第一节 定积分的概念 MATK 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 MATE 五、小结 思考题 帮助 返回
分 上
问题( question) 实例1(求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x y=∫(x)((x)≥0)、 工工工 x轴与两条直线x=a、 o a b x x=b所围成 上页
a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题(question) y = f (x)
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 J J 0 b bx (四个小矩形) (九个小矩形) 然,小矩形越多,矩形总面积越接近 显 牛曲边梯形面积 ● 上页
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程,注意当分割加细时, c矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放 上页
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
(1)分割取近似:在区间/a,b内插入n-1 个分点,a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间/a,b/分成ny 个小区间 牛长度为Ax=x-x 工工工 (i=1,2,…n)。 在第个小区间/x21,x/dax1xx1xb 上上任取一点与 以[x1,x;为底,f(2)为高的小矩形面积为 A1=(5;)△x;(i=1,2,n) 上页
(1)分割取近似： a x x x x x b, [a,b] n = n n = − 0 1 2 −1 1 个分点， 在区间 内插入 a b x y o i x1 xi−1 xi xn−1 。 长度为 个小区间 ， 把区间 分 成 ( i , , n ) x x x ; [ x , x ] [a,b ] n i i i i i 1 2 1 1 = = − − − 上任取一点 ， 在第 个小区间 i i i i [ x , x ] −1 A f ( ) x (i , , n ) i = i i = 1 2 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为
王(2)求和:把个小矩形的面积加来 图边梯形面积的近似值为 A≈∑∫(5)Ax (3)取极限:当分割无限加细 且小区间的最大长度 =max{Ax1,Ax2,…△xn} 王趋近于零(→0)时, 曲边梯形面积为A=im∑f(4)x 上页
i n i A f i x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时 ， 且小区间的最大长度 取极限： 当分割无限加细 ( ) max{ x , x , x } ( ) , n 0 3 1 2 → = 曲边梯形面积为 (2) 求和： 把n个小矩形的面积加起来
实例2(求变速直线运动的路程) (1)分割T1=t<1<t2<…<tn1<tn=T2 △r=t-1As≈△n 第i瑖段路程值第i段某时刻的速度 (2)求和s≈∑v(G1)△ (3)取极限λ=max{△1,△2,…,△n} 路程的精确值s=lm∑v(τ;)A1 上页
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 第i段路程值 第i段某时刻的速度 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值 实例2 （求变速直线运动的路程)
王二、定积分的定义 1定义 Definition 设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 若千个分点a=x<x<x2<…<x<x=b 把区间a,列分成个小区间任取一点∈/x1,x 工工工 并作和S=∑f(5)Ax,招y= wuyi 只要当λ→0时,极限Im∑f(5)△x;存在。 →0 我们称这个极限为函数f(x胜区间a,b上的定积分, b 记作:fx 上页
设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，任取一点 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 二、定积分的定义 1.定义(Definition): [ x , x ] i i−1 i 只要当 → 0时， max{ x }i i 记 = 极限 i i n i f x → = lim ( ) 1 0 存在。 我们称这个极限为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分， 记作： b a f ( x )dx
即 分上限 ∫(x)k=I=im∑f(5)△ 工工工 分下限 a,b积分区间 被积函数 被积表达式 积分变量 上
= = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 即 积分上限 积分下限