第二章极限论 第三讲函数的连续性 (The Continuity of function 阅读:第二章24pp44-50, 预习:第三章31pp.51-58 练习pp49-50习题24:1至8;9,(1),(2),(3);10,(1),(3);14;15. 作业pp49-50习题24:9,(4);10,(2);11;12;13. 2-4函数连续的定义及其性质 2-4-1函数连续性的定义 1)定义: 函数的连续性描述函数y=f(x)的渐变性态在通常意义下,我们对函 数连续性有三种描述 其一,当自变量x有微小变化时,其函数y的变化也是微小的; 其二,自变量x的微小变化不会引起因变量y跳跃; 其三,从几何上理解连续函数的图形可以一笔画成无间断 以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地 刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述 定义1:设函数∫在x的某邻域中有定义,若lmf(x)=∫(x0) 则称函数∫在点x连续,x称为是f的一个连续点 否则就称∫在点x0间断,x称为是∫的一个间断点 注一:函数∫在点x连续蕴含以下三个条件,缺一不可 (1)∫在xo的某邻域有定义 (2)∫在点x的极限存在; (3)极限值等于函数值。 以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。 注二:函数∫在点x连续意味着极限运算与函数运算可交换,即 lm f(x)=f(lm x)=f(xo) 定义2设函数∫在(a,x0]有定义,且limf(x)=f(x0),则称函数f x→x 在点x左连续 设函数∫在[x,b)有定义,且lmf(x)=f(x0),则称函数f 在点x右连续 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 第三讲 函数的连续性 ( The Continuity of function ) 阅读： 第二章 2.4 pp.44—50, 预习: 第三章 3.1 pp.51—58, 练习 pp49--50 习题 2.4: 1 至 8; 9, (1), (2), (3); 10, (1),(3); 14; 15. 作业 pp49--50 习题 2.4: 9, (4); 10, (2); 11; 12; 13. 2-4 函数连续的定义及其性质 2-4-1 函数连续性的定义 (1) 定义： 函数的连续性描述函数 y = f (x) 的渐变性态,在通常意义下，我们对函 数连续性有三种描述： 其一，当自变量 x 有微小变化时,其函数 y 的变化也是微小的； 其二, 自变量 x 的微小变化不会引起因变量 y 跳跃； 其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断. 以上只是连续性的直观理解, 实质上是相意的反复, 在数学上要确切地 刻画函数连续性概念, 必须用极限作定量地描述: 定义 1: 设函数 f 在 0 x 的某邻域中有定义, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → , 则称函数 f 在点 0 x 连续, 0 x 称为是 f 的一个连续点; 否则就称 f 在点 0 x 间断, 0 x 称为是 f 的一个间断点. 注一: 函数 f 在点 x0 连续蕴含以下三个条件，缺一不可: (1) f 在 x0 的某邻域有定义; (2) f 在点 x0 的极限存在; (3) 极限值等于函数值。 以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。 注二：函数 f 在点 x0 连续意味着极限运算与函数运算可交换，即 lim ( ) (lim ) ( ) 0 0 0 f x f x f x x x x x = = → → 定义 2: 设函数 f 在 ( , ] 0 a x 有定义,且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ,则称函数 f 在点 x0 左连续; 设函数 f 在 [ , ) x0 b 有定义,且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + ,则称函数 f 在点 x0 右连续
第二章极限论 定义3:如果函数∫在开区间(ab)中每一个点都连续,则称∫在 (a,b)连续记作f∈C(a,b); 如果函数∫在(a,b)连续,并且在点a右连续、在点b左连续, 称∫在闭区间[ab]上连续记作∫∈C[a,b 2)间断点分类: 根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类 1可去间断点 若lmnf(x)存在,但不等于∫(x0),称x0是∫的可去间断点 可去间断点是非本质上的间断,我们可改变∫(x0)的定义,令 f(x0)=lmf(x),这样x0就变成重新定义后的函数的连续点 sin x 例如f(x)= 在点x=0没定义,但lim sin x 1,因此0是 ∫的可去间断点如果令f(x)={x 0 则0是∫的连续点 0 第一类间断点: 如果lnf(x)与limf(x)都存在但不相等,则称xo是∫的第 x→ 类间斷点.此时,∫的函数值在x0发生跳跃,跃度等于 f(xo+0)-f(o-O)(ap lim f(x)-lim f(x)) 例如符号函数sgnx,在点x=0发生第一类间断取整函数在每 个整数点发生第一类间断 3第二类间断点 如果两个单侧极限lmf(x)与imf(x)中至少有一个不 x→x0 x→x0 存在,则称x是∫的第二类间断点 例如点x=0是函数∫(x)=-和g(x)=sn-的第二类间断点 2-4-2函数连续性的基本性质 (1)连续性定义的等价形式: 若函数∫在x0某邻域有定义,则以下命题是等价的 (A)函数∫在x连续; (B)f(x)=f(x)+o(), 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 定义 3: 如果函数 f 在开区间 (a,b) 中每一个点都连续, 则称 f 在 (a,b) 连续,记作 f C(a,b) ; 如果函数 f 在 (a,b) 连续,并且在点 a 右连续、在点 b 左连续, 称 f 在闭区间 [a,b] 上连续,记作 f C[a,b]. (2) 间断点分类： 根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类: 1 可去间断点: 若 lim ( ) 0 f x x→x 存在，但不等于 ( ) 0 f x ,称 0 x 是 f 的可去间断点。 可去间断点是非本质上的间断，我们可改变 ( ) 0 f x 的定义, 令 f (x0 ) = lim ( ) 0 f x x x → − , 这样 0 x 就变成重新定义后的函数的连续点. 例如 x x f x sin ( ) = 在点 x = 0 没定义,但 1 sin lim 0 = → x x x ,因此 0 是 f 的可去间断点.如果令 = = 1 , 0 , 0 sin ( ) x x x x f x , 则 0 是 f 的连续点. 2 第一类间断点: 如果 lim ( ) 0 f x x x → − 与 lim ( ) 0 f x x x → + 都存在但不相等, 则称 0 x 是 f 的第 一类间断点 . 此时， f 的函数值在 0 x 发生跳跃, 跃度等于 ( 0) ( 0) f x0+ − f x0− (即 lim ( ) 0 f x x x → + lim ( ) 0 f x x x → − − ). 例如符号函数 sgn x , 在点 x = 0 发生第一类间断;取整函数在每 个整数点发生第一类间断. 3 第二类间断点: 如果两个单侧极限 lim ( ) 0 f x x x → − 与 lim ( ) 0 f x x x → + 中至少有一个不 存在,则称 0 x 是 f 的第二类间断点. 例如点 x = 0 是函数 x f x 1 ( ) = 和 x g x 1 ( ) = sin 的第二类间断点. 2-4-2 函数连续性的基本性质 (1) 连续性定义的等价形式： 若函数 f 在 x0 某邻域有定义，则以下命题是等价的： (A) 函数 f 在 x0 连续 ; (B) ( ) ( ) (1) f x = f x0 + o ;
第二章极限论 (C)函数∫在x既右连续,又左连续 (D)lm4(x)=0其中Ax=x-x0,M(x)=f(x)-f(x) (2)连续函数的有界性: 若函数∫在x连续,则∫在x的某邻域中有界,简称∫在x点有界 (3)单调函数的连续性: (A)若函数∫:[a,b]→>R是单调函数,若不连续,则只能有第 类间断点。(用到单调有界必有极限) (B)设函数∫:[a,b]→>R是单调(减)的函数,若函数的值域充 满区间[f(a),f(b)([f(b),f(a)),则∫是[a,b]上的连续 函数 (4)关于反函数的连续性 定理:(反函数的连续性)假定函数∫在[a,b]连续,单调增加(或单 调减少)则∫的值域是区间[c,d]=[f(a),∫(b)(或者 c,d]=[f(b)f(a))并且反函数x=f-(y)在区间[c,d连续 证明:(1)反函数x=f(y)的存在是易证的 且x=f(y)亦是单调函数 (2)今证连续性:由∫的连续性可知,f(x)取区间 c,d]=[f(a),f(b)所有值,加上x=∫-(y)是单调 函数,根据单调函数连续性质,可得 x=f(y)在区间[c,d]=[f(a,f(b)上连续。 证明要用到连续函数的介值定理。 (5)连续函数的运算性质: (A)设函数∫g在点x都连续,则 对于任意常数a,B,函数a∫+Bg也在点x连续 两个函数的乘积∫·g在点x0连续, 如果g(x)≠0,商一也在点x0连续 若x=g(t)在o连续,f(x)在x连续,且x=g(o),则 复合函数∫°g(注:(f°g)=f(g(1)在点连续 以上各结论可以由关于极限的运算法则推出 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 (C) 函数 f 在 x0 既右连续,又左连续 ; (D) lim ( 0 ) 0 0 = → f x x 其中 0 x = x − x , ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x − f x (2) 连续函数的有界性： 若函数 f 在 x0 连续, 则 f 在 x0 的某邻域中有界，简称 f 在 x0 点有界。 (3) 单调函数的连续性： (A) 若函数 f :[a,b] → R 是单调函数，若不连续，则只能有第一 类间断点。(用到单调有界必有极限) (B) 设函数 f :[a,b] → R 是单调 (减) 的函数，若函数的值域充 满区间 [ f (a), f (b)] ( [ f (b), f (a)] ), 则f是 [a,b] 上的连续 函数。 (4) 关于反函数的连续性： 定理: (反函数的连续性) 假定函数 f 在 [a,b] 连续,单调增加(或单 调减少 ), 则 f 的值域是区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] ( 或 者 [c,d] = [ f (b), f (a)] ),并且反函数 ( ) 1 x f y − = 在区间 [c,d] 连续. 证明: (1) 反函数 ( ) 1 x f y − = 的存在是易证的, 且 ( ) 1 x f y − = 亦是单调函数。 (2) 今证连续性：由 f 的连续性可知， f (x) 取区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] 所有值，加上 ( ) 1 x f y − = 是单调 函数, 根据单调函数连续性质，可得: ( ) 1 x f y − = 在区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] 上连续。 证明要用到连续函数的介值定理。 (5) 连续函数的运算性质： (A) 设函数 f, g 在点 x0 都连续, 则 ⚫ 对于任意常数 , ,函数 f + g 也在点 0 x 连续. ⚫ 两个函数的乘积 f g 在点 0 x 连续; ⚫ 如果 g(x0 ) 0,商 g f 也在点 0 x 连续. ⚫ 若 x = g(t) 在 0 t 连续, f (x) 在 0 x 连续, 且 ( ) 0 0 x = g t , 则 复合函数 f g (注: (f g)(t) = f (g(t)) ) 在点 0 t 连续. 以上各结论可以由关于极限的运算法则推出
第二章极限论 24-3初等函数的连续性 重要结论是:所有初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1)基本初等函数的连续性 (A)由连续定义可验证基本初等函数:常数函数C,以及 inx,ex,hnx的连续性; 例:e的连续性问题,即欲证: e lm e=1 lm e=1 (B)用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数 x=e/. Cosx= x. arcsin x. arccos. arctan x 的连续性 (C)用连续函数四则运算性质证明基本初等函数 tanx,cotx,secx,cscx的连续性; (2)初等函数的连续性: 最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在 其定义区间内处处连续 研究初等函数y=√-Sm2x的连续性 (3)非初等函数及其连续性问题: fx≥0 xx0; (2)存在n∈(0,+∞),使得 f(7)=mn{f(x)|0≤x<+o}<0 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 2-4-3 初等函数的连续性 重要结论是：所有初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1) 基本初等函数的连续性： (A) 由连续定义可验证基本初等函数：常数函数 C, 以及 sin x, x e , ln x 的连续性; 例： x e 的连续性问题，即欲证: 0 0 lim x x x x e = e → lim ( 1) 0 0 0 − = − → x x x x e lim 1 0 = → x x e lim 1 1 = → n n e (B) 用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数: p x = p x e ln , Cos x Sin x 2 = 1− , arcsin x , arccos x , arctan x 的连续性; (C) 用连续函数四则运算性质证明基本初等函数: tan x, cot x,sec x, csc x 的连续性; (2)初等函数的连续性： 最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在 其定义区间内处处连续. 研究初等函数 y Sin x 2 = − 的连续性. (3)非初等函数及其连续性问题： − = = 0 , 0 x if x x if x y x ， y = arcsin(Sin x) 等是否是初等函 数？ 2-4-4 在闭区间上连续函数的整体性质 (1) 有界性和取最值定理 定理 1: 设 f C[a,b],则 f (x) 在 [a,b] 有界. 定理 2: 设 f C[a,b], 则存在 ,[a,b], 使得 f ( ) = Max{ f (x) | a x b} ; f () = Min{ f (x) | a x b}. 例 1: 设 f C[0,+) , f (x) 不恒等于零, lim ( ) = 0 →+ f x x .求证下 列两个结论至少有一个成立. (1) 存在 (0,+ ),使得 f ( ) = max{ f (x) | 0 x +} 0 ; (2) 存在 (0,+ ),使得 f ( ) = min{ f (x) | 0 x +} 0
第二章极限论 证明:假定存在x0>0使得f(x0)>0,需证: 存在∈(0,+∞),使得f(2)=max{f(x)|0≤x0,Vx∈(N,+∞):|f(x)kf(xo) N>xo,f(x)的最大值点在[0,N]。 f∫(x)在有界闭区间[O,N]上连续→存在ξ∈[0,N],使得 ∫(5)=max{f(x)|a≤x≤b} 即,f(5)是f(x)在[0,+∞)的正最大值 假定存在x0>0使得f(x0)+∞时,p(x)→>+∞ 当x→>-∞时,p(x)→- 于是存在实数N1,N2,使得当xN2时,恒有p(x)>0 任取x1N2则有p(x1)0 在区间[x12x2]由零点定理可知,存在5∈(x1,2x2),使得 p()=0 (2)设n为偶数,则x→+∞和x→-时都有p(x)→>+∞ 于是存在N1>0,N2>0 x,N2时都有p(x1)>0,P(x2)>0 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 证明: 假定存在 x0 0 使得 f (x0 ) 0 , 需证： 存在 (0,+ ),使得 f ( ) = max{ f (x) | 0 x +}. lim ( ) = 0 →+ f x x N 0 , x(N,+) : | ( ) | ( ) 0 f x f x 0 N x , f (x) 的最大值点在 [0,N]。 f (x) 在有界闭区间 [0, N] 上连续 存在 [0, N],使得 f ( ) = max{ f (x) | a x b}. 即， f ( ) 是 f (x) 在 [0,+) 的正最大值. 假定存在 x0 0 使得 f (x0 ) 0 ,类似可证明存在 (0,+ ), 使得 f ( ) = min{ f (x) | 0 x +} 0 . 定理 3 (零点定理) 设 f C[a,b] 且 f (a) f (b) 0 , 则存在 (a,b ),使 f ( ) = 0 . 推论:(中值定理) 设 f C[a,b],且 f (a) f (b) ,则对介于 f (a) , f (b) 之的每个实数 ,都存在 (a,b ), 使得 f ( ) = . 证明：只要设 g(x) = f (x) − ，再利用以上定理即可。 例 2:设 n 1, p x x a x a x a x n n n n = + + + − + + 1 1 1 ( ) .求证: (1)若 n 为奇数,则方程 p(x) 在 (−,+) 至少有一个零点. (2)若 n 为偶数,且存在 0 x 使得 p(x0 ) 0 , 则 p(x) 在 (−,+) 至 少有两个零点. 证明: (1) 设 n 为奇数, 则当 x → + 时, p(x) → +, 当 x →− 时, p(x) → −. 于是存在实数 1 2 N ,N ,使得当 N1 x 时,恒有 p(x) 0 ; 当 N2 x 时,恒有 p(x) 0 . 任取 1 N1 x , 2 N2 x 则有 p(x1 ) 0 , p(x2 ) 0 , 在区间 [ , ] 1 2 x x 由零点定理可知,存在 ( , ) 1 2 x x ,使得 p( ) = 0 . (2)设 n 为偶数, 则 x → + 和 x →− 时,都有 p(x) → +. 于是存在 1 2 N 0 ,N 0, 当 1 N1 x − 和 2 N2 x 时,都有 p(x1 ) 0, p(x2 ) 0
第二章极限论 今取x<-N<x<N<x2,则由零点定理推出 在区间[x1,0]和[O,x2],分别存在51∈(x1,0)和52∈(O,x2) 使得p(1)=0,p(52)=0 例4:过饼上任一点,总能将它切成两等分吗? 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 今取 1 0 2 x −N x N x , 则由零点定理推出 在区间 [ ,0] 1 x 和 [0, ] 2 x , 分别存在 ( ,0) 1 1 x 和 (0, ) 2 2 x , 使得 p( 1 ) = 0 , p( 2 ) = 0. 例 4: 过饼上任一点，总能将它切成两等分吗？