天津师范大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲义）第五章 相似矩阵及二次型 Similar Matrices and Quadratic Forms

冷同济三版《线性代数》 Linear algebra Y 2004-2005S QZHANG edited by LATEX 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 对称矩阵的相似矩阵 第五章相似矩阵及二次型 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 Chapter v similar Matrices and Quadratic Forms 讲:张少强 主讲人:张少强 标题页 sqzhang@163.com 第1页共妇页 计算机与信息工程学院 天津师范大学 全屏显示

天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . .  ½  g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 1 ê
42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú —  ”Lná5Ç5ìÍ6Linear Algebra c 2004-2005 S.Q.ZHANG edited by LATEX 1 Ÿ Éq› 9g. Chapter V Similar Matrices and Quadratic Forms Ã˘<µ‹  r sqzhang@163.com 计算机与信息工程学院 天津师范大学

预备知识向量的内积 本章主要内容简介 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 1.向量的内积,长度的概念,向量空间的规范正交基;正交矩阵;正 正定二次型 交变换 2.矩阵的特征值,特征向量; 主讲:张少强 标题页 3.相似矩阵,实对称矩阵正交相似与对角矩阵的方法 4.二次型及其矩阵表示,二次型秩的概念;二次型的标准形,规范 形 5.配方法化二次型为标准形;二次型与对应矩阵的正定性判别 第2页共42页 全屏显示

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ŸÃáSN{0 1. ï˛S»,›Vg; ï˛òm5âƒ; › ;  CÜ; 2. › Aä, Aï˛; 3. Éq› , ¢È°› ÉqÜÈ› ê{; 4. g.9Ÿ› L´, g.ùVg; g.IO/, 5â /; 5. ê{zg.èIO/; g.ÜÈA› ½5O.

1预备知识:向量的内积 y1 预备知识向量的内积 定义1设有n维向量x 令 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 Un 二次型及其标准形 x,列=1+2+…+anbn=∑ab 主讲:张少强 ,则称{,y为向量与y的内积 标题页 向量的内积有下列性质 (1)对称性:[a,y]={y,x]; 第3页共42页 (i)线性性:[A11+2x2,9=A{1,y+A2{x2,y],对v1,A2∈ R, Vl ∈R (i)m,m]≥0,并且等号成立当且仅当向量x=0 全屏显示 (ⅳv)施瓦茨( Schwartz)不等式[x,y]2≤[a,ly,y]

天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . .  ½  g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 3 ê
42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 1 ˝£: ï˛S» ½¬1 knëï˛x =   x1 x2 . . . xn  , y =   y1 y2 . . . yn  , - [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · · + anbn = X n i=1 aibi = x Ty , K°[x, y]èï˛xÜyS». ï˛S»ke5ü: (i) È°5: [x, y] = [y, x]; (ii) Ç 5 5: [λ1x1 + λ2x2, y] = λ1[x1, y] + λ2[x2, y], È∀λ1, λ2 ∈ R, ∀x1, x2, y ∈ R n ; (iii) [x, x] > 0, øÖ“§·Ö=ï˛x = 0. (iv) ñ](Schwartz)ÿ™: [x, y] 2 6 [x, x][y, y]

定义2非负实数√{x,m +x2,称为向量c的长度(或范 数),记为xl,当|=1时,向量x称为单位向量 预备知识向量的内积 向量的长度有下列性质 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 (1)非负性当c≠0时,|l‖>0;当x=0时,|‖=0 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 (2)齐次性|a‖=||cll1∈R 用配方法化二次型成标 (3)三角不等式|x+≤‖cl+yl 由施瓦茨不等式知当||y≠0时,(即x,y均不是零向量时) 主讲:张少强 标题页 定义当c≠0,y≠0时, 第4页共页 0= arccos ally 全屏显示 称为n维向量x与y的夹角

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ½¬2 öK¢Íp [x, x] = p x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n , °èï˛x›(½â Í), Pèkxk, kxk = 1û, ï˛x°è¸†ï˛. ï˛›ke5ü: (1) öK5 x 6= 0û, kxk > 0; x = 0û, kxk = 0; (2) ‡g5 kλxk = |λ| kxk, λ ∈ R; (3) nÿ™ kx + yk 6 kxk + kyk. dñ]ÿ™kxk kyk 6= 0û, (=x, y˛ÿ¥"ï˛û)k     [x, y] kxk kyk     6 1 ½¬ kxk 6= 0, kyk 6= 0û, θ = arccos [x, y] kxk kyk °ènëï˛xÜyY

注:向量的内积是把解析几何(见高数第7章)中3维向量的数量积推广 到n维数量积:y=|al|ycos推广到内积a,y=|cyos.0就是 向量x与y的夹角 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 定义当内积r,9]=cy=0时,称向量a与y正交.很显然,若与y正交 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 且x≠0,y≠0,则a与y的夹角为90°零向量0与任何同维向量正交 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 定理1若n维向量a1,a2,…,a1是一组两两正交的非零向量,称为正交向量 组,则a1,a2,…,a线性无关 主讲:张少强 证设有A1A2,…,A使a1+入2a2 0 标题页 上式两边分别左乘以a得 Aa1,a1]+2{a1a2+…+入{a1,an={a1 第5页共页 a1与其他向量正交=>A1a1,a]=0=1|a1|2=0 又因a1≠0,所以1≠0,从而必有入1=0 用a2,…,依次左乘Aa1+a2+…+入an=0,类似可得到入2 全屏显示 0,……,入=0,于是向量组a1,a2,…,a线性无关

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 5: ï˛S»¥r)¤A¤(ÑpÍ17Ÿ)•3ëï˛Ͳ»Ì2 në. Ͳ»x · y = |x| |y| cos θÌ2S»[x, y] = kxk kyk cos θ. θ“¥ ï˛xÜyY. ½¬ S»[x, y] = x Ty = 0û, °ï˛xÜy. Èw,, exÜy Öx 6= 0, y 6= 0, KxÜyYè90◦ . "ï˛0Ü?¤”ëï˛. ½n1 enëï˛a1, a2, · · · , ar¥ò|¸¸ö"ï˛, °èï˛ |, Ka1, a2, · · · , arÇ5Ã'. y kλ1λ2, · · · , λr¶λ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, ˛™¸>©Oܶ±a T 1 λ1[a1, a1] + λ2[a1, a2] + · · · + λr[a1, ar] = [a1, 0] ∵ a1ÜŸ¶ï˛ =⇒ λ1[a1, a1] = 0 =⇒ λ1ka1k 2 = 0 qœa1 6= 0, §±ka1k 6= 0, l 7kλ1 = 0. ^a T 2 , · · · , a T rùgܶλ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, aqåλ2 = 0, · · · , λr = 0, u¥ï˛|a1, a2, · · · , arÇ5Ã'.

定义取向量空间的一个基是正交向量组则此基为向量空间的正交基 问题:给定一正交向量组a1,a2,…,an,如何添加一个非零向 量ar+1使a1,a2,…,ar,a1+1仍是正交向量组? 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 答:即求一个向量ar+1分别与a1,a2,…,a1正交即 相似矩阵 对称矩阵的相似矩 0 二次型及其标准形 0 ar+1 主讲:张少强 标题页 令A= 求Aπ=0的一个非零解就可以了 第6页共42页 具体例题见课本例1 定义3设r个n维向量e1,e2,…,er是向量空间v(VcR)的一个基,如果 全屏显示 它们两两正交并且都是单位向量,则称e1,e2,…,e是V的一个规范正交 基.(注意单位向量和单位坐标向量的区别,单位向量是长度为的向量)

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ½¬ ï˛òmòქï˛|, Kdƒèï˛òmƒ. Ø K: â ½ ò  ï ˛ |a1, a2, · · · , ar, X ¤ V \ ò á ö " ï ˛ar+1¶a1, a2, · · · , ar, ar+1E¥ï˛|? â: =¶òáï˛ar+1©OÜa1, a2, · · · , ar. =    a T 1ar+1 = 0 a T 2ar+1 = 0 · · · · · · · · · a T rar+1 = 0 =⇒   a T 1 a T 2 . . . a T r   ar+1 = 0 -A =   a T 1 a T 2 . . . a T r  , ¶Ax = 0òáö")“å± . ‰N~KÑë~1. ½¬3 ránëï˛e1, e2, · · · , er¥ï˛òmV (V ⊂ R n )òáƒ, XJ ßǸ¸øÖ—¥¸†ï˛, K°e1, e2, · · · , er¥V òá5â ƒ. ( 5ø:¸†ï˛⁄¸†ãIï˛´O, ¸†ï˛¥›è1ï˛)

例如 0 0 0 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 0 0 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 很显然|e1l=|e2‖=|el‖=|e4l=1且e,e=0,≠j,所 正定二次型 以e1,e2,e3,e4是R的一个规范正交基 主讲:张少强 问题:若e1,e2,…,e,是向量空间V的一个规范正交基,则V中任一向量α应 标题页 能由e1,e2,…,en线性表示,设表示式为 入1e1+A2e2+…+入 求系数λ(i=1,2,,r)? 第7页共页 答:用e左乘上式,因为ee=e;e=0(≠j)及ee;=1,则有 ea=Aele;=入 全屏显示 即得到=ea=e,al

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ~X: e1 =   √ 1 2 √ 1 2 0 0   , e2 =   √ 1 2 −√ 1 2 0 0   , e3 =   0 0 √ 1 2 √ 1 2   , e4 =   0 0 √ 1 2 −√ 1 2   Èw,ke1k = ke2k = ke3k = ke4k = 1Ö[ei , ej ] = 0, i 6= j, § ±e1, e2, e3, e4¥R 4òá5âƒ. ØK: ee1, e2, · · · , er¥ï˛òmV òá5âƒ, KV •?òï˛aA Ude1, e2, · · · , erÇ5L´, L´™è a = λ1e1 + λ2e2 + · · · + λrer ¶XÍλi (i = 1, 2, . . . , r)? â: ^e T i ܶ˛™, œèe T i ej = [ei , ej ] = 0 (i 6= j)9e T i ei = 1, Kk e T i a = λie T i ei = λi =λi = e T i a = [ei , a].

线性无关向量组的规范正交化 设线性无关向量组a1,a2,,a是向量空间V的一个基 用a1,a2,…,ar来求出V的一个规范正交基e1,e2,,er 预备知识向量的内积 分两步 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 (1)施密特 Schmidt)正交化过程为 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 令b1 用配方法化二次型成标 b1,b1 主讲:张少强 ar, b1 b 标题页 b b 161.6 b2,b2 向量组b1,b2,…,b,为两两正交且与向量组a1,a2,…,ar等价 2)规范化(单位化过程为 第8页共42页 b1 1 全屏显示 则向量组e1,e2,…,er就是V的一个规范正交基

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — Ç5Ã'ï˛|5âz:  Ç 5 à ' ï ˛ |a1, a2, · · · , ar¥ ï ˛ ò mV  ò á ƒ. ^a1, a2, · · · , ar5¶—V òá5âƒe1, e2, · · · , er. ©¸⁄: (1) ñóA(Schimidt)zLßè -b1 = a1; b2 = a2 − [a2, b1] [b1, b1] b1; · · · · · · · · · · · · · · · · · · br = ar − [ar, b1] [b1, b1] b1 − [ar, b2] [b2, b2] b2 − · · · − [ar, br−1] [br−1, br−1] br−1. Kï˛|b1, b2, · · · , br踸ÖÜï˛|a1, a2, · · · , ard. (2) 5âz(¸†z)Lßè e1 = b1 kb1k ; e2 = b2 kb2k , · · · , er = br kbrk . Kï˛|e1, e2, · · · , er“¥V òá5âƒ.

例2详见课本 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 问题:给定一正交向量组a1,a2,……,a,如何添加n-r个非零向 相似矩阵 量an+1,ar+2,…,an使a1,a2,…,an,a+1,…,an是向量空间R的一个 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 正交基? 用配方法化二次型成标 答:先求n-r个向量分别与a1,a2,……,a1正交.令A 主讲:张少强 标题页 求Ac=0的基础解系E1,与2,…,En-然后用施密特正交化过程把基 础解系正交化得到的向量组与原来的合并就是一个正交基 例3用上面的方法可求 第9页共页 定义4如果n阶方阵满足AA=E,即A1=AT,则称A为正交矩阵 全屏显示

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ~2çÑë. Ø K: â ½ ò  ï ˛ |a1, a2, · · · , ar, X ¤ V \n − rá ö " ï ˛ar+1, ar+2, · · · , an¶a1, a2, · · · , ar, ar+1, · · · , an¥ ï ˛ ò mR n ò á ƒ? â: k ¶n − rá ï ˛ © O Üa1, a2, · · · , ar . -A =   a T 1 a T 2 . . . a T r  , ¶Ax = 0ƒ:)Xξ1 , ξ2 , · · · , ξn−r . ,￾^ñóAzLßrƒ :)Xz. ï˛|Ü5‹ø“¥òáƒ. ~3^˛°ê{å¶. ½¬4 XJnê ˜vATA = E, =A−1 = AT , K°Aè› .

正交矩阵的性质: 性质1A为n阶正交矩阵←→A的列向量组是m维空间R的一个规范正交 基 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 证令A=(a1,a2……,an) 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 A为n阶正交矩阵← (a1,a2,…,an)=E=(0) C 主讲:张少强 其中={b()=(其中={b盖 标题页 当≠j时 0;当=j时,az →a1,a2,…,an是单位向量且两两正交 a1,a2,……,an是n维空间R的一个规范正交基 第10页共42页 性质2A为n阶正交矩阵々→A可逆,且A1=A→AA=AAT=E 全屏显示 性质3A为η阶正交矩阵令→A的行向量组是m维空间R的一个规范正交 基

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42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — › 5üµ 5ü1 Aèn› ⇐⇒ Aï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ. y -A = (a1, a2, · · · , an). Aèn› ⇐⇒   a T 1 a T 2 . . . a T n   (a1, a2, · · · , an) = E = (δij), Ÿ•δij =  1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ (a T i aj) = (δij), Ÿ•δij =  1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ i 6= jû, a T i aj = [ai , aj ] = 0; i = jû, a T i ai = [ai , ai ] = 1 ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥¸†ï˛Ö¸¸. ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥nëòmR nòá5âƒ. 5ü2 Aèn› ⇐⇒ A å_, ÖA−1 = AT ⇐⇒ ATA = AAT = E 5ü3 Aèn› ⇐⇒ A1ï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ.