区域的 体积. 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 T = 1 ,i =1,  ,n ，及任意取点 Pi  i i  i ( , ) (i = 1,  , n) ，积 分和式   = n i i i i f 1 ( , )  的极限   → = n i i i i T f 1 ( ) 0 lim ( , )   存在，则称 f (x, y) 在 D 上(黎曼 Riemann )可积，记 f (x, y)  R(D) , 此极限称为 f (x, y) 在 D 上的二重积分，记作  D f (x, y)d =   → = n i i i i T f 1 ( ) 0 lim ( , )   ;  是二重积分号, D 是积分域， f (x, y) 是被积函数， d 为面积元. 若用“  − ”语言，可以用如下的形式描述二重积分的定义： 定义 1’ 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域，如果有常数 A ,    0 ，   0 , 对于 D 的任意划分 T = 1 ,i =1,  ,n， 及任意取点 Pi  i i  i ( , ) (i = 1,  , n)， 只要 (T)   ，就有     −   = f A n i i i i 1 ( , ) 成立， 则称 ) y, x( f 在 D 上可积，其中的为 f (x, y) 在 D 上的二重积分. 这样：曲顶柱体的体积 V 就是 ) y, x( f 在 D 上的二重积分值，即 =  D V f (x, y)d 类似地，面密度为 (x, y) 的平面薄板 D 的质量 M 是  = D M (x, y)d . 类似地可以给出，三重积分的定义. 定义 2 设 f   R → R 3 : ,  是有界闭区域，若对于  的任 意划分 T = v1 ,i =1,  ,n,及任意取点 i i i i i P ( , , )v (i = 1,  , n)， 积分和式 =  n i i i i i f v 1 ( , , ) 的极限 = →  n i i i i i T f v 1 ( ) 0 lim ( , , )  存在，则称 f (x, y,z) 在  上(黎曼 Riemann )可积，记 f  R() , 此极限称为 f 在  上的三重积分，记作   f (x, y,z)dv = → =  n i i i i i T f v 1 ( ) 0 lim ( , , )  ;  是三重积分号,  是积分域，f (x, y) 是被积函数，d 为面积元. 其中:  是三重积分号， 是积分域， f (x, y,z) 是被积函数， dv 是体积元. 这里的 (T ) 是  的划分   n i i T v =1 = 的直径; i v 又表子区域的 体积

第四章重积分 4-1-3重积分性质 从重积分的定义可以看出,重积分与定积分本质上是一致的,都 是反映函数整体性质的一个量,且定义方式也是一样的.因此定积分的 所有性质都可以平移到重积分上来,以下仅对二重积分列出其有关性质 至于三重分则完全雷同,其性质请自行给出 设∫:DcR2→R,D是有界闭区域 重积分的存在性 定理(可积的必要条件)若(x)飞在有界闭域D上可积,则 f(x,y)在D上有界 定理(可积的充分必要条件)设∫:DcR2→R,D是有界闭区 域,二则二重积分存在的充要条件是: 对于D的任意划分T=④△G1,i=1…;n},极限 ∑oG,TAσ 其中 oG,)=Sp{/(P)-f)P。∈△o} 为函数∫(x,y)在子域△a上的振幅 可积函数类I:在有界闭域D上连续的函数(:x)飞在D上可 积 可积函数类II:在有界闭域D上分块连续的函数(x)飞在D 上可积,即:(x)飞在有界闭域D上有界,在其内部D上连续, D,的边界是有限段逐段光滑的曲线 二重积分几何意义,∫f(x,y)d其值为,曲面z=f(x,y)在区域 D上,曲顶柱体体积代数之和。 此定理的证明分定积分可积性的研究类似,此处了作赘述。 例1求∫a-x2-ydo,其中D=(xy)x2+y22ao 解因为 x2-y2,(x,y)D的图形是球心在原点,半径为 的上半球面,所以,由二重积分的几何意义可知 ∫ya-x2-y2do表示的是半径为a的半球的体积,因此 ∫ya-x2 y do =a 运算的线性性若f(x,y)∈R(D),g(x,y)∈R(D),则va,Be∈R, of (x,y)+Bg(x,yER(D),H fla(x,y)+Ag(x, )do=a[/(x, y)do+B[g(x, do 1.对积分域的可加性,设D=D∪UD2,且D1与D2无公共内点,若 f(xy)∈R(D),则∫(x,y∈R(D1),f(x,y)ER(D2),且 f(x,y)do=lIf(x,y)do+/(x,y)do 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 4-1-3 重积分性质 从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都 是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的 所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质. 至于三重分则完全雷同, 其性质请自行给出. 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域. ⚫ 重积分的存在性： 定理 (可积的必要条件） 若 ) y, x( f 在有界闭域 D 上可积，则 f (x, y) 在 D 上有界. 定理 (可积的充分必要条件）设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区 域，二则二重积分存在的充要条件是： 对于 D 的任意划分 T = 1 ,i =1,  ,n ，极限 lim ( , ) 0 1 ( ) 0  = = → n i i i T  f T   , 其中 i ( f ,T ) = Sup f (P)− f (Q) P,Q   i 为函数 f (x, y) 在子域  i 上的振幅。 可积函数类 I: 在有界闭域 D 上连续的函数 ) y, x( f 在 D 上可 积. 可积函数类 II: 在有界闭域 D 上分块连续的函数 ) y, x( f 在 D 上可积, 即： ) y, x( f 在有界闭域 Di 上有界，在其内部 0 Di 上连续， Di 的边界是有限段逐段光滑的曲线. ⚫ 二重积分几何意义,  D f (x, y)d 其值为, 曲面 z = f (x, y) 在区域 D 上, 曲顶柱体体积代数之和。 此定理的证明分定积分可积性的研究类似，此处了作赘述。 例 1 求  − − D a x y d 2 2 2 ，其中 ( , ) , 0 2 2 2 D= x y x +y a a . 解 因为 z= a −x −y , (x,y)D 2 2 2 的图形是球心在原点，半径为 a 的上半球面，所以，由二重积分的几何意义可知  − − D a x y d 2 2 2 表示的是半径为 a 的半球的体积，因此  − − D a x y d 2 2 2 3 3 2 = a ⚫ 运算的线性性 若 f (x,y)R(D),g(x,y)R(D) ，则 ,R ，有 f (x,y)+g(x,y)R(D) ，且    + = + D D D [f (x,y) g(x,)]d  f (x,y)d  g(x,)d 1. 对积分域的可加性, 设 D=D1D2 ，且 D1 与 D2 无公共内点，若 f (x,y)R(D) ，则 ( , ) ( ), ( , ) ( ) 1 R D2 f x y R D f x y  ，且    = + 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y d f x y d f x y d

第四章重积分 反之亦然 保号(序)性若f(x,y)=R(D)g(x,y)R(D),且 f(x,y)≥g(x,y),V(x,y)∈D,则 /(xy)do2」』(xyo 特别地,若f(xy)O,(xy)ED,则J/(xy)d20 若f(x,y)∈R(D),g(x,y)∈R(D),则 y)g{x,y)∈R(D) 若f(xy)R(D),g(x,y)∈R(D),则f(xy)k=R(D),且 ∫f(xy)dosf(xy)a 佔值定理若m≤f(x,y)≤M,V(x,y)=D,且f(x,y)∈R(D),则 maC(xy)do≤M 其中,σ表示积分域D的面积 积分中值定理设f(x,y)eC(D),g(x,y)∈R(D),且g(x,y)在D 上不变号,则存在一点(,)∈D,使得 f/cx,v)g(x, y)do=f(5. n g(x,y)do 特别地,当g(x,y)≡1时,有 f(x,y)do=f(2,7) 其中,σ为积分域D的面积 例2估计积分j42m值所在的范围,其中 D=xy)2+y2小 解首先求被积函数f(x,y)4-r2-y2在D上的最大、最小值 af(x,y) 由于方程组a=0 a/(xy)在D内无解,因此(.x)L在D上的最 值一定在其边界aD=x,y)x2 上取到 为此解下列条件极值问题 ∫Mm(xy)Maxf(xy) 令L(,x,y)=f(x,y)-A(x2+y2-1),解方程组 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 反之亦然. ⚫ 保号(序)性 若 f (x,y)R(D),g(x,y)R(D) ,且 f (x,y)g(x,y),(x,y)D ，则    D D f (x,y)d g(x,y)d 特别地，若 f (x,y)0,(x,y)D ，则 ( , ) 0  D f x y d . ⚫ 若 f (x,y)R(D) ， g(x, y)  R(D) , 则 f (x, y) g(x, y)R(D) . ⚫ 若 f (x,y)R(D) ， g(x, y)  R(D) , 则 f (x,y)R(D) ，且    D D f (x,y)d f (x,y) d ⚫ 估值定理 若 m f (x,y)M , (x,y)D ，且 f (x,y)R(D) ，则 m f x y d M D    ( , ) 其中，  表示积分域 D 的面积. ⚫ 积分中值定理 设 f (x,y)C(D) ，g(x,y)R(D) ，且 g(x,y) 在 D 上不变号，则存在一点 (,)D ，使得   = D D f (x,y)g(x,y)d f (,) g(x,y)d 特别地，当 g(x, y)  1 时，有 f (x,y)d f (,) D =  其中，  为积分域 D 的面积. 例 2 估 计 积 分  − − − D d x y x y  2 2 4 值所在的范围，其中 ( , ) 1 2 2 D= x y x +y  . 解 首先求被积函数 2 2 4 ( , ) x y x y f x y − − − = 在 D 上的最大、最小值. 由于方程组       =   =   0 ( , ) 0 ( , ) y f x y x f x y 在 D 内无解，因此 ) y, x( f 在 D 上的最 值一定在其边界 ( , ) 1 2 2 D= x y x +y = 上取到. 为此解下列条件极值问题：    . . + = 1 ( , ) 2 2 st x y Min f x y ,    . . + = 1 ( , ) 2 2 st x y Max f x y 令 ( , , ) ( , ) ( 1) 2 2 L  x y = f x y −  x + y − ，解方程组

第四章重积分 aL 4-x -2xA=0 2y=0 4+x2-y2-2xy-18x=0 →14-x2+y2-2xy+18y2=0 0 得(x,y)=(2-2)(x,1) f(r,y) f(x,,y) 3 所以函数f(xy)在D上的最大,最小值分别是y2和2 再注意到D的面积为丌,由估值定理得 丌≤ 例3设∫:DcR2→R可积,区域D对称于y轴, ()若f(-xy)=-/(xy).则积分/(x,y=0 (2)若f(x,y)=f(x,y)则积分/(x,y=2/(x,yo 其中.D=D∪D2,D1,D2关于y轴对称 例4估计二重积分∫e,)d之值 ++ys1 lim ∈ kx se-dx≤ dx 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          = − + − =   − = − − − − − + − =   − = − − − − + − =   [ 1] 0 2 0 4 4 2 2 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y L y x y x y y x y y L x x y x y x x y x L         − − = − + − + = + − − − =  1 0 4 2 18 0 4 2 18 0 2 2 2 2 2 2 x y x y xy y x y xy x   得 ) 2 2 , 2 2 ), ( , ) ( 2 2 , 2 2 ( , ) ( 1 1 2 2 x y = − x y = − ，且 3 2 , ( , ) 3 2 ( , ) 1 1 2 2 f x y = f x y = − 所以函数 f (x, y) 在 D 上的最大，最小值分别是 3 2 和 3 2 − ， 再注意到 D 的面积为  ，由估值定理得    3 2 3 4 2 2 2   − − − −  D d x y x y . 例3 设 f D  R → R 2 : 可积，区域 D 对称于 y 轴, (1) 若 f (− x, y) = − f (x, y),则积分 ( , ) = 0  D f x y d ; (2) 若 f (− x, y) = f (x, y),则积分 ( ) ( )   = * , 2 , D D f x y d f x y d , 其中. D = D1  D2 , 1 2 D ,D 关于 y 轴对称。 例4 估计二重积分 ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d 之值. ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d = = − + → =   m i j n j i x y T e x y i j 1 ( ) ( ) 0 2 2 lim                 =   = − → = − → j n j y m i i x e x e y j j i x 1 0 0 2 2 lim lim   ; = 2 1 0 1 1 1 1 2 2 2 4         =                     − − − − − e dx e dy e dx x y x x0,1 , 2 1 1 4 2 2 2 x x e x x −   − + −  ( ) dx x x dx e dx x x            −   − + − 1 0 4 2 1 0 1 0 2 2 1 1 2

第四章重积分 d x<1--+ 31030 do=4edx≤ 3 →1.778seyd≈223099≤23511 x+lyl →220735sc4+)lax23099223495 第一章重积分概念与性质

第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质  30 23 10 1 3 1 1 3 2 1 0 2   − + =  − e dx x         2 3 2 4 ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d = 2 1 0 2 4          − e dx x 2 30 23 4         1.77778  ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d  2.23099  2.35111 dx x x x dx e dx x x x x x              − + − +         − + − − 1 0 4 6 8 2 1 0 1 0 4 6 2 2 6 24 1 2 6 1 2 ( ) 2 1 0 4 6 8 2 1 2 1 0 4 6 2 2 6 24 4 1 2 6 4 1 2 2                   − + − +                  − + −    +  − + dx x x x dx e d x x x x x y x y   2.20735  ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d  2.23099  2.23495