导数的概念 导数的定义 引:导数的思想最初是法国数学家费马( Fermat 1601—1665)为解决极大,极小问题而引入的, 但导数作为微分学中最主要的概念却是英国数学 家牛顿( Newton)和德国数学家菜布尼兹( Leibniz)分 别在研究力学和几何学过程中建立的。 为下面我们以速度问题背景引入导数概念,随后 再介绍导数的几何意义及应用 已知自由落体的运动方为:S=gt [O,刀 试讨论落体在时间to的速度 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 导数的概念 一、导数的定义 引：导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat 1601 —1665)为解决极大，极小 问题而引入的， 但导数作为微分学中最主要 的概念却是英国数学 家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分 别在研究力学和几何学过程中建立的。 已知自由落体的运动方为： 试讨论落体在时间 t0 的速度。 为下面我们以速度问题背景引入导数概念，随后 再介绍导数的几何意义及应用 2 2 1 s = gt t 0,T
分析过程 取一邻近于t的时刻t这时落体 在t到t这一段时间内的平均速 S g 度 g g (t+t)(1) t-t 2 它近似地反映了落体在时刻t 的快慢程度,但当t越接近于 t时,它则反映得越准确,若 令t>t则(1)式的极限gt就刻 划了落体在时刻t的瞬时速度 (或速度)。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 分析过程: 2 0 0 2 1 s = gt2 2 1 s = gt 取一邻近于t0的时刻t这时落体 在t0到t这一段时间内的平均速 度： ( ) 2 2 1 2 1 0 0 2 0 2 0 0 t t g t t gt gt t t s s v = + − − = − − = （1） 它近似地反映了落体在时刻to 的快慢程度，但当t越接近于 to时，它则反映得越准确，若 令t-> to则（1）式的极限gt0就刻 划了落体在时刻to的瞬时速度 （或速度）
般说:一质点作直线运动,设其运动方程 为:s=平(t) 为其某一确定的时刻,t为邻近于to的时刻, 则 (t-y(t) (2) 是质点在t到着一时间间隔内的平均速度 (或称平均变化率) 若t>t时,(2)式极限存在,则称其极 限值: y(t-y(t) v=lim (3) r→o 为质点在时刻t的速度(或称变化率)。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 一般说：一质点作直线运动，设其运动方程 为：s=Ψ(t) 为其某一确定的时刻， t为邻近于t0的时刻， 则 0 0 ( ) ( ) t t t t v − − = （2） 是质点在t0到t着一时间间隔内的平均速度 （或称平均变化率） 若t->t0时，（2）式极限存在，则称其极 限值： 0 0 ( ) ( ) lim t t t t v o t t − − = → （3） 为质点在时刻t0的速度（或称变化率）
我们会发现,在计算诸如物质比热,电流强度 线密度,曲线的切线斜率等问题中,尽管它们 的具体背景各不相同,但最终都归结为讨论形 如(3)式的极限,也正是由于这类问题的研究 促使导数概念的产生。 定义1:设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 若极限: lim f(x)-f(xo)(i) x→x 存在则称函数在点x可导,并称其极 限值为函数在x的导数,记作:f(x) 也可记作: 或 dx 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 我们会发现，在计算诸如物质比热，电流强度， 线密度，曲线的切线斜率等问题中，尽管它们 的具体背景各不相同，但最终都归结为讨论形 如（3）式的极限，也正是由于这类问题的研究 促使导数概念的产生。 定义1：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义 若极限： 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → （ⅰ） 存在则称函数f在点x0可导，并称其极 限值为函数f在x0的导数，记作： ( )0 f x 也可记作： 0 0 0 | ( ) | , | x x x x x x d x d f x d x d y y = = = 或
注:函数f(x)在点x处存在导数简称函数(x)在点x处可导。 若令x=x+△x,△y=f(x0△x)-f(x)则(1)式可改 写成lim(x f(x。+Ax)-f(x) ∫(x) △x △ 所以导数是函数增量△y与自变量△x之比 △x (也称为差商)的极限。若(i)(或(i)) 式的极限不存在,则说函数在x不可导。 注:函数y=f(x)在x0点的导数定义的两种表示法 (i)(i)以后都要用到。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 注：函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导。 若令x=x0+△x，△y=f(x0+△x) -f(x0) 则（1）式可改 写成 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 f x x y x f x x f x x x = = + − → → （ⅱ） 所以导数是函数增量△y与自变量△x之比 x y （也称为差商）的极限。若（ ⅰ）（或（ ⅱ）） 式的极限不存在，则说函数f在x0不可导。 注：函数y=f(x) 在 x0点的导数定义的两种表示法 （ ⅰ）（ ⅱ）以后都要用到
如果函数y=f(x)在区间(a2b)内每一点都可导,就 称函数f(x)在区间(ab)内可导,显然函数y=f(x) 对于(ab)内每一个确定的x值,都对应着一个确 定的导数,这就构成了一个新的函数,这个函 数叫做原来函数y=(x)的导函数简称导数,记 为 y,f(x),,或 df(x) ax 要求函数y=f(x)在点x的导数f(x)就是求导函数 f(x)在点x处的函数值,即:f(x)=f(x) 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就 称函数f(x)在区间(a,b)内可导，显然函数y=f(x) 对于(a,b)内每一个确定的x值，都对应着一个确 定的导数，这就构成了一个新的函数，这个函 数叫做原来函数y=f(x)的导函数简称导数，记 为： d x d f x d x d y y f x ( ) , ( ), 或 要求函数y=f(x)在点x0的导数 ( )0 f x 就是求导函数 f (x) 在点x0处的函数值，即： 0 ( ) ( ) | 0 x x f x f x = =
例1:求函数在y=x2在x0=1的导数 解:y=(1+△x)2-1=2Ax+(△x) 由导数的定义得:y|1=im 2△x+(x) 、导数的几何意义 从解析几何知道在曲线y=f(x)上一点Mxyo)处 的切线是割线MM当M(xy)沿曲线趋近于M时的 极限位置(如下图,因为割线MM的斜率: k f(x)-f(x) 而过点M的切线斜率k正是割线斜率 X-X 在x->x0时的极限,即:k=lmn了(x)-f(x) x→x X-x 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 例1: 求函数在 在x0=1的导数. 2 y = x 解： 2 2 y = (1+ x) −1 = 2x + (x) 由导数的定义得： 2 2 ( ) | lim 2 0 1 = + == → x x x y x x 二、导数的几何意义 从解析几何知道在曲线 y=f(x) 上一点M0(x0,y0)处 的切线是割线M0M当M(x,y)沿曲线趋近于M0时的 极限位置(如下图),因为割线M0M的斜率： 0 0 ( ) ( ) x x f x f x k − − = 而过点M0的切线斜率k 正是割线斜率 在x->x0时的极限，即： 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = →
由导数定义k=f(x)所以曲线 y=f(x)在点M处的切线方程是: f((x-x) y=f(x) M 这就是说函数在点xo导数 f(x)是曲线y=f(x)在点(x0,f(xo) N 处切线的斜率。 附注:过切点M且与切线垂直0 的直线,叫做曲线y=f(x) 在点M处的法线,若f(x)≠0法线的斜率为 f(x)从而法线的方程为y=y=-r(x)(x=x) 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 由导数定义 ( )0 k = f x 所以曲线 y=f(x)在点M0处的切线方程是： ( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x 这就是说:函数f在点x0 导数 ( )0 f x 是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处切线的斜率。 附注：过切点M0且与切线垂直 的直线，叫做曲线y=f(x) 在点M0处的法线，若 f (x0 ) 0 法线的斜率为 ( ) 1 0 f x − 从而法线的方程为: ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
例2:在如图所示的抛物线y=x2上求点(1,1处的切线 斜率,并写出该点的切线方程和法线方程 解:由导数的几何意义知, 点(1,1)处的切线斜率 y=xX 为:k=y2L=2x=2 所求的切线方程为 y-I=2(x-1)即2x-y-1=0 所求法线方程为: (x-1)即x+2y-3=0 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 例2：在如图所示的抛物线 2 y = x 上求点(1,1)处的切线 斜率，并写出该点的切线方程和法线方程。 解：由导数的几何意义知， 点(1,1)处的切线斜率 为： k = y | x=1 = 2x | x=1 = 2 所求的切线方程为： y-I=2(x-1) 即 2x-y-1=0 所求法线方程为： ( 1) 2 1 y −1 = − x − 即 x+2y-3=0
函数的可导性与连续性间的关系 △ 设函数y=f(x在点x处可导,即:lim=f(x)存在 x 由具有极限的函数与无穷小的关系,可知: △ △x f(x)+a其中Q当△x→>0时为无穷小,上式 两边同除以△x得4=f(x)△x+aAx两边取极限得 lim△ y=lmf(x)△x+ima△x=0所以,若函数y=f(x) △x→0 在点x处可导,则函数在该点必连续;反之,一个 函数在某点连续,未必可导。即:可导是函数连续 的充分条件而非必要条件。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 三、函数的可导性与连续性间的关系 设函数y=f(x)在点x处可导，即: lim ( ) 0 f x x y x = → 存在. 由具有极限的函数与无穷小的关系，可知： = + f (x) x y 其中 当 x → 0 时为无穷小，上式 两边同除以 x 得 y = f (x)x +x 两边取极限得 lim lim ( ) lim 0 0 0 0 = + = → → → y f x x x x x x 所以，若函数y=f(x) 在点x处可导，则函数在该点必连续；反之，一个 的充分条件而非必要条件。 函数在某点连续，未必可导。即：可导是函数连续