第五部分多元函数微分学第1页共27页 第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1-36,中等题37-87,难题88-99 x+3y+2z+1=0 1.设有直线L 1-10+3s0及平面丌:4x-2y+z-2=0,则直线L (A)平行于丌。(B)在上丌。(C)垂直于丌。(①D)与丌斜交 2.二元函数f(x,y)=1x2+y (x,y)≠(0,0) 在点(0,0)处() 0,(x,y)=(0,0) (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在 答 3设函数n=以(x,1)y=vxy)由方程组{X=+ 确定,则当≠ν时 答:B 4.设∫(x,y)是一二元函数,(x0,y0)是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是 (A)若∫(x,y)在点(x0,y)连续,则f(x,y)在点(x0,y)可导 (B)若f(x,y)在点(x0,y)的两个偏导数都存在,则f(x,y)在点(x,y)连续。 (C)若f(x,y)在点(x0,y)的两个偏导数都存在,则f(x,y)在点(x,y0)可微 ①D)若∫(x,y)在点(x0,y0)可微,则∫(x,y)在点(x,y)连续。 答 5.函数∫(x,y,-)=√3+x2+y2+2在点(1,-12)处的梯度是() ()(g99 答:A
第五部分 多元函数微分学 第 1 页 共 27 页 1 第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题 1—36，中等题 37—87，难题 88—99。 1．设有直线 − − + = + + + = 2 10 3 0 3 2 1 0 : x y z x y z L 及平面 : 4x − 2y + z − 2 = 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 。(C) 垂直于 。 (D) 与 斜交。 答：C 2．二元函数 = = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 在点 (0,0) 处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数 u = u(x, y), v = v(x, y) 由方程组 = + = + 2 2 y u v x u v 确定，则当 u v 时， = x u ( ) (A) u v x − (B) u v v − − (C) u v u − − (D) u v y − 答：B 4．设 f (x, y) 是一二元函数， ( , ) 0 0 x y 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可导。 (B) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的两个偏导数都存在，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续。 (C) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的两个偏导数都存在，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微。 (D) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续。 答：D 5．函数 2 2 2 f (x, y,z) = 3 + x + y + z 在点 (1,−1,2) 处的梯度是( ) (A) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 ( − (B) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 2( − (C) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 ( − (D) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 2( − 答：A
第五部分多元函数微分学第2页共27页 6.函数z=f(xy)在点(x,y)处具有两个偏导数f2(x,y0),f,(x0,y0)是函数存在全 微分的( (A).充分条件 (B).充要条件 (C).必要条件 (D).既不充分也不必要 答C 7.对于二元函数z=∫(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是( (A).偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在 (C).全微分存在,则偏导数必连续 (D).全微分存在,而偏导数不一定存在 答B 8.二元函数二=f(x,y)在(x0,y0)处满足关系( (A).可微(指全微分存在)兮可导(指偏导数存在)→连续 (B).可微→可导→连续 (C).可微→可导或可微→连续,但可导不一定连续 ①D).可导→连续,但可导不一定可微 若 ==0,则f(x,y)在(xn,y0)是 (A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 ①D).不一定可微也不一定连续 答D 10.设函数∫(x,y)在点(x0,y)处不连续,则f(x,y)在该点处() (A).必无定义 B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在 答D 11.二元函数的几何图象一般是:( 条曲线 2
第五部分 多元函数微分学 第 2 页 共 27 页 2 6．函数 z = f (x. y) 在点 (x , y ) 0 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y ( , ), ( , ) 0 0 0 0 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答 C 7．对于二元函数 z = f (x, y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答 B 8．二元函数 z = f (x, y) 在 (x , y ) 0 0 处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在） 连续 (B).可微 可导 连续 (C).可微 可导或可微 连续，但可导不一定连续 (D).可导 连续，但可导不一定可微 答 C 9．若 f x f y x x y y x x y y = = = = = = 0 0 0 0 0 ，则 f (x, y) 在 (x , y ) 0 0 是（ ） (A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续 答 D 10．设函数 f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处不连续，则 f (x, y) 在该点处（ ） (A).必无定义 (B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。 答 D 11．二元函数的几何图象一般是：( ) (A) 一条曲线
五部分多元函数微分学第3页共27页 一个曲面 个平面区域 个空间区域 答B 12.函数z= arcsin +④1-x2-y2的定义域为( (A)空集 (B)圆域 (C)圆周 (D)一个点 答C 13.设1=f(x2+y2-2)则2=() (C)2x (D) x-十 答A
第五部分 多元函数微分学 第 3 页 共 27 页 3 (B) 一个曲面 (C) 一个平面区域 (D) 一个空间区域 答 B 12．函数 2 2 2 2 1 1 arcsin x y x y z + − − + = 的定义域为( ) (A)空集 (B)圆域 (C)圆周 (D)一个点 答 C 13．设 ( ), 2 2 2 u = f x + y − z 则 = x u ( ) (A) 2xf ' (B) f u x 2 (C) ( ) 2 2 2 2 x y z f x + − (D) ( ) 2 2 2 2 x y z u x + − 答 A
五部分多元函数微分学第4页共27页 14.lm (x,y)(0)x3+y3 A)存在且等于0。 (B)存在且等于1 (C)存在且等于-1 (D)不存在 15.指出偏导数的正确表达() (A)f(a,b)=lim f(a+h,b+k)-f(a, b) h,k→0 /h2+k (B)/' (0, )=lim /(r,O) ()f(0y)=in(0y+4Ay)-f(0,y 0)f(x0)=hmn(xy)-/(x0) 16.设∫(x,y)=h(x-、x2-y2)(其中x>y>0),则f(x+y,x-y)=( (A) 2( Vx-vy):(B)Inx-y):(C)(n x-hn y):(D) 2In(x-y) 答案A 17.函数∫(x,y)=sn(x2+y)在点(00)处() (A)无定义:(B)无极限;(C)有极限,但不连续;(D)连续 答案D 18.函数z=f(x,y)在点P(x0,y)间断,则() (A)函数在点P处一定无定义;
第五部分 多元函数微分学 第 4 页 共 27 页 4 14． 3 3 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + =( ) (A) 存在且等于 0。 (B) 存在且等于 1。 (C) 存在且等于 −1 (D) 不存在。 15．指出偏导数的正确表达( ) (A) , 0 2 2 ( , ) ( , ) '( , ) lim h k f a h b k f a b f a b h k x + + + − = → (B) x f x f x x ( ,0) '(0,) lim →0 = (C) y f y y f y f y y y + − = → (0, ) (0, ) '(0, ) lim 0 (D) x f x y f x f x x x ( , ) ( ,0) '( ,0) lim 0 − = → 答 C 16．设 ( , ) ln( ) 2 2 f x y = x − x − y （其中 x y 0 ），则 f (x + y, x − y) = （ ）. （ A ） 2ln( x − y) ；（ B ） ln( x − y) ；（ C ） (ln ln ) 2 1 x − y ；（ D ） 2ln( x − y) . 答案 A 17．函数 ( , ) sin( ) 2 f x y = x + y 在点 (0,0) 处（ ） （ A ）无定义； （ B ）无极限； （ C ）有极限，但不连续； （ D ）连续. 答案 D 18．函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 间断，则（ ） （ A ）函数在点 P0 处一定无定义；
第五部分多元函数微分学第5页共27页 (B)函数在点P处极限一定不存在 (C)函数在点P处可能有定义,也可能有极限; (D)函数在点P处有定义,也有极限,但极限值不等于该点的函数值 答案C 19.设函数=(x,y),v=v(x,y)由方程组x=+"2确定,≠",则 Ox (A) (B) l-1 (C) (D)ty 答案B 20.=√3+x2+y2+2在点M(1-12)处的梯度gdh=() (A)( (B) (C) (D)(2,-24 答案C 21.设函数z=f(x,y)在点(x,y0)处可微,且f(x0,y)=0,f,(x,y0)=0,则 函数∫(x,y)在(x0,y0)处() (A)必有极值,可能是极大,也可能是极小 (B)可能有极值,也可能无极值 (C)必有极大值 (D)必有极小值 答案B 设 则 (A)0 (B)不存在
第五部分 多元函数微分学 第 5 页 共 27 页 5 （ B ）函数在点 P0 处极限一定不存在； （ C ）函数在点 P0 处可能有定义，也可能有极限； （ D ）函数在点 P0 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 答案 C 19．设函数 u = u(x, y) ， v = v(x, y) 由方程组 = + = + 2 2 y u v x u v 确定， u v ，则 = x u （ ） （ A ） u v x − ； （ B ） u v v − − ； （ C ） u v u − − ； （ D ） u v xy − . 答案 B 20． 2 2 2 u = 3 + x + y + z 在点 (1, 1,2) M0 − 处的梯度 gradu = （ ） （ A ） ) 9 2 , 9 1 , 9 1 ( − ； （ B ） ) 9 4 , 9 2 , 9 2 ( − ； （ C ） ) 3 2 , 3 1 , 3 1 ( − ； （ D ） ) 3 4 , 3 2 , 3 2 ( − . 答案 C 21．设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微，且 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 ，则 函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处（ ） （ A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小； （ B ）可能有极值，也可能无极值； （ C ）必有极大值； （ D ）必有极小值. 答案 B 22．设 z = xy, 则 (0,0) x z =( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) −1
五部分多元函数微分学第6页共27页 23.设二=ysi(xy)+(1-y) arctan x+e-2),则 (A)3 (c)- (D)0 答B。 24.设x+z=f(x2-2),则z+y==( (C)2 xfo 25.设f(,-)=0,确定z=(x,y)则x+y=( (C)-y 答B dz 26.已知x+y-2=ex,xe=tant,y=cost,贝 dt (C)1
第五部分 多元函数微分学 第 6 页 共 27 页 6 (D) 1 答 A。 23．设 y z y xy y x e 2 sin( ) (1 )arctan − = + − + ,则 (1,0) x z =( ) (A) 2 3 (B) 2 1 (c) 4 (D) 0 答 B。 24．设 ( ), 2 2 x + z = yf x − z 则 y z y x z z + =( ) (A) x (B) y (C) z (D) ( ) 2 2 yf x − z 答 A 25．设 ( , ) = 0 x z x y f ,确定 z = z(x, y) 则 y z y x z x + =( ) (A) − z (B) z (C) − y (D) y 答 B 26．已知 x y z e , xe tan t, y cost, x x + − = = = 则 dt t=0 dz =( ) (A) 2 1 (B) 2 1 − (C) 1
第五部分多元函数微分学第7页共27页 y)由方程 0确定,则 y 2 0=ye"(e2-2)+ye (e-2) 28.设z=f(x,u)l=xy,则=( f a-f 03f,02f,02f +2 答C 29.设z=f(,),l=x2+y2,v=x2-y2,则二=( andy
第五部分 多元函数微分学 第 7 页 共 27 页 7 (D) 0 答 D 27．设 z = z(x, y) 由方程 − 2 + = 0 −xy z e z e 确定,则 2 2 x z =( ) (A) 2 2 − − − z xy e y e (B) 2 2 ( 2) ( 2) − − − − − − z xy z xy z e y e e ye e (C) 2 2 2 2 ( 2) ( 2) − − − + − − + z xy z xy z e y e e y e (D) 3 2 2 2 2 ( 2) ( 2) − − − − − − + z xy z xy z e y e e y e 答 D 28．设 z = f (x,u),u = xy ,则 2 2 x z =( ) (A) 2 2 2 2 2 y u f x f + (B) 2 2 2 2 2 2 y u f y x y f x f + + (C) 2 2 2 2 2 2 2 y u f y x y f x f + + (D) 2 2 2 2 2 u f y x y f x f + + 答 C 29．设 2 2 2 2 z = f (u,v),u = x + y ,v = x − y ,则 x y z 2 =( ) (A) + v f u f x 2 2 2 (B) + 2 2 2 2 2 v f u f x
第五部分多元函数微分学第8页共27页 (C)2 af a af a au2 an 答D 30.下列做法正确的是( ()设方程z2=x2+y2+a2,F!=2=1-2x,F=2,代入x≈、F,得=x (B)设方程=2=x2+y2+a2,F=-2x,F!=2,代入=、F 得xx= F (C)求z=x2+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面,因为曲面法向量 n=(2x,2y,-1)∥2,2,-1),∴=子=一,→x=1,y=1,z=-1 切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(二+1)=0 (D)求xyz=8平行于平面x+y+2=1的切平面,因为曲面法向量 y2 x-x n=(y,x,xy)∥11),111 →x=y=2=1 切平面方程为(x-1)+(y-1)+(二-1)=0 答B 31.设M(x,y,z)为平面x+y+z=1上的点,且该点到两定点(10,1)(2,01)的距离平方之 和 为最小,则此点的坐标为() (A(1,) (B)(1,一=,) (C(11 (D)(1,一) 答B 2.若函数z=f(x,y)在点(x,y0)可微,则在该点()
第五部分 多元函数微分学 第 8 页 共 27 页 8 (C) − 2 2 2 2 2 v f u f x (D) − 2 2 2 2 4 v f u f xy 答 D 30．下列做法正确的是( ) (A) .设方程 2 2 2 2 z = x + y + a , F 2zz 2x,F 2z, x = x − z = 代入 z x x F F z = − ,得 z x z x 2 = . (B) 设方程 2 2 2 2 z = x + y + a , F 2x,F 2z, x = − z = 代入 z x x F F z = − ,得 z x z x = . (C) 求 2 2 z = x + y 平行于平面 2x + 2y − z = 0 的切平面,因为曲面法向量 = (2 ,2 ,−1)//(2,2,−1) → n x y , , 1, 1, 1 1 1 2 2 2 2 = = = − − − = = x y z x y 切平面方程为 2(x −1) + 2( y −1) − (z +1) = 0. (D) 求 xyz = 8 平行于平面 x + y + z = 1 的切平面,因为曲面法向量 n = (yz, xz, xy)//(1,1,1) → , , 1 1 1 1 = = x = y = z = yz x z x y 切平面方程为 (x −1) + ( y −1) + (z −1) = 0 答 B 31．设 M (x, y,z) 为平面 x + y + z = 1 上的点,且该点到两定点 (1,0,1),(2,0,1) 的距离平方之 和 为最小,则此点的坐标为( ) (A) ) 2 1 , 2 1 (1, (B) ) 2 1 , 2 1 (1,− (C) ) 2 1 , 2 1 (1,− − (D) ) 2 1 , 2 1 (1, − 答 B 32．若函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微，则在该点（ ）
五部分多元函数微分学第9页共27页 定存在 与9 (B)与 定连续 (C)函数沿任一方向的方向导数都存在,反之亦真。 (D)函数不一定连续 答A章纪 3.在矩形域D:{x-x<6y-y<6内,,(x,y)=0,/(x,y)=0是f(x,y)=C(常 数)的() (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 答C 34.若函数u=(0,xy)x=0(0)y=(s均具有一阶连续偏导数,则2 (A)/22+fy2(B)f+f2q2+f3v2 (C)fo?+fy ①D)f+fq2+fv2 答 35.设函数(t),v(t)具有二阶连续导数,则函数z=(x+y)+u(x-y)满足关系 a= a a2- 0-2 a (C) 0=0 0 答D 36.二元函数=1-x2+y2的极大值点是 (A)(1,1) (B)(0,1) (C)(1,0) (D)(0,0) 答D 直线 x+2 2-y=今x+2y+1=0 之间的关系是( y++2=0 (A)重合(B)平行(C)相交 (D)异面
第五部分 多元函数微分学 第 9 页 共 27 页 9 (A) f x f 与 一定存在。 (B) y f x f 与 一定连续。 (C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。 (D) 函数不一定连续。 答 A 章纪 33．在矩形域 D : x − x0 , y − y0 内， f x (x, y) 0, f y (x, y) 0 是 f (x, y) = C （常 数）的（ ） (A)必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件 答 C 34．若函数 u = f (t, x, y), x = (s,t), y =(s,t) 均具有一阶连续偏导数，则 = t u ( ) (A) 2 2 3 2 f + f ( B) 1 2 2 3 2 f + f + f (C) 2 2 f + f (D) 2 2 f + f + f 答 B 35．设函数 (t),(t) 具有二阶连续导数，则函数 z = (x + y) +(x − y) 满足关系（ ） (A) 0 2 = x y z (B) 0 2 2 2 = + x z x y z (C) 0 2 2 2 2 = + y z x z (D) 0 2 2 2 2 = − y z x z 答 D 36．二元函数 2 2 z = 1− x + y 的极大值点是 (A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0) 答 D 37．直线 y z x = − = + 2 2 2 与 + + = + + = 2 0 2 1 0 y z x y 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 异面
第五部分多元函数微分学第10页共27页 答:B 38曲面x2+2y2+32=21的与平面x+4y+6=0平行的切平面方程是() (A)x+4y+6=1 (B)x+4y+6z=21 x+4y+6二 (D)x+4y+6z=±21 答:D 39.下列结论中错误的是() (A) lim y=0 lm I *+y xt1 y x (C)lim xy ()lmx不存在 x→0x+y 答:B 40.已知∫(x,y)二阶连续可导,z=f(x,xy),记v=xy,则下列结论中正确的是() 095=0f+y0°1 5=2f+2y0f +2 答:D 4.设函数=f(xy)=1x2+y2 ,(x,y)≠(0),又x=y=1,则下列结论中正 确的是() ()d(0)=0.(B)dl==0。(c)d-.=2 答 3 42.设f(x,y)={x2+y ,(x,y)≠(0,0) 则在原点处( 0(x,y)=(0,0) (A).偏导数不存在,也不连续 (B).偏导数存在但不连续
第五部分 多元函数微分学 第 10 页 共 27 页 10 答：B 38．曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 的与平面 x + 4y + 6z = 0 平行的切平面方程是( ) (A) 2 21 x + 4y + 6z = (B) x + 4y + 6z = 21 (C) x + 4y + 6z = −21 (D) x + 4y + 6z = 21 答：D 39．下列结论中错误的是( ) (A) lim 0 0 = + = → x y xy y kx x (B) 0 1 1 1 lim lim 0 0 0 0 = + = + → → → → y x x y xy y x y x (C) lim 1 2 0 = − + = − → x y xy y x x x 。 (D) x y xy y x + → → 0 0 lim 不存在。 答：B 40．已知 f (x, y) 二阶连续可导， z = f (x, xy) ，记 v = xy ，则下列结论中正确的是( ) (A) x v f y x f x z + = 2 2 2 2 2 。 (B) x v f y x f x z + = 2 2 2 2 2 2 (C) 2 2 2 2 2 2 2 2 v f y x v f y x f x z + + = 。 (D) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f y x v f y x f x z + + = 答：D 41．设函数 = + = = 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y z f x y ，又 x = t, y = t ，则下列结论中正 确的是( ) (A) df (0,0) = 0 。 (B) dz t=0 = 0 。 (C) 2 1 dz t=0 = 。 (D) dz dt t 2 1 =0 = 。 答：D 42．设 f x y xy x y x y x y ( , ) ,( , ) ( , ) ,( , ) ( , ) = + , = 3 0 0 0 0 0 2 2 则在原点处（ ） (A).偏导数不存在，也不连续 (B).偏导数存在但不连续