第八部分常微分方程第1页共16页 第八部分常微分方程 [填空题] 1.微分方程y+ ytan x-cosx=0的通解为y=(x+C)cosx 2.过点(,0)且满足关系式 y arcsin x+ =1的曲线方程为 yarcsn x=x- 3.微分方程xy"+3y2=0的通解为y=C1+。 4.设y1(x)y2(x)y3(x)是线性微分方程y”+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个特解,且 y2(x)-y)≠C,则该微分方程的通解为 y3(x)-y1(x) y=C1(y2(x)-y1(x)+C2(3(x)-y1(x)+y(x)。 5.设y1=3+x2,y2=3+x2+e-是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次 方程的一个解为y3=x,则该微分方程的通解为y=3+x2+C1x+C2e- 6.设出微分方程y”-2y-3y=x+xe-x+ecos2x的一个特解形式 y=Ax+B+x(Cx+ D)e +e (ecos 2x+ Fsin 2x) 7.微分方程y-2y+2y=e的通解为y=e(1+C1cosx+C2Snx) 8.微分方程y”-4y=e2的通解为y=C1e-2x+C2+xe2x。 9.函数y=C1cos2x+C2Sn2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y”+4y=0 10若连续函数f(x)满足关系式f(x)=(2+m2,则(x)=cm2 [选择题] 1.设曲线积分U(x)-e]smyt-f(x)osyh与路径无关,其中f(x)具有一阶连续 导数,且f(0)=0,则∫(x)等于[
第八部分 常微分方程 第 1 页 共 16 页 1 第八部分 常微分方程 [填空题] 1．微分方程 y + y tan x − cos x = 0 的通解为 y = (x + C) cos x 。 2．过点 ,0) 2 1 ( 且满足关系式 1 1 arcsin 2 = − + x y y x 的曲线方程为 2 1 y arcsin x = x − 。 3．微分方程 xy + 3y = 0 的通解为 2 2 1 x C y = C + 。 4．设 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 y x y x y x 是线性微分方程 y + a(x) y + b(x) y = f (x) 的三个特解，且 C y x y x y x y x − − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 ，则该微分方程的通解为 ( ( ) ( )) (( ( ) ( )) ( ) 1 2 1 2 3 1 1 y = C y x − y x +C y x − y x + y x 。 5．设 x y x y x e − = + = + + 2 2 2 1 3 , 3 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次 方程的一个解为 y = x 3 ，则该微分方程的通解为 x y x C x C e − = + + 1 + 2 2 3 。 6．设出微分方程 y y y x xe e x x x − 2 − 3 = + + cos2 − 的一个特解形式 ( ) ( cos2 sin 2 ) * y Ax B x Cx D e e E x F x x x = + + + + + − 。 7．微分方程 x y − 2y + 2y = e 的通解为 (1 cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + + 。 8．微分方程 x y y e 2 − 4 = 的通解为 x x y C e C x e 2 2 2 1 4 1 = + + − 。 9．函数 y C cos2x C sin 2x = 1 + 2 满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 y + 4y = 0 。 10．若连续函数 f (x) 满足关系式 ) ln 2 2 ( ) ( 2 0 = + x dt t f x f ，则 f (x) = ln 2 2 x e 。 [选择题] 11．设曲线积分 − − L x [ f (x) e ]sin ydx f (x)cos ydy 与路径无关，其中 f (x) 具有一阶连续 导数，且 f (0) = 0 ，则 f (x) 等于[ ]
第八部分常微分方程第2页共16页 (c)-(e +e)-1 D)1--(ex+e-x) 答 注:根据题意,-f(x)cosy=[f(x)-ex]cosy,解得f(x)=ex+Cex。由 f(0)=0,得C 所以f(x)=(ex-e-x),即选项(B)正确 12.若函数y=cos2x是微分方程y+p(x)y=0的一个特解,则该方程满足初始条件 y(0)=2的特解为[] y=cos2x+2。 B)y=cos2x+1。 (C)y=2cosx y=2cos 2x 答D 注:根据解的结构,通解为y=Ccos2x,由y(0)=2得C=2。故选项①D)正确 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13.设函数y(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,则该方程的通解为 (A)y=Cy+C2y2 (B)y=y+Cy2 (C)y=y1+C(y1+y2) (D)y=C(,-y) 注:因为y1(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,所以y2-y是该 方程的一个非零特解。根据解的结构,其通解为y=C(y2-η),即选项ωD)正确。另:根 据通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对。当y2≡0时,选项(B)不对。当y2=-y 时,选项(C)不对。 14.已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=2x+(Ax)y(0)=z,则y()等于 (A)2丌。(B) (C)e4。(D)x 2
第八部分 常微分方程 第 2 页 共 16 页 2 (A) ( ) 2 1 x x e − e − 。 (B) ( ) 2 1 x x e e − − 。 (C) ( ) 1 2 1 + − x −x e e 。 (D) ( ) 2 1 1 x x e e − − + 。 答 B 注：根据题意， f x y f x e y x − ( )cos = [ ( ) − ]cos ，解得 x x f x e Ce− = + 2 1 ( ) 。由 f (0) = 0 ，得 2 1 C = − ，所以 ( ) 2 1 ( ) x x f x e e − = − ，即选项(B)正确。 12．若函数 y = cos 2x 是微分方程 y + p(x) y = 0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0) = 2 的特解为[ ] (A) y = cos 2x + 2 。 (B) y = cos 2x +1。 (C) y = 2cos x。 (D) y = 2cos 2x 。 答 D 注：根据解的结构，通解为 y = C cos 2x ，由 y(0) = 2 得 C = 2 。故选项(D)正确。 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13．设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y + p(x) y = 0 的两个不同特解，则该方程的通解为 [ ] (A) 1 1 2 2 y = C y +C y 。 (B) 1 Cy2 y = y + 。 (C) ( ) 1 1 2 y = y +C y + y 。 (D) ( ) 2 1 y = C y − y 。 答 D 注：因为 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y + p(x) y = 0 的两个不同特解，所以 2 1 y − y 是该 方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为 ( ) 2 1 y = C y − y ，即选项(D)正确。另：根 据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当 y2 0 时，选项(B)不对。当 2 1 y = −y 时，选项(C)不对。 14．已知函数 y = y(x) 在任意点 x 处的增量 + = + = ( ), (0) 1 2 o x y x y x y ，则 y(1) 等于 [ ] (A) 2 。 (B) 。 (C) 4 e 。 (D) 4 e
第八部分常微分方程第3页共16页 答D 注:根据微分定义及微分与导数的关系得y=-,解得hy= arctan x+C,由 1+x y(0)=z,得C=hz,所以y(1)=mml=me4。因此选项(D)正确。 15.设函数y=f(x)是微分方程y-2y+4y=0的一个解。若f(x0)>0,f(x0)=0 则函数f(x)在点x0[] (A)取到极大值 (B)取到极小值 (C)某个邻域内单调增加。 (D)某个邻域内单调减少。 答A 注:因为∫(x0)=0,f"(x0)=-4f(x0)<0,所以选项(A)正确。 16.设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程y”+m+q=0的两个特解,C1,C2是两个任 意常数,则下列命题中正确的是[] (A)C1y1+C2y2一定是微分方程的通解 (B)C1y+C2y2不可能是微分方程的通解。 (C)C1y1+C2y2是微分方程的解 D)Ciy1+C2y2不是微分方程的解。 答C 注:根据叠加原理,选项(C)正确,选项(D)错误。当η,y2线性相关时,选项(A) 错误,当y,y2线性无关时,选项(B)错误。 17.微分方程y-y=ex+1的一个特解应具有形式[] qe-t b (B)axe2+b。 (D)axe+ bx 答B
第八部分 常微分方程 第 3 页 共 16 页 3 答 D 注：根据微分定义及微分与导数的关系得 2 1 x y y + = ，解得 ln y = arctan x + C ，由 y(0) = ，得 C = ln ，所以 arctan1 4 (1) y = e = e 。因此选项(D)正确。 15．设函数 y = f (x) 是微分方程 y − 2y + 4y = 0 的一个解。若 f (x0 ) 0, f (x0 ) = 0 ， 则函数 f (x) 在点 0 x [ ] (A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。 答 A 注：因为 f (x0 ) = 0， f (x0 ) = −4 f (x0 ) 0 ，所以选项(A)正确。 16. 设 1 2 y , y 是二阶常系数线性齐次方程 y + py + qy = 0 的两个特解， 1 2 C ,C 是两个任 意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A） 1 1 2 2 C y +C y 一定是微分方程的通解。 （B） 1 1 2 2 C y +C y 不可能是微分方程的通解。 （C） 1 1 2 2 C y +C y 是微分方程的解。 （D） 1 1 2 2 C y +C y 不是微分方程的解。 答 C 注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当 1 2 y , y 线性相关时，选项（A） 错误, 当 1 2 y , y 线性无关时，选项（B）错误。 17. 微分方程 − = +1 x y y e 的一个特解应具有形式[ ] (A) ae b x + 。 (B) axe b x + 。 (C) ae bx x + 。 (D) axe bx x + 。 答 B
第八部分常微分方程第4页共16页 注:相应齐次方程的特征根为1,-1,所以y”-y=e的一个特解形式为axe2 y"-y=1的一个特解形式为b。根据叠加原理,原方程的一个特解形式为axe2+b,即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程 18.具有特解y=ex,y2=2xex,y3=3e的三阶线性常系数齐次微分方程是 (A)y"-y”-y+y=0 (B)y"+y”-y-y=0 6y”+11y-6y=0 2y=0 答B 注:根据题意,1,-1是特征方程的两个根,且-1是重根,所以特征方程为 (-1)(4+1)2=A3+x2-2-1=0。故所求微分方程为y”+y"-y2-y=0,即选项() 正确。 19.设y1=ex,y2=x是三阶线性常系数齐次微分方程y"+ay”+by'+cy=0的两个特 解,则a,b,c的值为[] B)a=1,b=1,c=0 (C)a=-1,b=0,c=0 (D)a=1,b=0,c=0。 答C 注:根据题意,1,0是特征方程的两个根,且0是重根,所以特征方程为 (2-1)2=23-2=0。故原微分方程应为y"-y”=0,所以a=-1,b=0,c=0即选 项(C)正确 20.设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上 有界,则实数b的取值范围是[] (A)b≥0。(B)b≤0。(C)b≤4。①D)b≥4 答A 注:因为当b≠+2时,y(x)=C1e C ,所以,当b2
第八部分 常微分方程 第 4 页 共 16 页 4 注：相应齐次方程的特征根为 1, −1 ，所以 x y − y = e 的一个特解形式为 x axe ， y − y = 1 的一个特解形式为 b 。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为 axe b x + ，即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。 18. 具有特解 x x x y e , y 2xe , y 3e 1 = 2 = 3 = − − 的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ] (A) y − y − y + y = 0。 (B) y + y − y − y = 0。 (C) y − 6y +11y − 6y = 0。 (D) y − 2y − y + 2y = 0 。 答 B 注： 根据题意， 1, −1 是特征方程的两个根，且 −1 是重根，所以特征 方程为 ( 1)( 1) 1 0 2 3 2 − + = + − − = 。故所求微分方程为 y + y − y − y = 0 ，即选项(B) 正确。 19. 设 y e y x x 1 = , 2 = 是三阶线性常系数齐次微分方程 y + ay + by + cy = 0 的两个特 解，则 a,b, c 的值为[ ] (A) a = 1,b = −1,c = 0。 (B) a = 1,b = 1,c = 0 。 (C) a = −1,b = 0,c = 0。 (D) a = 1,b = 0,c = 0 。 答 C 注 ： 根 据 题意 ， 1, 0 是 特 征 方 程的 两 个根 ， 且 0 是 重 根 ，所 以 特征 方 程 为 ( 1) 0 2 3 2 − = − = 。故原微分方程应为 y − y = 0 ，所以 a = −1,b = 0,c = 0 即选 项(C)正确。 20. 设二阶线性常系数齐次微分方程 y + by + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上 有界，则实数 b 的取值范围是[ ] (A) b 0。 (B) b 0。 (C) b 4。 (D) b 4。 答 A 注：因为当 b 2 时， x b b x b b y x C e C e 2 4 2 2 4 1 2 2 ( ) − − − + − − = + ，所以，当 4 0 2 b −
第八部分常微分方程第5页共16页 时,要想使卫()在区间(0+∞)上有界,只需要b+√b2-4≥0.b-Vb2-4≥0,即 b>2。当b2-42) 22.求微分方程+-y= 的通解 解:这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程 dy I y 得其通解为 令y=Cx),代入原方程,得 xc(x)-C(x), c(x) sin x 解得 C(x)=-cos x+C 所以原方程的通解为
第八部分 常微分方程 第 5 页 共 16 页 5 时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 0, 4 0 2 2 b + b − b − b − ，即 b 2 。当 4 0 2 b − 时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 2 b + b − 与 4 2 b − b − 的实部大于等于零，即 0 b 2 。当 b = 2 时， x x y x C e C xe − − = 1 + 2 ( ) 在区 间 (0,+) 上有界。当 b = −2 时， x x y x C e C xe 1 2 ( ) = + ( 0) 2 2 2 C1 +C 在区间 (0,+) 上无 界。综上所述，当且仅当 b 0 时，方程 y + by + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上有界，即选项(A)正确。 [解答题] 21．求微分方程 1 1 0 2 2 x + y + yy + x = 的通解。 解：方程两端同乘以 dx 1 y 1 x 2 2 + + ，得 xdx x ydy 1 1 y 0 2 2 + + + = ， 此方程是一个变量分离方程，其通解为 1 1 ( 2) 2 2 + y + + x = C C 。 22．求微分方程 dy dx x y x x + = 1 sin 的通解。 解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程 dy dx x + y = 1 0， 得其通解为 x C ln y = ln ，即 x C y = 。 令 x C x y ( ) = ，代入原方程，得 x x x C x x xC (x) C(x) ( ) sin 2 2 + = − ， 解得 C(x) = −cos x + C 。 所以原方程的通解为
第八部分常微分方程第6页共16页 cosx+ 注:本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得 Sinx rdx (cos x+c) 23.求解微分方程xd-hx=yedh 解:将y看成自变量,x看成是的y函数,则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性 微分方程 此方程通解为 x=e 其中C是任意常数 24.求微分方程x2y+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解 解:将原方程变形,得 y-y 这是一个齐次型方程。令y=x,代入上式,得 分离变量,得 积分,得 =Cx2 2 因为y(1)=1,所以C=-1。于是所求特解为
第八部分 常微分方程 第 6 页 共 16 页 6 ( cos ) 1 x C x y = − + 。 注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 y x x e dx c e x x x c dx x dx = + = − + − ( sin ) ( cos ) 1 1 1 。 23．求解微分方程 xdy ydx y e dy y − = 2 。 解：将 y 看成自变量， x 看成是的 y 函数，则原方程是关于未知函数 x = x( y) 的一阶线性 微分方程 y ye y x dy dx − = − ， 此方程通解为 y dy y y dy y x e C ye e dy = Cy − ye − = − 1 1 ， 其中 C 是任意常数。` 24．求微分方程 2 2 x y + xy = y 满足初始条件 y(1) = 1 的特解。 解：将原方程变形，得 x y x y y − = 2 ， 这是一个齐次型方程。令 y = xu ，代入上式，得 xu u 2u 2 = − ， 分离变量，得 x dx u u du = − 2 2 ， 积分，得 2 2 Cx u u = − ， 即 2 2 Cx y y x = − 。 因为 y(1) = 1 ，所以 C = −1 。于是所求特解为
第八部分常微分方程第7页共16页 2 25.设y=e施微分方程xy+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件y(h2)=0的 特解 解:将y=e代入原方程,得 P(x) 所以原方程为 (xe-x)y 解其对应的齐次方程,得 所以原方程的通解为 +Cot+e-r 由y(h2)=0,得C=-e2。故所求特解为 rte y=e -e 26.求微分方程 x2+1Vy=x的通解。 解:将原方程化为 这是一个伯努利方程。令z=√y,则原方程化为 dz 2 x 这是一个一阶线性微分方程,解得 l)(C+h(x2+1) 所以原微分方程的通解为
第八部分 常微分方程 第 7 页 共 16 页 7 2 1 2 x x y + = 。 25．设 x y = e 施微分方程 xy + p(x) y = x 的一个解，求此微分方程满足条件 y(ln 2) = 0 的 特解。 解：将 x y = e 代入原方程，得 xe p x e x x x + ( ) = ， 解出 p x xe x x = − − ( ) 。 所以原方程为 xy xe x y x x + − = − ( ) ， 解其对应的齐次方程，得 x x e y Ce − + = 。 所以原方程的通解为 x x x e y e Ce − + = + 。 由 y(ln 2) = 0 ，得 2 1 − C = −e 。故所求特解为 2 1 + − − = − x x e x y e e 。 26．求微分方程 y x x x y y = + − 1 1 4 2 的通解。 解：将原方程化为 y x y x x y = + − 1 4 2 ， 这是一个伯努利方程。令 z = y ，则原方程化为 1 2 2 2 x z x x dx dz = + − 。 这是一个一阶线性微分方程，解得 ( 1)( ln( 1)) 4 1 2 2 z = x + C + x + ， 所以原微分方程的通解为
第八部分常微分方程第8页共16页 (x2+1)C+ x x 27.求微分方程(1+e")dx+e”(1--)dhy=0的通解 解:将y看成自变量,则x=x(y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程,令n(y)=x, 原微分方程化为 e +u 这是一个变量可分离的方程,解得 所以原方程的通解为 C 另解:令P(x,y)=1+e",Q(x,y)=e”(1-3),则OP(xy) dO(,y) 所以,在y>0时,原方程为全微分方程。令 (xy)=C+e)+(-, 由于此曲线积分与路径无关,所以v(x,y)就是全微分式(+e)b+e'(1-x)by的一个原 函数,且 u(x)y)=[(+e)+e(-3 (0,1) y =e(1-)y+(+e”)dr =y-1+x+y(e-1) 所以原方程的通解为 v+x=C
第八部分 常微分方程 第 8 页 共 16 页 8 = = 2 y z ( ) 2 2 2 ( 1)( ln( 1)) 16 1 z = x + C + x + 。 27．求微分方程 (1+ ) + (1− )dy = 0 y x e dx e y x y x 的通解。 解：将 y 看成自变量，则 x = x( y) 是 y 的函数。由于原方程是齐次型方程，令 y x u( y) = ， 原微分方程化为 +1 + = − u u e e u yu ， 这是一个变量可分离的方程，解得 y e u C u ( + ) = 。 所以原方程的通解为 ye x C y x + = 。 另解：令 P(x, y) = 1+ e , Q(x, y) = y x (1 ) y x e y x − ，则 x Q x y e y x y P x y y x = − = ( , ) ( , ) 2 ， 所以，在 y 0 时，原方程为全微分方程。令 = + + − ( , ) (0,1) ( , ) (1 ) (1 ) x y y x y x dy y x u x y e dx e ， 由于此曲线积分与路径无关，所以 u(x, y) 就是全微分式 dy y x e dx e y x y x (1+ ) + (1− ) 的一个原 函数，且 1。 1 ( 1) ) (1 ) 0 (1 ( , ) (1 ) (1 ) 1 0 0 ( , ) (0,1) = + − = − + + − = − + + = + + − ye x y x y e dy e dx y e dy y x u x y e dx e y x y x x y x y y x y y x y x 所以原方程的通解为 ye x C y x + =
第八部分常微分方程第9页共16页 8.设为实数,求微分方程y”+py=0的通解 解:此方程的特征方程为x2+=0,所以 (1)当山>0时,特征方程有一对复根=±μ,方程有两个线性无关解 cox,sn√x。因此微分方程的通解为 y=C1cos√/x+C2snux(C1,C2∈R) (2)当μ=0时,特征方程有一个二重根λ=0。方程有两个线性无关解1.x,于是微 分方程的通解为 y=C1+C2x° (3)当<0时,特征方程有两个单重实根A=±√-。方程有两个线性无关解 所以微分方程的通解为 C2e C2∈R) 29.求微分方程y”+y'=2x2+1的通解 解将方程写作y”+y2=(2x2+1e。因为=0是特征方程2+=0的单根,所以原 方程一个特解形式为 y(x)=ax+bx+cx, 将此解代入原方程,得 3ax2+(2b+6a)x+(c+2b)=2x2+1, 比较两端同次项的系数,有 3a=2,2b+6a=0,c+2b=1 解上述方程组,得 b=-2.c=5 从而得到原方程的一个特解 2x2+5 又因为相应齐次方程y"+y=0的通解为
第八部分 常微分方程 第 9 页 共 16 页 9 28．设 为实数，求微分方程 y + y = 0 的通解。 解：此方程的特征方程为 0 2 + = ，所以， （1）当 0 时，特征方程有一对复根 = i ，方程有两个线性无关解 cos x,sin x 。因此微分方程的通解为 cos sin ( , ) y = C1 x +C2 x C1 C2 R 。 （2）当 = 0 时，特征方程有一个二重根 = 0 。方程有两个线性无关解 1, x ,于是微 分方程的通解为 y C C x = 1 + 2 。 （3）当 0 时，特征方程有两个单重实根 = − 。方程有两个线性无关解 e e −x − −x , ，所以微分方程的通解为 ( , ) y C1 e C2 e C1 C2 R x x = + − − − 。 29．求微分方程 2 1 2 y + y = x + 的通解。 解 将方程写作 x y y x e 2 0 + = (2 +1) 。因为 = 0 是特征方程 0 2 + = 的单根，所以原 方程一个特解形式为 y x = ax + bx + cx * 3 2 ( ) ， 将此解代入原方程，得 3 (2 6 ) ( 2 ) 2 1 2 2 ax + b + a x + c + b = x + ， 比较两端同次项的系数，有 3a = 2,2b + 6a = 0,c + 2b =1。 解上述方程组，得 , 2, 5 3 2 a = b = − c = 。 从而得到原方程的一个特解 y x x 2x 5x 3 2 ( ) * 3 2 = − + 。 又因为相应齐次方程 y + y = 0 的通解为
第八部分常微分方程第10页共16页 CI+Ce 所以原方程的通解为 +Ce x3-2x2+5 另解:方程y"+y'=2x2+1两端积分,得 +x+c 这是一个一阶线性微分方程,其通解为 +x+C1 =C1+Ce+x3-2x2+5x-5 C1+C2e+=x3-2x2+5x。 30.求解微分方程y-2y+y=4xe 解:因为A=1是特征方程2-2A+1=0的重根,所以原方程的一个待定特解为 =x(ax+b)e 将此解代入原方程,得 (6ax+2b)e=4 比较两端系数,得a=-,b=0。于是得到原方程的一个特解 x e 又因为相应齐次方程的通解是 y=(C1+C2x)e2。 因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)e 31.求微分方程y”+y=x+cosx的通解。 解:原方程所对应齐次方程的通解为 C cosx+C
第八部分 常微分方程 第 10 页 共 16 页 10 x y C C e − = 1 + 2 。 所以原方程的通解为 x y C C e − = 1 + 2 x 2x 5x 3 2 3 2 + − + 。 另解：方程 2 1 2 y + y = x + 两端积分，得 1 3 3 2 y + y = x + x + C ， 这是一个一阶线性微分方程，其通解为 C C e x x x。 C C e x x x y e C x x C e dx x x x x 2 5 3 2 2 5 5 3 2 ) ) 3 2 ( ( 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 = + + − + = + + − + − = + + + − − − 30．求解微分方程 x y − 2y + y = 4xe 。 解：因为 =1 是特征方程 2 1 0 2 − + = 的重根，所以原方程的一个待定特解为 x y x (ax b)e * 2 = + ， 将此解代入原方程，得 x x (6ax + 2b)e = 4xe 。 比较两端系数，得 , 0 3 2 a = b = 。于是得到原方程的一个特解 x y x e * 3 3 2 = 。 又因为相应齐次方程的通解是 x y (C C x)e = 1 + 2 。 因此原方程的通解为 x y (C C x)e = 1 + 2 x x e 3 3 2 + 。 31．求微分方程 y + y = x + cos x 的通解。 解：原方程所对应齐次方程的通解为 y C cos x C sin x = 1 + 2