《数学实验习题集》习题1

习题1 2.设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算表示下列事件 (1)A,B,C都发生 解A,B,C都发生表示为ABC (2)4,B发生,C不发生; 解A,B发生,C不发生表示为ABC=AB-C (3)A,B,C都不发生 解A,B,C都不发生表示为ABC (4)A,B中至少有一个发生而C不发生; 解A,B中至少有一个发生而C不发生表示为(ABC=A∪B-C. (5)A,B,C中至少有一个发生; 解A,B,C中至少有一个发生表示为ABC (6)4,B,C中至多有一个发生; 解A,B,C中至多有一个发生表示为 ABUBO∪AC=ABC∪ ABCUABCUABO. (7)A,B,C中至多有两个发生; 解A,B,C中至多有两个发生表示为A∪B∪C=2-ABC (8)A,B,C中恰有两个发生 解A,B,C中恰有两个发生表示 ABCUABCUABO 4.(1)设A,B,C为三个事件,已知 P(4)=0.3,P(B)=0.8,P(C=0.6, P(AB)=0.2,P(AC=0,P(BC)=0.6 试求(iP(AB(i)P(AB)(in)P(B∪C) 解P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB=0.3+0.8-0.2=0.9; P(AB)=P(A)P(AB)=0.3-0.2=0.1 P(AUBUCP(A)P(B)P(CHP(AB)P(ACP(BCHP(ABC) =0.3+0.8+0.6-0.2-0-0.6+0=0.9 注:因为 ABCCA,所以0≤P(ABC≤P(AC)=0,即P(ABC)=0 5.将一颗骰子投掷两次,依次记录所得点数,试求: (1)两骰子点数相同的概率 解用A表示“点数相同”,则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} 因为样本空间的样本点数为36,A的样本点数为6,所以 P(A=5=1

习题 1 2 设 A B C 为三个事件 用 A B C 的运算表示下列事件 (1)A B C 都发生 解 A B C 都发生表示为 ABC (2)A B 发生 C 不发生 解 A B 发生 C 不发生表示为 ABC=AB−C (3)A B C 都不发生 解 A B C 都不发生表示为ABC (4)A B 中至少有一个发生而 C 不发生 解 A B 中至少有一个发生而 C 不发生表示为(AB)C=AB−C (5)A B C 中至少有一个发生 解 A B C 中至少有一个发生表示为 ABC (6)A B C 中至多有一个发生 解 A B C 中至多有一个发生表示为 ABBCAC=ABCABCABCABC (7)A B C 中至多有两个发生 解 A B C 中至多有两个发生表示为ABC=−ABC (8)A B C 中恰有两个发生 解 A B C 中恰有两个发生表示 ABCABCABC 4 (1)设 A B C 为三个事件 已知 P(A)=03 P(B)=08 P(C)=06 P(AB)=02 P(AC)=0 P(BC)=06 试求(i)P(AB) (ii)P(AB) (iii)P(ABC) 解 P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)=03+08−02=09 P(AB)=P(A)−P(AB)=03−02=01 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC) =03+08+06−02−0−06+0=09 注 因为 ABCAC 所以 0P(ABC)P(AC)=0 即 P(ABC)=0 5 将一颗骰子投掷两次 依次记录所得点数 试求 (1)两骰子点数相同的概率 解 用 A 表示“点数相同” 则 A={(1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5) (6 6)} 因为样本空间的样本点数为 36 A 的样本点数为 6 所以 6 1 36 6 P(A) = = 

(2)两数之差的绝对值为1的概率; 解用B表示“两数之差的绝对值为1”,则 B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4,(5,6),(6,5)} 因为样本空间的样本点数为36,B的样本点数为10,所以 P(B) 105 (3)两数之乘积小于等于12的概率 解用C表示“两数之乘积小于等于12”,则 C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4 (4,1),(4,2,(4,3), (5,1),(5,2), (6,1),(6,2)} 因为样本空间的样本点数为36,C的样本点数为23,所以 6.一袋中装有红球5只、黄球6只、蓝球7只,某人从中任取6只球,试 求 (1)恰好取到1只红球、2只黄球、3只蓝球的概率 解用A表示“恰好取到1只红球,2只黄球,3只兰球”,则 5Y6 18 (2)取到红球只数与黄球只数相等的概率 解用B;表示“恰好取到i只红球和i只黄球”,用B表示取到红球只数与 黄球只数相等”,则 5Y6Y7 P(B)= 6 P(BP(BoUBIUB2UB3P(Bo)P(BIH+P(B2HP(B3) 5Y6Y7 6

(2)两数之差的绝对值为 1 的概率 解 用 B 表示“两数之差的绝对值为 1” 则 B={(1 2) (2 1) (2 3) (3 2) (3 4) (4 3) (4 5) (5 4) (5 6) (6 5)} 因为样本空间的样本点数为 36 B 的样本点数为 10 所以 18 5 36 10 P(B)= =  (3)两数之乘积小于等于 12 的概率 解 用 C 表示“两数之乘积小于等于 12” 则 C={(1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) (1 6) (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) (2 6) (3 1) (3 2) (3 3) (3 4) (4 1) (4 2) (4 3) (5 1) (5 2) (6 1) (6 2)} 因为样本空间的样本点数为 36 C 的样本点数为 23 所以 36 23 P(C) =  6 一袋中装有红球 5 只、黄球 6 只、蓝球 7 只 某人从中任取 6 只球 试 求 (1)恰好取到 1 只红球、2 只黄球、3 只蓝球的概率 解 用 A 表示“恰好取到 1 只红球 2 只黄球 3 只兰球” 则                         = 6 18 3 7 2 6 1 5 P(A)  (2)取到红球只数与黄球只数相等的概率 解 用 Bi 表示“恰好取到 i 只红球和 i 只黄球” 用 B 表示“取到红球只数与 黄球只数相等” 则             −             = 6 18 6 2 5 6 7 ( ) i i i P Bi  P(B)=P(B0B1B2B3)=P(B0)+P(B1)+P(B2)+P(B3)             −             == 6 18 6 2 5 6 7 3 0 i i i i 

7.设一袋中有编号为1,2,3,,9的球共9只,某人从中任取3只球,试 求 (1)取到1号球的概率; 解用4表示取到1号球,则P4)= (2)最小号码为5的概率; 解用B表示“最小号码为5”.因为B发生表示其中一球的号码为5,其它 两个球的号码为6,7,8,9.因此 P(B) 3 (3)所取号码从小到大排序中间一只恰为5的概率 解用C表示“所取号码从小到大排序中间一只恰为5.因为C发生表示 其中一球的号码为5,其它两个球的号码分别为1,2,3,4和6,7,8,9.因此 4 (4)2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率 解用D表示2号球没有取到,E表示“3号球没有取到”,则2号球或3 号球中至少有一只没有取到可表示为D∪E,于是 P(D∪E)=P(DHP(EP(DE) 7393 12 9.从一副扑克牌(52张)中任取13张牌,试求下列事件的概率: (1)至少有一张“红桃”的概率 解用A表示“至少有一张红桃”,则所求概率为 P(A)=1-P(A)=1 13

7 设一袋中有编号为 1 2 3    9 的球共 9 只 某人从中任取 3 只球 试 求 (1)取到 1 号球的概率 解 用 A 表示 “取到 1 号球” 则 3 1 3 9 2 8 ( ) =             P A =  (2)最小号码为 5 的概率 解 用 B 表示“最小号码为 5” 因为 B 发生表示其中一球的号码为 5 其它 两个球的号码为 6 7 8 9 因此 14 1 3 9 2 4 ( ) =             P B =  (3)所取号码从小到大排序中间一只恰为 5 的概率 解 用 C 表示“所取号码从小到大排序中间一只恰为 5” 因为 C 发生表示 其中一球的号码为 5 其它两个球的号码分别为 1 2 3 4 和 6 7 8 9 因此 21 4 3 9 1 4 1 4 ( ) =                   P C =  (4)2 号球或 3 号球中至少有一只没有取到的概率 解 用 D 表示“2 号球没有取到” E 表示“3 号球没有取到” 则 2 号球或 3 号球中至少有一只没有取到可表示为 DE 于是 P(DE)=P(D)+P(E)−P(DE) 12 11 3 9 3 7 3 9 3 8 3 9 3 8 =             −             +             =  9 从一副扑克牌(52 张)中任取 13 张牌 试求下列事件的概率 (1)至少有一张“红桃” 的概率 解 用 A 表示“至少有一张红桃” 则所求概率为             = − = − 13 52 13 39 P(A) 1 P(A) 1 

(2)缺“方块”的概率; 解用B表示“缺方块”,则所求概率为 =(3 (3)“方块”或“红桃”中至少缺一种花色的概率; 解用A表示“缺红桃”,B表示“缺方块ˆ,则“方块”或“红桃ˆ中至少缺一 种花色可表示为A∪B,故所求概率为 P(AUBP(A)+P(B)P(AB) 13 521(52)(52 (4)缺“方块”且缺“梅花”但不缺“红桃”的概率 解用A表示“缺红桃”,B表示“缺方块”,C表示“缺梅花ˆ’则缺“方块”且 缺“梅花”但不缺“红桃”可表示为ABC=BC-ABC,故所求概率为 P(ABC)=P(BC)-P(ABC)=(13(13 10.已知P(4)=0.3,P(B=0.4,P(AB=0.2,试求 (P(BA;(2)P(AB); 3)P(BAUB); (4)P(AUB AUB) 解(1)P(B0=P(AB)202 P(A)033 (2)P(41B)P(AB)02_1 P(B)0.4 ()P(BLAUB)-PBAUBI=PB)0-4 P(AUB) P(A+P(B)-P(AB) (4)P(A∪BA∪B)=P(ABA∪B)=l-P(AB|A∪B) 1-PABB=1-P(AB)2=1-02=3 P(A∪B) P(A∪B)0.3+0.4-0.2 11.已知P(4)=0.7,P(B=0.6,P(AB=0.5,求 (1P(AJAUB): (2)P(ABAUB); (3P(AJAUB) 解P(B}=1-P(B=1-0.6=0.4 由P(AB=P(A-B=P(A)-P(AB),得P(AB}=P(4)-P(AB=0.7-0.5=0.2

(2)缺“方块” 的概率 解 用 B 表示“缺方块” 则所求概率为             = 13 52 13 39 P(B)  (3) “方块” 或“红桃” 中至少缺一种花色的概率 解 用A 表示“缺红桃” B 表示“缺方块” 则“方块” 或“红桃”中至少缺一 种花色可表示为AB 故所求概率为 P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)             −             +             = 13 52 13 26 13 52 13 39 13 52 13 39  (4)缺“方块” 且缺“梅花” 但不缺“红桃” 的概率 解 用A 表示“缺红桃” B 表示“缺方块” C 表示“缺梅花” 则缺“方块” 且 缺“梅花” 但不缺“红桃” 可表示为 ABC=BC−ABC 故所求概率为             −             = − = 13 52 13 13 13 52 13 26 P(ABC) P(BC) P(ABC)  10 已知 P(A)=03 P(B)=04 P(AB)=02 试求 (1)P(B|A) (2)P(A|B) (3)P(B|AB) (4)P(AB |AB) 解 (1) 3 2 0.3 0.2 ( ) ( ) ( | )= = = P A P AB P B A  (2) 2 1 0.4 0.2 ( ) ( ) ( | )= = = P B P AB P A B  (3) 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( | ) = + − =    = P A P B P AB P B P A B P B A B P B A B  (4) P(AB|AB)=P(AB|AB)=1−P(AB|AB) 5 3 0.3 0.4 0.2 0.2 1 ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 = + − = −  = −   = − P A B P AB P A B P AB A B  11 已知 P(A)=07 P(B)=06 P(AB)=05 求 (1)P(A|AB) (2)P(AB|AB) (3)P(A|AB) 解 P(B)=1−P(B)=1−06=04 由 P(AB)=P(A−B)=P(A)−P(AB) 得 P(AB)=P(A)−P(AB)=07−05=02

(1)P(AAB=A4(46) P(A) P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)0.7+04-02 (2)P(ABA∪B P[ABCA∪B_P(AB) 0.2 P(A∪B)P(A∽B)0.7+0.4-0.2 (3)P(4AB=A44B=PB=P48)=05 P(AUB) P(AB)1-P(AB)1-0 12.设甲地下雨的概率是0.5,乙地下雨的概率是0.3,甲、乙两地同时下雨 的概率是0.10,试求: (1)已知甲地下雨的条件下,乙地下雨的概率; 解用A表示甲地下雨”,B表示“乙地下雨,C表示“丙地下雨,则 P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(CAB)=0.10, 所求概率为 P(BJA=P(B) P(A)0.5 (2已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下,甲地下雨的概率 解用A表示甲地下雨”,B表示“乙地下雨”,C表示丙地下雨”,则 P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(CAB)=0.10, 所求概率为 P(AJAUB)=P(A(AU B) P(A∪B)P(A)+P(B-P(AB)0.5+0.3-0.107 13.设有甲、乙、丙三个小朋友,甲得病的概率是0.05,在甲得病的条件下 乙得病的概率是0.40,在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80, 试求甲、乙、丙三人均得病的概率. 解用A表示“甲得病”,B表示“乙得病”,C表示“丙得病”,则 P(A)=0.05,P(BA)=0.4,P(CB=0.8, 所求概率为 P(ABC=PA)P(B)P(CAB)=0.05×0.4×0.8=0.016 15.设某人按如下原则决定某日的活动:如该天下雨则以0.2的概率外出 购物,以0.8的概率去探访朋友;如该天不下雨,则以0.9的概率外出购物,以 0.1的概率去探访朋友.设某地下雨的概率是03 (1)试求那天他外出购物的概率 (2)若已知他那天外出购物,试求那天下雨的概率 解用A表示“该天下雨,用B表示“外出购物”,则 P(BlA)=0.2,P(BA)=0.8,P(BA)=0.9,P(BA)=0.1,P(A)=0.3

(1) 9 7 0.7 0.4 0.2 0.7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( | ) = + − = + − =    = P A P B P AB P A P A B P A A B P A A B  (2) 9 2 0.7 0.4 0.2 0.2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( | ) = + − =  =    = P A B P AB P A B P AB A B P AB A B  (3) 8 5 1 0.2 0.5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( | ) = − = − = =    = P AB P AB P AB P AB P A B P A A B P A A B  12 设甲地下雨的概率是 05 乙地下雨的概率是 03 甲、乙两地同时下雨 的概率是 010 试求 (1)已知甲地下雨的条件下 乙地下雨的概率 解 用 A 表示“甲地下雨” B 表示“乙地下雨” C 表示“丙地下雨” 则 P(A)=05 P(B)=03 P(AB)=010 所求概率为 0.2 0.5 0.10 ( ) ( ) ( | )= = = P A P AB P B A  (2)已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下 甲地下雨的概率 解 用 A 表示“甲地下雨” B 表示“乙地下雨” C 表示“丙地下雨” 则 P(A)=05 P(B)=03 P(AB)=010 所求概率为 7 5 0.5 0.3 0.10 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( | ) = + − = + − =    = P A P B P AB P A P A B P A A B P A A B  13 设有甲、乙、丙三个小朋友 甲得病的概率是 005 在甲得病的条件下 乙得病的概率是 040 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是 080 试求甲、乙、丙三人均得病的概率 解 用 A 表示“甲得病” B 表示“乙得病” C 表示“丙得病” 则 P(A)=005 P(B|A)=04 P(C|AB)=08 所求概率为 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0050408=0016 15 设某人按如下原则决定某日的活动 如该天下雨则以 02 的概率外出 购物 以 08 的概率去探访朋友 如该天不下雨 则以 09 的概率外出购物 以 01 的概率去探访朋友 设某地下雨的概率是 03 (1)试求那天他外出购物的概率 (2)若已知他那天外出购物 试求那天下雨的概率 解 用 A 表示“该天下雨” 用 B 表示“外出购物” 则 P(B|A)=02 P(B|A)=08 P(B|A)=09 P(B|A)=01 P(A)=03

(1)所求概率为 P(BP(ABUABP(AB)+P(AB) P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.3×0.2+0.7×0.9=0.69 (2)所求概率为 PAJB)=P(AB) P(AP(BJA P(B) P(AP(B A)+P(A)P(BA) 0.3×0.2 2 0.3+0.2+0.7×0.92 16.设在某一男、女人数相等的从群中,已知5%的男人和0.25%的女人患 有色盲.今从该人群中随机地选择一人,试问: (1)该人患有色盲的概率是多少? (2)若已知该人患有色盲,那么他是男性的概率是多少? 解用A表示“选到男”,用A表示“所选的人是色盲”,则 P()=P(=5,P(B4=50,PBA)=923 (1)所求概率为 P(BP(A)P(BA)P(A)P(B)A) 5+1025 0.02625 21002100 (2)所求概率为 P(A)=PAB)= P(AP(BJA P(B) P(A)P(BJA)+P(AP(BLA 100 10+×025=21 20.设A,B是相互独立的事件,P(A)=0.5,P(B=0.8.试求 (1)PCAB);(2)P(A∪B);(3)P(A-B);(4)P(A∪B) 解(1)P(AB)=0.5×0.8=0.4. (2)P(A∽B=P(AH+P(B}P(AB)=0.5+0.8-0.4=0.9 3)P(A-B)=PCA)-P(AB)=0.5-0.4=0.1 (4)P(AAUB)=x(A)_055 P(A∪B)0 22.甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击,设每门炮的命中率依次为 0.7,0.8,0.9.若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落,设三门炮同时射击一次, 试求敌机被击落的概率. 解用A表示“甲命中,B表示“乙命中”,C表示“乙命中”,D表示“敌机被击

(1)所求概率为 P(B)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB) =P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0302+0709=069 (2)所求概率为 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B + = = 23 2 0.3 0.2 0.7 0.9 0.3 0.2 = + +   =  16 设在某一男、女人数相等的从群中 已知 5%的男人和 025%的女人患 有色盲 今从该人群中随机地选择一人 试问 (1)该人患有色盲的概率是多少？ (2)若已知该人患有色盲 那么他是男性的概率是多少？ 解 用 A 表示“选到男” 用 A 表示“所选的人是色盲” 则 2 1 P(A)= P(A)=  100 5 P(B| A) =  100 0.25 P(B| A)=  (1)所求概率为 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 0.02625 100 025 2 1 100 5 2 1 =  +  =  (2)所求概率为 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B + = = 21 20 100 025 2 1 100 5 2 1 100 5 2 1 =  +   =  20 设 A B 是相互独立的事件 P(A)=05 P(B)=08 试求 (1)P(AB) (2)P(AB) (3)P(A−B) (4)P(A|AB) 解 (1)P(AB)=0508=04 (2)P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB)=05+08−04=09 (3)P(A−B)=P(A)−P(AB)=05−04=01 (4) 9 5 0.9 0.5 ( ) ( ) ( | ) = =   = P A B P A P A A B  22 甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击 设每门炮的命中率依次为 07 08 09 若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落 设三门炮同时射击一次 试求敌机被击落的概率 解 用 A 表示“甲命中” B 表示“乙命中” C 表示“乙命中” D 表示“敌机被击

落”,则 P(4)=0.7,P(B)=0.8,P(C=0.9 所求概率为 P(D)=P(ABC∪ABC∪ABC∪ABC P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC) 0.7×08×0.1+0.7×0.2×09+0.3×0.8×0.9+0.7×0.8×09=0902

落” 则 P(A)=07 P(B)=08 P(C)=09 所求概率为 P(D)=P(ABCABCABCABC) =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.70.80.1+0.70.20.9+0.30.80.9+0.70.80.9=0.902