清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第六部分 曲线积分与曲面积分

第六部分曲线积分与曲面积分第1页共40页 第六部分曲线积分与曲面积分 1.设曲线L是上半圆周x2+y2=2x,则∫xl=z。 解法1由于L关于直线x=1对称,所以∫(x-1)dl=0,从而 「xd=∫[(x-1)+1kd=j(x-1l+∫dl=0 解法2令L x=1+cost (0≤t≤x),则 y=sn I Jxdl=J(+cost)V(sin ()2+(cos 1)2dt=T 解法3设曲线L的质量分布均匀,则其重心的横坐标为x=1。又因为 所以∫xll 2.设L是上半椭圆周x2+4y2=1y≥0,L是四分之一椭圆周 =1x≥0,y≥0,则 谷 解由于L关于y轴对称,所以 SL xdI=0, JL xydl= JL ydl= 2JL ydl, JLxd=2L xdI,LLyd=2L y4c 注意到xd=2xd≠2l1yd,从而可以排除(A),(B),(O)三个选项,或直接选 出正确选项(D)。 3.计算=∫xdl,其中L是圆周x2+y2=a2上从点A(O,a)经点C(a0)到点 BO

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 1 页 共 40 页 1 第六部分 曲线积分与曲面积分 1．设曲线 L 是上半圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  = L xdl  。 解法 1 由于 L 关于直线 x =1 对称，所以 ( −1) = 0 L x dl ，从而  = [( −1) +1] = ( −1) +  = 0 + =  L L L L xdl x dl x dl dl 。 解法 2 令 (0 ) sin 1 cos ,       = = + t y t x t L： ，则    =  + − + = 0 2 2 xdl (1 cost) ( sin t) (cost) dt L 。 解法 3 设曲线 L 的质量分布均匀，则其重心的横坐标为 x =1 。又因为   =   = L L L xdl dl xdl x ， 所以  =  L xdl 。 2 ． 设 L 是 上 半 椭 圆 周 4 1, 0 2 2 x + y = y  ， L1 是 四 分 之 一 椭 圆 周 4 1, 0, 0 2 2 x + y = x  y  ，则 (A)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 。 (B) L = L xydl xydl 1 2 。 (C) L = L x dl y dl 1 2 2 2 。 (D)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 。[ ] 答 D 解 由于 L 关于 y 轴对称，所以  = L xdl 0，  = L xydl 0，  =  1 2 L L ydl ydl ，  =  1 2 2 2 L L x dl x dl ，  =  1 2 2 2 L L y dl y dl 。 注意到 L = L  L x dl x dl y dl 1 1 2 2 2 2 2 ，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选 出正确选项(D)。 3 ． 计算 =  L I xdl ， 其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a 上从点 A(0,a) 经 点 C(a,0) 到 点 ) 2 , 2 ( a a B − 的一段

第六部分曲线积分与曲面积分第2页共40页 解法1取y为自变量,则L的方程为x=a2-y2,其中-2≤y≤a,所以 I=xdl=j x( L 解法2取L的参数方程为{x=a0,其中-≤t≤,所以 2 I=xdl=J2 acostvG-asin 1-+(acost)dt=v2+I 4 解法3由于h=-{x,y是圆周x2+y2=a2的外向单位发向量,所以此圆周的正向单位 切向量为#{-y,x。根据两类曲线积分之间的关系,得 =「xdl=a-d=ad 其中L的方程为x=a2-y2,起点为B(,2),终点为A0,a)。因此 √2+1 dy 4.计算=f(x+√y√x2+y2+x2+y2d,其中L是圆周x2+(y-1)2=1 解由于圆周L关于y轴对称,所以fx√x2+y2d=0,从而 =f(x+√yx2+y2+x2+y2 因为L的参数方程为{ x= cost 0≤t≤2丌,所以 y=l+sn t =(2+√2)yll (2+√2)(+snO)d 2m(2+√2)

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 2 页 共 40 页 2 解法 1 取 y 为自变量，则 L 的方程为 2 2 x = a − y ，其中 y a a −   2 ，所以 2 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 1 ( ) dy a a y y a y I xdl a y x y dy a a a a L +  = − − = − +  = − +  =  − − 解法 2 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t 其中 4 2   −  t  ，所以 2 2 4 2 2 2 2 1 I xdl a cost ( asin t) (a cost) dt a L + =  =  − + = −   。 解法 3 由于 { , } 1 x y a n =  是圆周 2 2 2 x + y = a 的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位 切向量为 { , } 1 y x a  −  。根据两类曲线积分之间的关系，得 =  =  =  L L L dl a dy a x I xdl a ， 其中 L 的方程为 2 2 x = a − y ，起点为 ) 2 , 2 ( a a B − ，终点为 A(0,a) 。因此 2 2 2 2 1 I a dy a dy a a a L + =  =  = − 。 4．计算 I x y x y x y dl L [( ) ] 2 2 2 2 =  + + + + ，其中 L 是圆周 ( 1) 1 2 2 x + y − = 。 解 由于圆周 L 关于 y 轴对称，所以 [ 0 2 2  x x + y dl = L ，从而 =  + = +  。 =  + + + + L L L y y y dl ydl I x y x y x y dl [ 2 2 ] (2 2) [( ) ] 2 2 2 2 因为 L 的参数方程为    = + = 1 sin , cos , y t x t 0  t  2 ，所以 = +  L I (2 2) ydl 2 (2 2)。 (2 2) (1 sin ) 2 0 = + = +  +     d

第六部分曲线积分与曲面积分第3页共40页 5.已知曲线L是平面x+y+z=0与球面x2+y2+2=R2的交线,计算曲线积分 f(x+y+a)dl L 解法1由于曲线L的方程中的变量x,y,z具有轮换对称性,所以 fxdl=fy-dl=f fxdl= fydl==dr L 因此 4 f( +=)=Rdl L f=f(x+y+M∥、l ∮Odl=0, 从而 4 f( x)dl=f(x+y)dI+f=dl 解法2直接化成定积分进行计算。曲线L x+y+2 0 在x-y平面的投影曲线 x +y +a 是一椭圆,其方程是 +x1 R R x=cost,+y= 令snt,0≤t≤2x,则曲线L的参数方程为 Rcost R 0≤t R R In t OSt

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 3 页 共 40 页 3 5．已知曲线 L 是平面 x + y + z = 0 与球面 2 2 2 2 x + y + z = R 的交线，计算曲线积分  + + L (x y z)dl 2 2 。 解法 1 由于曲线 L 的方程中的变量 x, y,z 具有轮换对称性，所以  =  =  L L L x dl y dl z dl 2 2 2 ，  =  =  L L L xdl ydl zdl ， 因此 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 2 ( ) 3 2 (x y )dl x y z dl R dl R L L L  + =  + + =  =  ， 0 0 3 1 ( ) 3 1  =  + + =  = L L L zdl x y z dl dl ， 从而 2 2 2 2 3 3 4 (x y z)dl (x y )dl zdl R L L L  + + =  + +  =  。 解法 2 直接化成定积分进行计算。曲线 L ：    + + = + + = 2 2 2 2 0 x y z R x y z 在 x − y 平面的投影曲线 是一椭圆，其方程是 2 2 2 2 R x + xy + y = ， 即 2 2 2 3 2 2 2 R y x x  =      + +         。 令 t R y x t R x sin 2 2 cos , 2 2 3 = + = ，0  t  2 ，则曲线 L 的参数方程为          = − − = − = cos , 6 sin 2 cos , 6 sin 2 cos , 3 2 t R t R z t R t R y x R t 0  t  2

第六部分曲线积分与曲面积分第4页共40页 所以 R R R R rsin t I coSt+ sin t cost dr 从而 fx dI==R(cost)Rdt==R fy2d=k(2sin t-cost)2Rdt==R R f=dl=5o (sin t-cost)Rdt=0 因此f(x2+y2+)dl=x2l+fy2+f23+2nB34 6.求柱面x3+y3=1被球面x2+y2+z2=1包围部分的面积S。 解根据第一型曲线积分的几何意义及对称性,得 S=8 dl 其中L是平面曲线{x3+y3=1,在第一象限中的部分。 cos 0 取L的参数方程为 0≤≤-,则 y=sn 6 dl=v(-3cos20sin 8)2+(3sin 20 cos 0) 2d0=3sin 0cos0de 所以

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 4 页 共 40 页 4 所以 t dt Rdt R t R t R t R dl R t =         + −         + +         = − 2 2 2 cos 2 sin 6 sin 6 cos 2 sin 3 2 。 从而 2 2 0 2 2 2 3 2 (cos ) 3 2 x dl R t Rdt R L    =  = ， 2 2 0 2 2 3 2 cos ) 6 sin 2 ( t Rdt R R t R y dl L    =  − = ， cos ) 0 6 sin 2 ( 2 0  =  − − =  t Rdt R t R zdl L ， 因此 2 2 2 2 3 3 3 3 4 0 3 2 3 2 (x y z)dl x dl y dl zdl R R R L L L L  + + =  +  +  =  +  + =  。 6．求柱面 1 3 2 3 2 x + y = 被球面 1 2 2 2 x + y + z = 包围部分的面积 S 。 解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得 =  − − L S x y dl 2 2 8 1 ， 其中 L 是平面曲线      = + = 0 1, 3 2 3 2 z x y 在第一象限中的部分。 取 L 的参数方程为     = =   3 3 sin cos y x ， 2 0     ，则 dl ( 3cos  sin ) (3sin  cos) d 3sin  cos d 2 2 2 2 = − + = ， 所以

第六部分曲线积分与曲面积分第5页共40页 8原1-cos°-sin°3 sin ecos 0de 2452 1-(cos 0+sin 0)(cos+0-cos0sin20+sin")sin A cos ede 24J2(cos 0+sin 0)-cos8+cos8sin8-sin*0)sin 0 cos ]d0 24√3 os-6d0=6 (26)d= 7.计算/=3xyax-x3dy,其中L是从点(0.0)经过点(1,0)到点(0,0)的折线段 解设l:y=0,x从0到1;L2:x=1,y从0到1。根据路径可加性,得 =l13x2yk-x2h+23xyk-x2bh=0+(-=-1 8.设L是圆周x2+y2=2x,则f-yz+xd 解1根据格林公式,得 x+xd=[1-(-1)c=2r 解2由于n={x-1,y是L的外向单位法向量,所以z={-y,x-1}就是L的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系,得 f-zx+xd=f-zx+(x-1)+fd=f(-y)2d+(x-1)2d+0=2r 9.计算=5y2xd-x2yzhx,其中L是圆周x2+y2=a2,顺时针方向为正。 x= a cost 解1取L的参数方程为 t从0到-2丌,则 y=asin 1, I=fy2xdy-x ydx 5o [(asin 1)a cost a cost-a cost)asin t(-asin t)]dr a 解2由于y2x,-x2y具有一阶连续偏导数,并注意到L的方向,根据格林公式得

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 5 页 共 40 页 5       。                             3 2 3 24 3 sin cos 6 3 sin (2 ) 24 (cos sin ) cos cos sin sin ) sin cos 24 1 (cos sin )(cos cos sin sin ) sin cos 8 1 cos sin 3sin cos 8 1 20 2 20 2 2 20 2 2 4 2 2 4 20 2 2 4 2 2 4 20 6 6 2 2 =  =  = =  + − + − =  − + − + =  − − =  − − d d d d d S x y dl L 7．计算 =  − L I x ydx x dy 2 3 3 ，其中 L 是从点 (0,0) 经过点 (1,0) 到点 (0,0) 的折线段。 解 设 0, L1：y = x 从 0 到 1 ； L x 1, y 2： = 从 0 到 1 。根据路径可加性，得 3 3 0 ( 1) 1 1 0 1 0 2 3 2 3 1 2 I =  x ydx − x dy +  x ydx − x dy =  dx +  − dy = − L L 。 8．设 L 是圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  − + = L ydx xdy 2 。 解 1 根据格林公式，得 [1 ( 1)] 2 2 2 2  − + =  − − = L x +y  x ydx xdy dxdy 。 解 2 由于 n = {x −1, y}  是 L 的外向单位法向量，所以  = {−y, x −1}  就是 L 的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系，得 ( 1) ( ) ( 1) 0 2 2 2  − + =  − + − +  =  − + − + = L L L L ydx xdy ydx x dy dy y dl x dl 。 9．计算 =  − L I y xdy x ydx 2 2 ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a ，顺时针方向为正。 解 1 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t t 从 0 到 − 2 ，则   。  2 4 0 4 2 2 0 2 2 2 2 2 1 (sin 2 ) 2 1 [( sin ) cos cos ( cos ) sin ( sin )] a t dt a a t a t a t a t a t a t dt I y xdy x ydx L =  = − =  − − =  − − − 解 2 由于 y x x y 2 2 ,− 具有一阶连续偏导数，并注意到 L 的方向，根据格林公式得

第六部分曲线积分与曲面积分第6页共40页 I=fy xdy-x ydx ∫y2-(-x2)x a丌 10.计算=∫(2xy+e)x-(cosy-xe"),其中L从点(-1)沿曲线y=x2到点 (0,0),再沿直线y=0到点(2,0)。 解1设L1从点(-1)沿曲线y=x2到点(00);L2从点(00)沿直线y=0到点(2,0)。则 I=J(12xy+e )dx-(cos y-xe )dy+j(12xy+e")dx-(cos y-xe")dy L L, =(1012x3+e2)-(cosx2-xc2)2xhx+a sin S(e +2x e )dx+sin 1-1 由于2￥e=xb-2,所以e2+2)hk=e,从而 e 解2设L1从点(-2,0)沿直线x=2到点(2,1);L2从点(2,1)沿直线y=1到点(-1),L与 L1和L2围成的区域记为D。根据格林公式得 =∫(12xy+e)dx-(c L+L+L2 J(12xy+e )dx-(cos y-xe")dy L y (e'-12x-e)dxdy+S(cos y-2e"dy -52(12x+e)d 21+(sn1+2-2e)-(-3e-18) 计算=r(x-y)dtx+(x+y) ,其中L是曲线y=x2-2从点A(-2,2)到点B(2,2) 的一段 解1记X(x,y)=3,Y(x,y)=+,,当(xy)≠(0)时,有

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 6 页 共 40 页 6 0 2  0 2 4  。 2 2 2 2 2 1 [ ( )] 2 2 2 d r rdr a y x dxdy I y xdy x ydx a x y a L = −  = − = −  − − =  − +  10．计算 =  + − − L y y I (12xy e )dx (cos y xe )dy ，其中 L 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ，再沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。 解 1 设 L1 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ； L2 从点 (0,0) 沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。则 ( 2 ) sin 1 1， ( 2 ) sin 1 1 [(12 ) (cos )2 ] (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 0 2 0 1 2 2 0 0 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 =  + + − =  + + − =  + − − +  =  + − − +  + − − − − e x e dx e x e dx x e x x e x dx dx I x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy x x x x x x L y y L y y 由于  = −  1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2x e dx xe e dx x x x ，所以 e x e dx e x x  + = 1 0 2 ( 2 ) 2 2 ，从而 I = sin1+ e −1。 解 2 设 L1 从点 (−2,0) 沿直线 x = 2 到点 (2,1) ； L2 从点 (2,1) 沿直线 y = 1 到点 (−1,1) ，L 与 L1 和 L2 围成的区域记为 D 。根据格林公式得 21 (sin 1 2 2 ) ( 3 18) sin 1 1。 ( 12 ) (cos 2 ) (12 ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 2 1 0 2 1 1 2 = − + + − − − − = + − =  − − +  − −  + −  + − − −  + − − =  + − − − + + e e e e x e dxdy y e dy x e dx x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy I x y e dx y x e dy y D y y L y y L y y L L L y y 11．计算  + − + + = L x y x y dx x y dy I 2 2 ( ) ( ) ，其中 L 是曲线 2 2 y = x − 从点 A(−2,2) 到点 B(2,2) 的一段。 解 1 记 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x y Y x y x y x y X x y + + = + − = ，当 (x, y)  (0,0) 时，有

第六部分曲线积分与曲面积分第7页共40页 ar(x,y) xy 令L1是折线段A(-2,2)→C(-2,-2)→D(2.-2)→B(2,2),则根据格林公式易知 (x-y)dx+(x+y (x-y)dx+(x+ y)dy x x+2 d+上2 d+12 2+ydy 解2令L1是直线段A-22)→B(2,2),L2是圆周x2+y2=r2,r足够小。由于当 (x,y)≠(0,0)时,有 xy (x2+y2) 所以根据格林公式得 /=((r-y)dx+(x+y)dy (x-y)dx +(x+ y)dy +/(x-ydx +(x+ydy L2 dx+o(x-y)dx+(x+y)dy +2丌=-丌。 设在全个面内有连峡的一阶偏学数,且满2a,C 为包围原点的正向简单闭曲线,计算I=5 (xv- yu )dx+(xu+y 解记l=fX(x,y)+Y(x,y)h,其中X(x,y)=-厘,Y(x,y)=x+。由于

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 7 页 共 40 页 7 y X x y x y y x xy x Y x y   = + − − =   ( , ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 。 令 L1 是折线段 A(−2,2) → C(−2,−2) → D(2,−2) → B(2,2) ，则根据格林公式易知  + − + + =  + − + + = 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) L L x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I  。 2 3 4 1 6 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  = + =  + +  + + +  + + − + = − − − − dy y dy y y dx x x dy y y 解 2 令 L1 是直线段 A(−2,2) → B(2,2)， L2 是圆周 2 2 2 x + y = r ，r 足够小。由于当 (x, y)  (0,0) 时，有         + −   = + − − =         + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y x y x y y y x x y x y x y x ， 所以根据格林公式得   。  2 3 2 2 ( ) ( ) 1 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + =  +  − + + + − =  + − + +  + + − + + =  + − + + = − L L L L x y dx x y dy r dx x x x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I 12．设 u(x, y), v(x, y) 在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足 x v y u y v x u   = −     =   , ，记 C 为包围原点的正向简单闭曲线，计算  + − + + = C x y xv yu dx xu yv dy I 2 2 ( ) ( ) 。 解 记 =  + C I X (x, y)dx Y(x, y)dy ，其中 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x u yv Y x y x y xv yu X x y + + = + − = 。由于

第六部分曲线积分与曲面积分第8页共40页 ax(x,y)(xvy-yuy -u(x+y)-2yxv- yu) MYj +(y )u-2xy (x2+y2)2 aY(x,y)(xux+yx(x+y)+y-x )u-2xyn 且2=vy,u2=-,,所以当x2+y2≠0时 aX(x,y) ar(x, y) 任取r>0充分小,记C为圆周x2+y2=r2,并取逆时针方向,根据格林公式可知 a-c X(x, y)dx+Y(x, y)dy=0, MI=fc X(x, y)dx+Y(x,y)dy x=rcos 令C 6:0 rsin 0 =h -Icos, y-rsin e.u)-(sin 0)r+(rcos 0. u+r sin 0v)rcoselde =2 u(rcos t, rsin 0)d=2m(rcos5,rsn2.0≤5≤2z 由于与r的值无关,令r→>0,得=2l(00) 13.计算I=∫ ey cos x-qyd+esnx-b(x+y)],其中L为4x2+9y2=36在第 一象限中的部分,方向为从点(3,0)到(0,2)。 解1由于曲线积分l1=∫e’cosx-bylx+le'sinx-b(x+y)h与路径无关,所以 11=5cos xdx+o(-by)dy=-sin 3-2b 又y=原2smt:(-3mh=3,所以 1 )∫yat=r(a-b)-2b 解2取L1是从点(0,2)经点0)到点(30),根据格林公式,得

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 8 页 共 40 页 8 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( , ) x y x v yu u x y y x v yu y X x y y y + − − + − − =   2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 x y x v yu x y y x u xyv y y + − + + − − = ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )( ) ( ) 2 x y x u yv x y y x u xyv x Y x y x x + + + + − − =   ， 且 x y y x u = v ,u = −v ，所以当 0 2 2 x + y  时， x Y x y y X x y   =   ( , ) ( , ) 。 任取 r  0 充分小，记 Cr 为圆周 2 2 2 x + y = r ，并取逆时针方向，根据格林公式可知，  ( , ) + ( , ) = 0 C−Cr X x y dx Y x y dy ，故 =  + Cr I X(x, y)dx Y(x, y)dy 。 令 Cr ：     , 0 2 sin cos →    = = ： y r x r ，则  =  −   − +  +          2 0 2 [ cos sin ) ( sin ) ( cos sin ) cos ] 1 r v r u r r u r v r d r I =  =            2 0 u(r cos ,rsin )d 2 u(r cos ,rsin ), 0 2 。 由于 I 与 r 的值无关，令 → + r 0 ，得 I = 2 u(0,0) 。 13．计算 =  − + − + L y y I [e cos x ay]dx [e sin x b(x y)]dy ，其中 L 为 4 9 36 2 2 x + y = 在第 一象限中的部分，方向为从点 (3,0) 到 (0,2) 。 解 1 由于曲线积分 =  − + − + L y y I [e cos x by]dx [e sin x b(x y)]dy 1 与路径无关，所以 I cos xdx ( by)dy sin 3 2b 2 0 0 1 3 =  +  − = − − 。 又   2 3 2 2sin ( 3sin ) 0  ydx =  t − t dt = − L ，所以 ( ) 2 sin 3 2 3 ( ) I = I1 + b − a  ydx = a − b − b − L  。 解 2 取 L1 是从点 (0,2) 经点 (0,0) 到点 (3,0) ，根据格林公式，得

第六部分曲线积分与曲面积分第9页共40页 i= [e cos x-ay]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J[e cos x- ay ]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J(a-b)drdy-52Gby )dy-focosxdx 3×2m(a-b)-2b-sn3 b)-2b-sin 3 14.设L是右半平面(x>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d)。证明曲 线积分1=口+x2sm(xy)l+[x2sm(xy)-1tx与路径无关,并求/的值。 解1因为 +x sin( xy)=sn( xy)-+xycos(xy) in( xy)-1 在右半平面内处处成立,所以曲线积分在右半平面内与路径无关。 取L为从点(a,b)经过点(c,b)到点(c,d)的折线段,得 [+ y Lx sin( xy)-ldx Sa5[x sin( bx)-1]dx+ -[l+c sin( cy )]dy cos(bx)la+[ s(cy) db+cos(ab)-cos(cd)。 解2因为 -[+xsin( xy)]dy+[ sin( xy)-l]dx dh sin( xy)d(xy)+d(-) dL-cos(xy)

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 9 页 共 40 页 9 ( ) 2 sin 3。 2 3 3 2 ( ) 2 sin 3 4 1 ( ) ( ) cos [ cos ] [ sin ( )] [ cos ] [ sin ( )] 3 0 0 2 1 1 = − − − =   − − − =  − −  − −  −  − + − + =  − + − + + a b b a b b a b dxdy by dy xdx e x ay dx e x b x y dy I e x ay dx e x b x y dy D L y y L L y y   14．设 L 是右半平面 (x  0) 内的有向分段光滑曲线，起点为 (a,b) ，终点为 (c, d ) 。证明曲 线积分 =  + + − L x x y dx x y x x y dy x I [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 与路径无关，并求 I 的值。 解 1 因为           −   = − + =       +   cos( ) sin( ) 1 1 1 sin( ) sin( ) 1 2 2 2 2 x x y x y y x y x y x x x y x y x x 在右半平面内处处成立，所以曲线积分 I 在右半平面内与路径无关。 取 L 为从点 (a,b) 经过点 (c,b) 到点 (c, d ) 的折线段，得 cos( ) cos( )。 [ cos( )] [ cos( )] [1 sin( )] 1 [ sin( ) 1] [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 2 2 ab cd a b c d cy c y bx x b c cy dy c x bx dx x b x x y dx x y x x y dy x I d b c a d b c a L = − + − = − + − =  − +  + =  + + − 解 2 因为 [ cos( )]， sin( ) ( ) ( ) sin( )( ) [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 x y x y d x y x y d x y d x xdy ydx x y y dx xdy x x y dx x y x x y dy x = − = + − = + + + + −

第六部分曲线积分与曲面积分第10页共40页 所以y-cos(xy)是-u+x2sn(xyh+[x2sn(xy)-1]在右半平面上的一个原函 x 数,所以曲线积分在右半平面内与路径无关,且 1=+x2s0x)+}1x2sn -cos(xy)(. b) d b +cos(ab)-cos(cd)。 1.计算/=y-(x2+y2+2),L是曲线x+y2=1 在第一卦限中的部分,从点 (0,1,4)到点(1,0,6) X=d 解1取L的参数方程为 ,参数x从0变到1,则 =2x+4 =∫yax-(x2+y2+2)d L V1-x2-(1+(2x+4)2)2yhx 00π-4π4 8 16-3 158 16.计算=f++xd,其中L是球面x2+y2+x2=42与平面x+z=2的交 线,从z轴正向看去为逆时针方向。 解1曲线L在XO平面上的投影的方程为2x2+y2=4,这是一个椭圆。取L的参数方 程为 x=√2cost 2-√2cos 参数t从0到2丌,从而

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 10 页 共 40 页 10 所以 cos(xy) x y − 是 x xy dx x y x xy dy x [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 + + − 在右半平面上的一个原函 数，所以曲线积分 I 在右半平面内与路径无关，且 cos( ) cos( )。 [ cos( )] [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 ab cd a b c d x y x y x x y dx x y x x y dy x I c d a b L = − + − = − =  + + − 15．计算 =  − + + L I ydx (x y z )dz 2 2 2 , L 是曲线    = + + = 2 4 1 2 2 z x x y 在第一卦限中的部分,从点 (0,1,4) 到点 (1,0,6). 解 1 取 L 的参数方程为      = + = − = 2 4 1 2 z x y x x x ，参数 x 从 0 变到 1 ，则 。 3 158 4 16 32 3 8 2 4 [ 1 (1 (2 4) )2] ( ) 1 0 2 2 2 2 2 = − = − − − − =  − − + + =  − + +   x x dx I ydx x y z dz L 16． 计算 =  + + L I ydx zdy xdz ，其中 L 是球面 x y z 4z 2 2 2 + + = 与平面 x + z = 2 的交 线，从 z 轴正向看去为逆时针方向。 解 1 曲线 L 在 xOy 平面上的投影的方程为 2 4 2 2 x + y = ，这是一个椭圆。取 L 的参数方 程为      = − = = 2 2 cos , 2sin , 2 cos , z t y t x t 参数 t 从 0 到 2 ，从而