第四部分定积分第1页共30页 第四部分定积分 [选择题] 容易题1-36,中等题37—86,难题87-117 1.积分中值定理f(x)x=f(Xb-a),其中() (A)5是[a,b]内任一点; (B).5是[a,b]内必定存在的某一点; (C).5是[a,b]内唯一的某一点 D).5是[a,b]的中点 答 ∫U(0d 2.F(x) +2,x≠0,其中f(x)在x=0处连续,且f(0)=0若F(x)在 X= 0 x=0处连续,则c=() (A).C=0; (B).C=1 (C).c不存在 (D).C=-1 1 3.I= lm xsin-d,(a为常数)由积分中值定理得 x sin-dx=a5sn,则 (A)lm as sin==lim as sin== (B). lim asin -=0 (C). lim as sin
第四部分 定积分 第 1 页 共 30 页 1 第四部分 定积分 [选择题] 容易题 1—36，中等题 37—86，难题 87—117。 1．积分中值定理 = − b a f (x)dx f ()(b a)，其中（ ）。 (A) 是 [a,b] 内任一点； (B). 是 [a,b] 内必定存在的某一点； (C). 是 [a,b] 内唯一的某一点； (D). 是 [a,b] 的中点。 答 B 2． = = , 0 , 0 ( ) ( ) 2 0 c x x x tf t dt F x x ,其中 f (x) 在 x = 0 处连续，且 f (0) = 0 若 F(x) 在 x = 0 处连续，则 c = （ ）。 (A). c = 0 ; (B). c =1 ; (C).c 不存在； (D). c = −1. 答 A 3． dx a x I x n a n n ,( 1 = lim sin + → 为常数）由积分中值定理得 = n+a n dx a x x 1 sin 1 sin ，则 I = （ ）。 (A) a a a a n a 1 sin 1 lim sin 1 lim sin 2 = = → → ; (B). 0 1 lim sin 0 = → a ; (C). a = a → 1 lim sin ;
第四部分定积分第2页共30页 (D). lim ae sin 答C 4.设f(x)在[a,b]连续,p(x)=f(t)dt,则( (A).q(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数; (B).f(x)是p(x)的一个原函数 (C).g(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数 D).f(x)是(x)在[a,b上唯一的原函数 答A 5.设f(x)hx=0且f(x)在{ab连续,则( (A).f(x)=0; (B).必存在x使f(x)=0; (C).存在唯一的一点x使f(x)=0 D).不一定存在点x使f(x)=0。 答B 6.设=x3f(x2)x(a>0),则( (A) I=Jo xf(x)dx (B).I=oxf(x)dx (C).I=l xf(x)dx D)./≈l =xf()dr 答C 7.0+x)1-xx=() (A)丌 (B) (C)2丌 (D) 答(A) 2
第四部分 定积分 第 2 页 共 30 页 2 (D). = → 1 lim a sin . 答 C 4．设 f (x) 在 [a,b] 连续， = x a (x) f (t)dt ，则（ ）。 (A). (x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数； (B). f (x) 是 (x) 的一个原函数; (C). (x) 是 f (x) 在 [a,b] 上唯一的原函数; (D). f (x) 是 (x) 在 [a,b] 上唯一的原函数. 答 A 5．设 ( ) = 0 b a f x dx 且 f (x) 在 [a,b] 连续，则（ ）。 (A). f (x) 0 ; (B).必存在 x 使 f (x) = 0 ； (C).存在唯一的一点 x 使 f (x) = 0 ； (D).不一定存在点 x 使 f (x) = 0。 答 B 6．设 = a I x f x dx 0 3 2 ( ) ( a. 0 ), 则（ ）。 (A). = 2 0 ( ) a I xf x dx ; (B). = a I xf x dx 0 ( ) ; (C). = 2 0 ( ) 2 1 a I xf x dx ; (D). = a I xf x dx 0 ( ) 2 1 . 答 C 7． + − = − 1 1 2 (1 x) 1 x dx ( ) （A） （B） 2 （C） 2 （D） 4 答（A）
第四部分定积分第3页共30页 8.设f(x)= x)cos 2x 其余 (A) (B)-3 (C)1 (D)-1 答(B) 9.设f∈C[0,,且∫/(x)d=2,则∫(co2x)sm2xdk=() (A)2 (B)3 (C)4 (D)1 答(A) 10.定积分的值与哪些因素无关?() (A)积分变量 (B)被积函数。 (C)积分区间的长度。 D)积分区间的位置。 11.闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值,即出现 一个有限的间断点,问结果如何?( (A)必将破坏可积性。 (B)可能破坏可积性。 (C)不会破坏可积性,但必将改变积分值 ①D)既不破坏可积性,也不影响积分值 答D 12.定积分的定义为(x=m∑(5)Ax,以下哪些任意性是错误的?() (A)随然要求当A=mXAx,→0时,∑f(5)x的极限存在且有限,但极限值仍是 任意的 (B)积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的 (C)对给定的份数n,如何将[a,b分成n份的分法也是任意的,即除区间端点
第四部分 定积分 第 3 页 共 30 页 3 8．设 = 0 其余 3 sin ( ) x x f x ，则 = 0 f (x) cos 2xdx ( ) （A） 4 3 （B） 4 3 − （C）1 （D）－1 答（B） 9．设 f C [ 0 , 1] ，且 ( ) 2 1 0 = f x dx ，则 = 2 0 2 (cos )sin 2 f x xdx ( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）1 答（A） 10．定积分的值与哪些因素无关？( ) (A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A 11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( ) (A) 必将破坏可积性。 (B) 可能破坏可积性。 (C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D 12．定积分的定义为 = → = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) ，以下哪些任意性是错误的？( ) (A) 随然要求当 = max i → 0 i x 时， i i i f ( )x 的极限存在且有限，但极限值仍是 任意的。 (B) 积分区间 [a,b] 所分成的分数 n 是任意的。 (C) 对给定的份数 n ，如何将 [a,b] 分成 n 份的分法也是任意的，即除区间端点
第四部分定积分第4页共30页 a=x0,b=xn外,各个分点x10时,函数f(x)=tant2dt是x的()
第四部分 定积分 第 4 页 共 30 页 4 n a = x ,b = x 0 外，各个分点 1 2 n−1 x x x 的取法是任意的。 (D) 对指定的一组分点，各个 [ , ] i i 1 i x x − 的取法也是任意的。 答 A 13． 2 0 2 sin x dx dx d 等于( ) （A） 0 （B） 1 （C） −1 （D） 2 答 A 14．定积分 x xdx − 0 3 sin sin 等于( ) （A） 3 4 （B） 0 （C） 3 2 （D） 2 3 答 A 15．定积分 x xdx − 0 3 cos cos 等于( ) （A） 0 （B） 2 3 （C） 3 4 （D） 3 4 − 答 C 16．定积分 − 2 0 |sin cos | x x dx 等于( ) （A） 0 （B） 1 （C） 2 +1 （D） 2( 2 −1) 答 D 17．定积分 x x dx − 2 2 3 2 max{ , ,1} 等于( ) （A） 0 （B） 4 （C） 3 16 （D） 12 97 答 D 18．当 x →0 时，函数 f x t dt x = sin 0 2 ( ) tan 是 x 的( )
第四部分定积分第5页共30页 (A)1阶无穷小量 (B)2阶无穷小量 (C)3阶无穷小量 (D)4阶无穷小量 答C 19.设f(x)在[-ad]上连续且为奇函数,F(x)=f(n)dt,则() (A)F(x)是奇函数 (B)F(x)是偶函数; (C)F(x)是非奇非偶函数 (D)(A)、(B)、(C)都不对。 答 20.设f(x)在{b]上连续,且f(x)t=0,则() (A)在[a,b]的某个子区间上,f(x)=0 (B)在[a,6上,f(x)≡0 (C)在[a,6内至少有一点C,f(c)=0 (D)在[a,b]内不一定有x,使f(x)=0 答C 21.设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)dx=0,则|[f(x)2dx=0() (A)一定成立 (B)一定不成立 (C)仅当∫单调时成立 (D)仅当f(x)≡0时成立。 答 2.√x3-2x2+xdk=() 4 p(8) (2+√2)
第四部分 定积分 第 5 页 共 30 页 5 （A） 1 阶无穷小量 （B） 2 阶无穷小量 （C） 3 阶无穷小量 （D） 4 阶无穷小量 答 C 19．设 f (x) 在 [−a, a] 上连续且为奇函数， = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则（ ）。 （A） F(x) 是奇函数； （B） F(x) 是偶函数； （C） F(x) 是非奇非偶函数； （D）（A）、（B）、（C）都不对。 答 B 20．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a f (x)dx 0 ，则（ ）。 （A）在 [a,b] 的某个子区间上， f (x) = 0 ； （B）在 [a,b] 上， f (x) 0 ； （C）在 [a,b] 内至少有一点 c， f (c) = 0 ； （D）在 [a,b] 内不一定有 x ，使 f (x) = 0。 答 C 21．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a f (x)dx 0 ，则 = b a [ f (x)] dx 0 2 （ ）。 （A）一定成立； （B）一定不成立； （C）仅当 f 单调时成立； （D）仅当 f (x) 0 时成立。 答 D 22． x x xdx − + 2 0 3 2 2 =( ) (A) (2 2) 15 4 + (B) (2 2) 15 4 − +
第四部分定积分第6页共30页 4√28- 2 4√28√2 设/=,则/=( (A)-(b2-a2) (B)(b2-a2) (C)3(bb)-alap 24.设f(x)=jm(1+√Mg(x)=acsm则当x→0时,f(x)是g(x)的() (A)同阶无穷小,但不等价 (B)等价无穷小 (C)低价无穷小 D)高价无穷小 答D 25.F(x)= Je"costdt,则F(x)在[,x]上有( (A)F(x)为极大值,F(0)为最小值 (B)F()为极大值,但无最小值 (C)F(∞)为极小值,但无极大值 (D)F(x)为最小值,F(0)为最大值 答
第四部分 定积分 第 6 页 共 30 页 6 (C) 5 8 2 3 4 2 − (D) 5 8 2 3 4 2 − + 答 A 23．设 I xdx b a = ,则 I =( ) (A) ( ) 2 2 − b − a (B) ( ) 2 2 b − a (C) ( ) ) 2 1 b b − a a (D) ( ) ) 2 1 − b b − a a 答 C 24．设 , 2 ( ) ln(1 ) , ( ) arcsin 2 0 0 2 dt t f x t dt g x x x = + = 则当 x →0 时, f (x) 是 g(x) 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小 答 D 25． − = x t F x e tdt 0 ( ) cos , 则 F(x) 在 [0, ] 上有( ) (A) ) 2 ( F 为极大值, F(0) 为最小值 (B) ) 2 ( F 为极大值,但无最小值 (C) ) 2 ( F 为极小值,但无极大值 (D) ) 2 ( F 为最小值, F(0) 为最大值 答 A
第四部分定积分第7页共30页 26.设F(x)=f()dm,则△F(x)=() (A)|(t+△)-f()t (B)f(x)△x (c)f(r)dt-If(t)a (D)|f()d(t+△r)-|f( 答 hn(1+)dt=( (A)-ln(1+hnx)-2l(1+2x) (B)-h(1+In x)-In(1 (C)h(1+lnx)-ln(1+2x) 答A x)x0 (A)连续,但不可导 (B)可导,但导函数不连续 (C)不连续 ①D)导函数连续 答D 设l1=「htot,l2=h2td(x>0)则()
第四部分 定积分 第 7 页 共 30 页 7 26．设 = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ,则 F(x) = ( ) (A) f t t f t dt x + − 0 [ ( ) ( )] (B) f (x)x (C) − x+x x f t dt f t dt 0 0 ( ) ( ) (D) + − x x f t d t t f t 0 0 ( ) ( ) ( ) 答 C 27． + x x t dt dx d ln 2 ln(1 ) =( ) (A) ln(1 ln ) 2ln(1 2 ) 1 x x x + − + (B) ln(1 ln ) ln(1 2 ) 1 x x x + − + (C) ln(1+ ln x) − ln(1+ 2x) (D) ln(1+ ln x) − 2ln(1+ 2x) 答 A 28． = − = x t dt x x x x x x f x 0 2 2 cos 0 1 1 0 (1 cos ) 0 2 ( ) ,则 f (x) 在 x = 0 点( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续 答 D 29．设 = = x e x e I tdt I tdt 2 1 2 ln , ln (x 0), 则( )
第四部分定积分第8页共 (A)对一切的x≠e,有l1e时,l1<l2 D)仅当x<e时,l1<l2 答C 下列积分中不为零的是() sin x B)∫cosx+ sin xdx (C)In x dx (+x)cosx -% 答D 31.下列运算正确的是() In/sin x In 2 In 2 (C) arctan -dx an x 2a dx 0 答A
第四部分 定积分 第 8 页 共 30 页 8 (A) 对一切的 x e, 有 1 2 I I (B) 对一切的 x e, 有 1 2 I I (C) 仅当 x e 时, 1 2 I I (D) 仅当 x e 时, 1 2 I I 答 C 30．下列积分中不为零的是( ) (A) dx x x − + 2 2 10 1 sin (B) dx x x − + 2 cos sin (C) x dx x x arcsin( ) 1 1 ln 2 2 1 2 1 − − + (D) − + + 2 2 2 1 sin (1 ) cos x x x 答 D 31．下列运算正确的是( ) (A) 2 ln 2 cot ln sin 4 2 4 2 − = = − − − − xdx x (B) 2 ln 2 cot ln sin 2 4 2 4 = = − − xdx x (C) 2 1 arctan 1 arctan 1 1 1 1 = = − − x dx dx x d (D) 0 2 tan arctan 2 1 2 tan sec 2 0 2 0 2 = = + x dx x x 答 A
第四部分定积分第9页共30页 2.曲线y=x+1,y=x2(x≥0),y=1与x轴所围的面积等于() (B) 7-6231 (C) 243 答A dx=( 1+ (A)-1 e (D)-1 答(A) 4.设l1=「hxx,l2=hn2xdr,则 (A)2-12=0 (C)12+2l1=e (D)12-2/1 答(C) 35.定积分[(x-ax-b)hx=(
第四部分 定积分 第 9 页 共 30 页 9 32．曲线 1, ( 0), 1 2 y = x + y = x x y = 与 x 轴所围的面积等于( ) (A) 6 7 (B) 3 2 (C) 2 1 (D) 3 4 答 A 33． = + − 1 11 dx e e x x ( ) (A) −1 (B) e e + − 1 1 (C) e e − + 1 1 (D) −1 答(A) 34．设 = = e e I xdx I xdx 1 2 2 1 1 ln , ln ，则 (A) 0 2 I 2 − I 1 = (B) I 2 − 2I 1 = 0 (C) I + I = e 2 2 1 (D) I − I = e 2 2 1 答(C) 35．定积分 − − = b a (x a)(x b)dx ( ) (A) 6 ( ) 3 b − a (B) 6 ( ) 3 a − b
四部分定积分第10页共30页 3 答(B) (A) (c)2- dx 答①D) 37.函数f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的( (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 答 38.设函数f(x)在[-a,a上连续,则Pf(x)恒等于( (A)210f(x)d (B)0 (C lf(x)+ f(x)]dx (D)SoLf(x)-f(x)]dx 答C 89iN=[x2sin xdx, P=L(re-1)dr, 0=[a cos'x'dx (a>0) 则 (A)N≤P≤Q (B)N≤O≤P ()Q≤P≤N (D)P≤N≤O 答D 40.设函数f(x)在(-0+∞)上是可积函数,则F(x)=f(1)d是
第四部分 定积分 第 10 页 共 30 页 10 (C) 3 ( ) 3 b − a (D) 6 3 3 b − a 答(B) 36． = − − 2 2 2 e dx x （ ） (A) − − 2 2 2 4 e du u (B) − − 2 2 e dt t (C) − 0 2 2 2 e dx x (D) − − 0 2 2 2 e dx x 答(D) 37．函数 f (x) 在 [a,b] 上连续是 f (x) 在 [a,b] 上可积的 （ ） (A ) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件 答 B 38．设函数 f (x) 在 [−a, a] 上连续，则 − a a f (x)dx 恒等于 （ ） (A ) a f x dx 0 2 ( ) ( B ) 0 (C ) + − a f x f x dx 0 [ ( ) ( )] (D ) − − a f x f x dx 0 [ ( ) ( )] 答 C 39．设 sin , ( 1) , cos ( 0) 2 3 3 2 3 2 = = − = − − − N x xdx P x e dx Q x dx a a a a a a x a 则 （ ） (A ) N P Q (B ) N Q P (C) Q P N (D ) P N Q 答 D 40．设函数 f (x) 在 (−,+) 上是可积函数，则 = x a F(x) f (t)dt 是 （ ）