第二章极限论 第二章极限论 第二讲极限(二) 阅读:第二章23p4043, 预习:第二章2.4pp.44-50, 练习pp43-44习题23:1至8;10;12,(2),(4,(6),(8)4(9)12),(14) 作业pp43-4习题23:9;112,(1),(3),(5,(7)(10)(11(13)(15) 班级 ‖助教姓名[助教住址助教电话 口[21-自24 张靖22-412 62776299 2自25—自27,医学23陈明「11-1156277647 3环21-23;建环2 张李军20-309 62775074 4文2,新闻2,医学21-2王强26-413 62774406 1304119663手机) 2-3无穷小及其阶 23-1无穷小和无穷大的定义 无穷小的定义:当x→·时,极限为零的函数称为无穷小量 简称无穷小,记作:o() 例3.10.当x→>0时,x2,sinx,xsin-等都是无穷小 当x→>+∞时,一 (a>1)等都是无穷小 x In x a 当x→1时,hx,snx等都是无穷小 当n→>∞时,一2,tan-等都是无穷小 无穷大的直观定义:当x-·时,绝对值无限变大的函数,称为 无穷大量简称无穷大记或:limf(x)=∝ 精确定义:M>0,36>0,x∈N(a)回},f(x>M 称∫(x)为x→a时的无穷大量简称为无穷大 同样可定义正、负无穷大量简称负无穷大 例:当x→+∞时,x2,hx,a'(a>1)等都是正无穷大 当x→0时,-,cotx是正无穷大,hx是负无穷大等 2-3-2无穷小的性质 (1)设x→·时,f(x)和g(x)都是无穷小,则 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 第二章 极限论 第二讲 极限 (二) 阅读： 第二章 2.3 pp.40—43, 预习: 第二章 2.4 pp.44—50, 练习 pp43--44 习题 2.3: 1 至 8; 10; 12, (2), (4), (6),(8),(9),(12),(14). 作业 pp43--44 习题 2.3: 9; 11; 12, (1), (3), (5),(7),(10),(11),(13),(15). 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自 21—自 24 张 靖 22--412 62776299 2 自 25—自 27, 医学 23 陈 明 11--115 62776447 3 环 21—23; 建环 2 张李军 20--309 62775074 4 文 2, 新闻 2, 医学 21--22 王 强 26--413 62774406 13041196633(手机) 2-3 无穷小及其阶 2-3-1 无穷小和无穷大的定义 无穷小的定义: 当 x →• 时，极限为零的函数称为无穷小量, 简称无穷小, 记作： o(1). 例 3.10: 当 x →0 时, x x x x 1 ,sin , sin 2 等都是无穷小 .当 x → + 时, ( 1) 1 , ln 1 , 1 a x x a x 等都是无穷小. 当 x →1 时, ln x,sin x 等都是无穷小. 当 n → 时, n n 1 ,tan 1 2 等都是无穷小. 无穷大的直观定义 : 当 x →• 时, 绝对值无限变大的函数, 称为 无穷大量, 简称无穷大.记或： = →• lim f (x) x . 精确定义：M 0, 0 ,x N (a) \ a, f (x) M . 称 f (x) 为 x →a 时的无穷大量, 简称为无穷大 同样可定义正、负无穷大量,简称负无穷大。 例: 当 x → + 时, ,ln , ( 1) 2 x x a a x 等都是正无穷大; 当 → + x 0 时, x x ,cot 1 是正无穷大, ln x 是负无穷大等. 2-3-2 无穷小的性质: (1)设 x →• 时, f (x) 和 g(x) 都是无穷小,则
第二章极限论 f(x)+g(x),f(x)g(x),cf(x)(c为常数) 是x→·时的无穷小.记成 o()+o()=o0)o()o()=o0)c·o()=o (2)设x→>·时,f(x)和g(x)都是无穷大,则在x→>·时 f(x)·g(x)也是无穷大,如果c≠0,则cf(x)也是无穷大 (3没设x→时,fx)是无穷大则x→时一是无穷小 f(x) o() f(x) (4)设x→·时,f(x)是无穷小,g(x)是有界变量,则x→·时, f(x)g(x)是无穷小 即,{(x)≤M→g(x)0)=o) 例:当x→>0时,x,snx1-cosx都是无穷小量 但是当x→0时有 sin x 1-cosx 例当x→+∞时,√x2+1 都是 无穷大量, 但是两者之差√x2+1-yx2-1= x 2-3-3无穷小比较、无穷小的阶 定义假设在x→>·中∫(x)和g(x)都是无穷小量 (1)如果lnf(x) 8(x)C≠0,则称在x→>·中 f(x)和g(x)是同阶无穷小量,记作f(x)=O(g(x) (2)如果mx=1,则称在x→中 f(x)和g(x)是等价无穷小量记作∫(x)~g(x) 3)如果m(x) =0,则称在x→>·中 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 f (x) + g(x) , f (x)g(x) , cf (x) (c 为常数), 是 x →• 时的无穷小. 记成： o(1)+ o(1) = o(1); o(1)o(1) = o(1); c o(1) = o(1) (2)设 x →• 时, f (x) 和 g(x) 都是无穷大, 则在 x →• 时 f (x) g(x) 也是无穷大; 如果 c 0 ,则 cf (x) 也是无穷大. (3)设 x →• 时, f (x) 是无穷大,则 x →• 时 ( ) 1 f x 是无穷小. ( ) 1 f x = o(1) (4)设 x →• 时, f (x) 是无穷小, g(x) 是有界变量, 则 x →• 时, f (x)g(x) 是无穷小. 即， g(x) M g(x)o(1) = o(1) 例: 当 x →0 时, x,sin x,1− cos x 都是无穷小量, 但是当 x →0 时有 → − → x x x x 1 cos 1 , sin 例 当 x → + 时, 1 , 1 2 2 x + x − , x + x x − x 2 2 , 都是 无穷大量, 但是两者之差 0 1 1 2 1 1 2 2 2 2 → + + − + − − = x x x x 1 2 2 2 2 2 → + + − + − − = x x x x x x x x x . 2-3-3 无穷小比较、无穷小的阶 定义:假设在 x →• 中 f (x) 和 g(x) 都是无穷小量. (1) 如果 0 ( ) ( ) lim = c g x f x ,则称在 x →• 中 f (x) 和 g(x) 是同阶无穷小量, 记作 f (x) = O(g(x)). (2) 如果 1 ( ) ( ) lim = g x f x ,则称在 x →• 中 f (x) 和 g(x) 是等价无穷小量. 记作 f (x) g(x) (3) 如果 0 ( ) ( ) lim = g x f x ,则称在 x →• 中
第二章极限论 f(x)是g(x)的高阶无穷小量,记作f(x)=o(g(x) 例1:当x→0时,x,snx,tanx都是无穷小,因为 lmx=1.以及lm rlm Sinx 1 所以,当x→0时,x~snx-tanx 例2:当x→>0时 In(\s/lm In(1+x) =he=l lim (令u 1)=lim 所以,当x→>0时,x~h(1+x)~e2-1 例3设a为实数容易验证, ahn(+x)x 所以,当x→>0时,(1+x)2-1~ax 定理:无穷小替换法则:若f(x)~a(x),g(x)~B(x), 若im2存在,则im f(x) =lim x→·f(x) x→·g(x)x→·B(x) 定理:在时在x→>·中,若f(x)和g(x)是无穷小量,则 f(x)-g(x)o f(x)-g(x)=og(x)) f∫(x)~g(x)分f(x)=g(x)+o(g(x)。 定义:若在x→0时,f(x)~x,f(x)=x4+o(x2),则称 f(x)是x→0时的k阶无穷小量。 (1)Snx-x分Six=x+o(x) (2)tanx-x tan x=x+o(x) (3)arcsin x-x arcs x=x+o(x) (4)e2-1~x分e2=1+x+o(x) (5)ln(1+x)~xh(1+x)=x+o(x) (6)(+x)y-1~x(+x)y=1+ax+o(x) (7)1-cosx Cosx=1- 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论f (x) 是 g(x) 的高阶无穷小量, 记作 f (x) = o(g(x)) . 例１: 当 x →0 时, x,sin x,tan x 都是无穷小, 因为 1 sin lim 0 = → x x x ,以及 1 cos sin 1 lim tan lim 0 0 = = → → x x x x x x x , 所以, 当 x →0 时, x sin x tan x . 例 2: 当 x →0 时, lim ln(1 ) ln 1 ln(1 ) lim 1 0 0 = + = = + → → x e x x x x x 1 ln(1 ) ( 1) lim 1 lim 0 0 = + = = − = − → → u u u e x e u x x x 令 所以, 当 x →0 时, x ln(1+ x) −1 x e . 例 3 设 为实数,容易验证, ( ) x e x x x x x 1 lim (1 ) 1 lim ln 1 0 0 − = + − + → → = ( ) ( ) ( ) x x x e x x + + − + → ln 1 ln 1 1 lim ln 1 0 = 所以, 当 x →0 时, x x (1+ ) −1 ~ ;. 定理：无穷小替换法则：若 f (x) ~(x) , g(x) ~ (x) , 若 ( ) ( ) lim x x x →• 存在, 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim x x g x f x x x →• →• = 定理：在时在 x →• 中, 若 f (x) 和 g(x) 是无穷小量，则 f (x) ~ g(x) f (x) − g(x) = o(g(x)) f (x) ~ g(x) f (x) = g(x) + o(g(x)) 。 定义: 若在 x →0 时， k f (x) ~ x , ( ) ( ) k k f x = x + o x , 则称 f (x) 是 x →0 时的 k 阶无穷小量.。 (1) sin x x Sin x = x + o(x) ; (2) tan x ~ x tan x = x + o(x) (3) arcsin x ~ x arcsin x = x + o(x) (4) e 1 ~ x e 1 x o(x) x x − = + + (5) ln(1+ x) ~ x ln(1+ x) = x + o(x) (6) (1+ x) −1 ~ x (1+ x) = 1+ x + o(x) (7) 1−cos x 2 2 x ( ) 2 1 2 2 o x x Cos x = − +
第二章极限论 以上Sinx,tanx,l(1+x),e2-1 1+ 都是一阶无穷小 2(1-Cax)而是二阶无穷小 例十一求极限 lim tan x-snx x(e2-1) 解: x-0 x(e-12=lm Sin x(1-cos x) tan x-sin x →0x(e2-1)2cosx =lm =-lm x→0x.x2cosx2x→0cosx2 例十二:求极限lm x→0 tan xsin x In2(1+x) 解:lmn lim 1-0 tan xsin xhn(1+x)x0 tan xsin xIn(1+x) x·x·x 236 因有x→0时,(v hn2(1+x) x sin x- tan x 1) 以上做法对不对? √+x4-1+2x 例十三:求极限 lim tan x-snx= 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 以上 ( ) x Sinx x x e x + + − 1 , tan ,ln(1 ), 1, 都是一阶无穷小， 2(1−Cosx) 而是二阶无穷小. 例十一: 求极限 2 0 ( 1) tan sin lim − − → x x x e x x 解: 2 0 ( 1) tan sin lim − − → x x x e x x x e x x x x x ( 1) cos sin (1 cos ) lim 2 0 − − = → 2 1 cos 1 lim 2 1 cos 2 1 lim 0 2 2 0 = = = → x x x → x x x x x 例十二: 求极限 tan sin ln (1 ) 1 1 2 lim 2 4 3 4 0 x x x x x x + + − − → 解: tan sin ln (1 ) 1 1 2 lim 2 4 3 4 0 x x x x x x + + − − → = ( ) ( ) tan sin ln (1 ) 1 1 1 1 2 lim 2 4 3 4 0 x x x x x x + + − + − − → = 2 4 4 0 3 2 2 lim x x x x x x + → = 6 5 3 2 2 1 + = 因有 x →0 时, ( 1 1) 4 + x − 2 4 x , ln (1 ) 2 + x 2 x x sin x tan x , ( 1 2 1) 3 4 − x − 3 2 4 x − . 以上做法对不对？ 4 4 4 4 0 1 1 2 lim x x x x + − + → = 4 4 4 4 0 1 1 1 1 2 lim x x x x + − + − + → = 4 4 4 0 4 2 2 lim x x x x − → = 0 (?) 例十三: 求极限 3 0 tan sin lim x x x x − → =?
第二章极限论 tan x-sin x tan x-sn x=lim (1-cos x) x→0 tan x-sin (x+o(x))-(x+o(x))o(x) (x+o(x)+o(x2) lim sin x(1-cosx =lim =m(2 +x(x)+o(x)x+(x) +o(x3)+o(x3)+o(x2) =lim 关于无穷小的运算: (1)当p≥k,则o(x4)+o(x)=o(x2) (2)当A为非零常数时,o(Ax)=0(x2) (3)o(x2)o(x)=o(x4+) (4)当P>k,则o(x”)/x4=o(x-) 第二章极限论
第二章 极限论 第二章 极限论 解： 3 0 tan sin lim x x x x − → = 3 0 lim x x x x − → =0 3 0 tan sin lim x x x x − → = ( ) 3 0 sin 1 cos lim x x x x − → = 3 2 0 2 lim x x x x→ = 2 1 3 0 tan sin lim x x x x − → = ( ) ( ) 3 0 ( ) ( ) lim x x o x x o x x + − + → = 3 0 ( ) lim x o x x→ = → 2 0 ( ) 1 lim x x o x x ( ) 3 0 sin 1 cos lim x x x x − → = ( ) 3 2 2 0 ( ) 2 ( ) lim x o x x x o x x + + → = ( ) 3 2 2 2 2 3 0 ( ) 2 ( ) ( ) 2 lim x o x x x o x o x x x + + + → = 3 3 3 4 3 0 ( ) ( ) ( ) 2 lim x o x o x o x x x + + + → = 2 2 1 lim 3 3 0 = → x x x 关于无穷小的运算: (1) 当 p k , 则 ( ) ( ) ( ) k p k o x + o x = o x (2) 当 A 为非零常数时， ( ) ( ) k k o A x = o x (3) ( ) ( ) ( ) k p k p o x o x o x + = (4) 当 p k , 则 ( ) ( ) p k p k o x x o x − =
