高等数学期中考试参考答案 04-05-2

04-05-2学期《高等数学》期中考试参考答案 、填空与选择题(每小题4分,共32分) 1.以曲线{x+y2= 为准线,母线平行于z轴的柱面方程是x2+y2-2 提示这实际上是求曲线{x+y=关于xy面的投影柱面的方程 将方程{x+y=中的消去得x+2=2,这就是投影柱面的方程 C=2X 曲线{x2+2-42=0绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是 答:x2+y2 提示 将方程x+2-4=0中的x换成±x2+y2,得 3.直线x1==2与平面3x+4y-=2的位置关系是(C) (A)平行;(B)垂直;(C)直线在平面内;(D相交但不垂直 提示:直线的方向向量为s=(3,-2,1),平面的法线向量为n=(3,4,-1) 因为sn=0,所以直线与平面平面.又因为直线上的点(1,0,1)满足平面方程,所以直 线是在平面上的 4.设=8im(2x+3y,则 解 a- a x Sin(2x+3y+2xcos(2x+3y) 02==3cos(2x+3y)-6xsm(2x+3y) 5.函数(x,y,z=xy2z在点(1,1,1)处沿方向a={2,-1,2}的方向导数为 解f(1,1,1)=(3x2y2)1,1,1)=3, f(1,1,1)=(2x3y2),1,1)=2, f(1,1,1)=(x3y2)1,1,1)=1; e=2(2-12) 于是y2+2(-1+12=2 第一页

第一页 04−05−2 学期《高等数学》期中考试参考答案 一、填空与选择题(每小题 4 分 共 32 分) 1．以曲线    = + = z x x y z 2 2 2 为准线 母线平行于 z 轴的柱面方程是____x 2+y 2−2x=0____ 提示 这实际上是求曲线    = + = z x x y z 2 2 2 关于 xoy 面的投影柱面的方程 将方程    = + = z x x y z 2 2 2 中的 z 消去得 x 2+y 2=2x 这就是投影柱面的方程 2．曲线    = + − = 0 4 0 2 2 y x z z 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 答 x 2+y 2+z 2−4z=0 提示 将方程 x 2+z 2−4z=0 中的 x 换成 2 2  x + y  得 x 2+y 2+z 2−4z=0 3．直线 1 1 3 2 1 − = − = x− y z 与平面 3x+4y−z=2 的位置关系是( C ) (A)平行 (B)垂直 (C)直线在平面内 (D)相交但不垂直 提示 直线的方向向量为 s=(3 −2 1) 平面的法线向量为 n=(3 4 −1) 因为 sn=0 所以直线与平面平面 又因为直线上的点(1 0 1)满足平面方程 所以直 线是在平面上的 4．设 z=xsin(2x+3y) 则 x y z    2 =______ 解 sin( 2x 3y) 2xcos(2x 3y) x z = + + +    3cos(2 3 ) 6 sin( 2 3 ) 2 x y x x y x y z = + − +     5．函数 f(x y z)=x 3y 2 z 在点(1 1 1)处沿方向 a={2 −1 2}的方向导数为____ 解 fx(1 1 1)=(3x 2y 2 z)|(1 1 1)=3 fy(1 1 1)=(2x 3yz)|(1 1 1)=2 fz(1 1 1)=(x 3y 2 )|(1 1 1)=1 (2, 1, 2) 3 1 ea = −  于是 2 3 2 ) 1 3 1 2 ( 3 2 =3 +  − +  =   a f 

6.曲线{=x2在点(1,1,2处的切线方程为() (A)x=y==2-2;(B)x--1=2 2=#;)2 提示:C 曲线的参数方程为x=1,y=P2,==F2+4.点(1,1,2所对应的参数为=1 曲线在点(1,1,2)处的切向量为T=(1,2t,2H+4F)=1=(1,2,6) 7.设平面区域D:1≤x2+y24,则f(x2+y2h=() A)270);(B)f/(:(C)2fm(M:(D)可 答:C. 提示: f/x2+y2ydrdy=[(rrdrde=h def f(rdr=2rf'yf(rdr 8.改变二次积分4x的积分次序得一小付1(x 、解下列各题: 求经过直线x-1=+1=三2和点(3,-2,0)的平面方程(8分) 11 解法一:已知直线的一般方程为{x-1=-y-1,1x+1=0 过已知直线的平面束方程为 x+y+A(x-2+1 将点(3,-2,0代入x+y+(x-2+1)=0得 于是所求平面的方程为 x+y-(x-+1)=0,即3x+4y+2-1=0 解法二:由题意知所求平面的法线向量n与向量 l=(1,-1,1)及s=(3,-2,0}(1,-1,2)=(2,-1,-2)(4分) 都垂直,故 1-11=3计+4+k,(2分) 第二页

第二页 6．曲线    = + = 2 2 2 z x y y x 在点(1 1 2)处的切线方程为( ) (A) 8 2 2 1 1 1 − = − = x− y z  (B) 6 2 2 1 1 1 − = − − = x− y z  (C) 6 4 2 1 1 + = + = x y z  (D) 8 2 2 1 1 1 − = − − = x− y z  提示 C 曲线的参数方程为 x=t y=t 2  z=t 2+4t 4 . 点(1 1 2)所对应的参数为 t=1. 曲线在点(1 1 2)处的切向量为 T=(1 2t 2t+4t 3 )|t=1=(1 2 6). 7．设平面区域 D 1x 2+y 24 则  + D f ( x y )dxdy 2 2 =( ) (A)  2 0 2 rf (r)dr  (B)  2 0  f (r)dr  (C)  2 1 2 rf (r)dr  (D)  2 1  f (r)dr  答 C 提示      + = = = 2 1 2 1 2 0 2 2 f ( x y )dxdy f (r)rdrd d rf (r)dr 2 rf (r)dr D D      8．改变二次积分   2 0 1 0 ( , ) x dx f x y dy 的积分次序得____   1 1 0 ( , ) y dy f x y dx ____ 二、解下列各题 1 求经过直线 1 2 1 1 1 1 − = − + = x− y z 和点(3 −2 0)的平面方程(8 分) 解法一 已知直线的一般方程为    − = − − = − − 1 2 1 1 x z x y  即    − + = + = 1 0 0 x z x y  过已知直线的平面束方程为 x+y+(x−z+1)=0 将点(3 −2 0)代入 x+y+(x−z+1)=0 得 4   = −  于是所求平面的方程为 ( 1) 0 4 1 x+ y− x−z+ =  即 3x+4y+z−1=0 解法二 由题意知所求平面的法线向量 n 与向量 l=(1 −1 1)及 s=(3 −2 0)−(1 −1 2)=(2 −1 −2) (4 分) 都垂直 故 2 1 2 1 1 1 − − = − i j k n =3i+4j+k (2 分)

所求平面的方程为 3(x-3)+40y+2)+(x-0)=0,即3x+4y+2-1=0.(2分) 2.已知=(x+simy,求9(8分 解设v=x+siny,=xy,则z=.(2分) az a Ou az av ovar vu-.1+u"hnuy(4 分) ax =xyx+sin y )-+y(x+sin yIn(x+sin y).(2 s) 3.设函数=(x,y)方程(+)lnye-1=0确定求在(1,1,0)处的值(8分) 解设F=(2+1)nye-1.(2分) 因为在(1,1,0)处 F=三u0=1,.=(hy+x和o=1,(4分) 所以在(1,1,0)处 yF=1=-1.(2分) 4.求曲面=x2+y2平行于平面x+y-2=0的切平面方程(8分 解曲面=x2+y2上点(x,y,2)处的法向量为n=(2x,2y,-1).(2分) 令(2x,2y,-1)=(1,1,-2,得=1.(2分) 当A=1时,x=1 (2分) 所求切平面的方程为 (x-)+(y-)-2(x-)=0,即x+y-2z-1=0.(2分) 5.求函数fx,y)=e2(x+y2+2y)的极值(10分) 解令 ∥1=e2(2x+)+22(2+2y)=0 (2分) 得驻点(,-1).(2分) fx=e2(4x+3),后=4e2x(y+1),n=2e2(2分) 在驻点处fx=5e,=0,y=2e 第三页

第三页 所求平面的方程为 3(x−3)+4(y+2)+(z−0)=0 即 3x+4y+z−1=0 (2 分) 2．已知 z=(x+sin y) xy  求 x z   (8 分) 解 设 u=x+sin y v=xy 则 z=u v  (2 分) v u u u y x v v z x u u z x z v v =  +      +     =   − 1 ln 1 (4 分) ( sin ) ( sin ) ln( sin ) 1 xy x y y x y x y xy xy = + + + + −  (2 分) 3 设函数 z=z(x y)由方程(z+1)ln y+e xz−1=0 确定 求 y z   在(1 1 0)处的值(8 分) 解 设 F=(z+1)ln y+e xz−1 (2 分) 因为在(1 1 0)处 1 1 (1,1,0)= + = y z Fy  =(ln + )(1,1,0) =1 xz z F y xe  (4 分) 所以在(1 1 0)处 1 1 1 =− =− =−   z y F F y z  (2 分) 4 求曲面 z=x 2+y 2 平行于平面 x+y−2z=0 的切平面方程(8 分) 解 曲面 z=x 2+y 2 上点(x y z)处的法向量为 n=(2x 2y −1) (2 分) 令(2x 2y −1)=(1 1 −2) 得 2 1  =  (2 分) 当 2 1  = 时 4 1 x =  4 1 y =  8 1 z = (2 分) 所求切平面的方程为 ) 0 8 1 ) 2( 4 1 ) ( 4 1 (x− + y− − z− =  即 0 4 1 x+ y−2z− =  (2 分) 5 求函数 f(x y)=e 2x (x+y 2+2y)的极值(10 分) 解 令    = + = = + + + = 2 ( 1) 0 (2 1) 2 ( 2 ) 0 2 2 2 2 f e y f e x e y y x y x x x  (2 分) 得驻点 , 1) 2 1 ( −  (2 分) fxx=e 2x (4x+3) fxy=4e 2x (y+1) fyy=2e 2x  (2 分) 在驻点处 fxx=5e fxy=0 fyy=2e

因为fx-2=5e2e=10e20,6=5e>0,(2分) 所以点(,-为函数的极小值点,极小值为f(,-1)=-e.(2分) 三、解下列各题 1.计算积分/-∫cd(9分) 解:按原积分次序难以积分,故交换积分次序. 积分区域为D:0≤x≤2,x≤y≤2, 画出积分区域图形(1分) 积分区域又可表为0≤y≤2,0≤x≤y,(2分) 故 ayd=-ea(2分) ydy(2分 1).(2分) 2.计算(x+)h,其中9是由曲面z=√x2+y2与:=-x2-y2围成9分 解画出积分区域图形(1分) 积分区域关于yO面对称并且fx)=x是x的奇函数,所以fx)=x在g上的三重 积分为零 (1)在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 92:0≤6≤2x,0r≤2,r≤≤√-p2,(2分) 于是∫(x+d=a de2drzz(4分 分) (2)用先二后一的方法 ∫x+h=h vdz「 eddy+de「ddh 第四页

第四页 因为 fxxfyy−fxy 2=5e2e=10e 20 fyy=5e0 (2 分) 所以点 , 1) 2 1 ( − 为函数的极小值点 极小值为 f e 2 1 , 1) 2 1 ( − =−  (2 分) 三、解下列各题 1．计算积分 I dx e dy x y   − = 2 0 2 2  (9 分) 解 按原积分次序难以积分 故交换积分次序 积分区域为 D 0x2 xy2 画出积分区域图形 (1 分) 积分区域又可表为 0y2 0xy (2 分) 故     − − = = y y x y I dx e dy dy e dx 0 2 0 2 0 2 2 2 (2 分)  − = 2 0 2 ye dy y (2 分) ( 1) 2 1 4 =− − − e  (2 分) 2．计算   (x+z)dv  其中是由曲面 2 2 z = x + y 与 2 2 z= 1−x −y 围成(9 分) 解 画出积分区域图形 (1 分) 积分区域关于 yOz 面对称并且 f(x)=x 是 x 的奇函数 所以 f(x)=x 在上的三重 积分为零 (1)在柱面坐标下积分区域可表示为 2 , 1 2 2 :0 2, 0r  r  z  −r  (2 分) 于是     (x+z)dV = zdV    − = 2 1 2 2 0 2 0 r r d dr zrdz   (4 分) 8 (1 ) 2 1 2 2 2 0 2 2  =   − − =  r r r dr .(2 分) (2)采用先二后一的方法     (x+z)dv= zdv     +  +  − = + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 0 x y z x y z dz zdxdy dz zdxdy

5z+z(-2)k= (3)利用球面坐标 (x+z)dv=ll=d f do j4dpforcosp-P2sin odr =+2T. sin2P1or=4 3.求由二=4-x2-y2及=0所围成的立体的体积(8分) 解:画出立体图形(1分 所求立体的体积可以看成是以曲面==4-x2-y2为顶,以区域x2+y2≤4为底的曲顶 柱体的体的体积 y=Jjx2+y2)d2分) a64-p3)mbp(3分) =2(2P-4 第五页

第五页 8 (1 ) 1 2 1 2 2 1 0 3  =  +  − =   z dz z z dz  (3)利用球面坐标     (x+z)dv= zdv    =  1 0 4 2 0 2 0 d d rcos r sindr      = 1 0 4 3 0 2 0 d cos sin d r dr       8 | 4 1 sin | 2 1 0 2 1 0 4 0 2 4     = +   r =  3．求由 z=4−x 2−y 2 及 z=0 所围成的立体的体积(8 分) 解 画出立体图形 (1 分) 所求立体的体积可以看成是以曲面 z=4−x 2−y 2 为顶 以区域 x 2+y 24 为底的曲顶 柱体的体的体积  +  = + 4 2 2 2 2 ( ) x y V x y dxdy (2 分)   = −  2 0 2 2 0  (4  )    d d (3 分)    )| 8 4 1 2 (2 2 0 2 4 =  − =  (2 分)