清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 第一次习题讨论课

第二章极限论 第一次习题讨论课 )内容:数列与函数的极限的计算 通过极限运算、变量置换、夹逼法则,将未知极限化成己知的极限。 如:连续函数的极限,mP(),m(+x)=e,mSmx=1,mnx=0.(a>1, x→+a n 0,(q>0,p>0),lmx(hx)y=0,(q>0,p>0)) 利用等价无穷小求极限 (1)sin x-x Sin x=x +o(x);(2)tan x-x tanx=x+o(x) (3)1-cOS x- Cosx=1-=+() +o(x);(5)m(1+x)~x分h1+x)=x+o(x) (6)(1+x)-1~x台(1+x)2=1+ax+o(x) (7)arcsin x -x arcsin x=x+o(x) (二)讨论题: 批求极限的基本是 几个提高的讨论题 (1)若f(x)和g(x)都是周期函数,且lf(x)=img(x),f(x)和g(x)两函数有什么关系? 证明你的结论 (2)求下列极限 lM分+)m(G+); im iIG x+a-x (e) lim(Sinx) a+b+c ;(d)lin 参考解答: (1)若f(x)和g(x)都是周期函数,且mf(x)=lmg(x),f(x)和g(x)两函数有什么关系? 证明你的结论。 证:设∫(x)和g(x)的周期分别是a和b:则 Vx, f(x)=lm f(x+na)=lim g(x+na); lim g(x+na+nb=lim f(x+nb+na)=lim f(x+nb)=lim g(x+nb)=lim g(x)=g(x) 第二章极限论

第二章 极限论 第二章 极限论 第一次习题讨论课 (一) 内容：数列与函数的极限的计算 ⚫ 通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知的极限。 ( 如: 连续函数的极限， ( ) ( ) lim Q x P x n m x→ , ( x)x e x + = → 1 0 lim 1 , lim 1 0 = → x Sin x x , lim = 0, ( 1) →+ a a x x p x , ( ) 0, ( 0, 0) ln lim =   →+ q p x x p q x , lim (ln ) 0, ( 0, 0) 0  =   → + x x q p p q x ) ⚫ 利用等价无穷小求极限 (1) sin x  x  Sin x = x + o(x) ; (2) tan x ~ x  tan x = x + o(x) (3) 1−cos x 2 2 x  ( ) 2 1 2 2 o x x Cos x = − + (4) e 1 ~ x e 1 x o(x) x x −  = + + ; (5) ln(1+ x) ~ x  ln(1+ x) = x + o(x) (6) (1+ x) −1 ~ x  (1+ x) = 1+ x + o(x)   (7) arcsin x ~ x  arcsin x = x + o(x) 。 (二) 讨论题： ⚫ 一批求极限的基本是。 ⚫ 几个提高的讨论题 (1) 若 f (x) 和 g(x) 都是周期函数, 且 lim f (x) lim g(x) x→ x→ = , f (x) 和 g(x) 两函数有什么关系？ 证明你的结论。 (2) 求下列极限： (a) lim ( 1) 2 2 + → Sin n n  , Sin ( n n) n + → 2 2 lim  ; (b) ( )          + − = → n x a x n i i x 1 lim (c) ( ) x x Sin x tan 2 lim  → ; (d) x x x x x a b c 1 0 3 lim         + + → 。 参考解答： (1) 若 f (x) 和 g(x) 都是周期函数, 且 lim f (x) lim g(x) x→ x→ = , f (x) 和 g(x) 两函数有什么关系？ 证明你的结论。 证： 设 f (x) 和 g(x) 的周期分别是 a 和 b: 则 x, f (x) lim f (x na) lim g(x na) n n = + = + → → ; lim g(x na nb) lim f (x nb na) n n + + = + + → → lim f (x nb) lim g(x nb) n n = + = + → → lim g(x) g(x) n = = →

第二章极限论 (6)求下列极限: (a): 1) lim Sin l/n+1), 2) lim SmilVn'+n) 解1rx+1) 丌+力 n Sm(xn+x2+o(2)→>0 2)Sin(Vn+n=Sin/1+==Sinian\*ny =Sin In++0-1=Cos tn+o 解 -x=x +o(-)-x nx x +o( n n (e) lim(Sin x)tanx 解:im(Smx)= lim sin(/x、)如(+ lim(Cos (y))- ott> lim(1-[-Cos(y))i-cCosy(l-Coas y Corp=e=1 因 Os) y2/2+00) COsy→>0 Sin y +b ,a,b,c>0 3+xIna+xin b+xhnc+o(x) 第二章极限论

第二章 极限论 第二章 极限论 (6) 求下列极限： (a) : 1) lim ( 1) 2 2 + → Sin n n  , 2) Sin ( n n) n + → 2 2 lim  解：1) ( )         + = + 2 2 2 2 1 1 1 n Sin  n Sin  n =                       + +2 2 2 1 2 1 1 n o n Sin  n =               + +2 2 2 1 2 n o n n Sin n   = 2 2 2 )) 1 ( 2 (       + + n o n n Sin n   →0 2) ( )         + = + n Sin n n Sin n 1 1 2 2 2   =                       + + n o n Sin n 1 2 1 1 2  =               + + n Sin n o 1 2 2   =               + n Cos n o 2 1  →1 (b) ( )          + − = → n x a x n i i x 1 lim 解： x x a x n n i i  −       + =1 1 = x x a x n n i i  −       + = 1 1 1 = x x o n x a x n i i −         + + =1 ) 1 1 ( = x x o n x a x n i i −                 + + =1 ) 1 1 ( =  = =   →       + n i i n i i n a o n a 1 1 (1) = = n i ai n 1 1 (c) ( ) x x Sin x tan 2 lim  → 解： ( ) x x Sin x tan 2 lim  → = ) 2 tan( 0 ) 2 lim (   + →       + y y Sin y = ( ) cot( ) 0 lim ( ) y y Cos y − → = (  ) (1 ) ( ) 1 1 0 lim 1 1 ( ) Cos y Cot y Cos y y Cos y − − − → − − = 1 0 e = , 因 ( ) ( ) 0 1 2 2 2 → + + = − Cosy y o y y o y Cosy Sin y Cosy (d) x x x x x a b c 1 0 3 lim         + + → , a,b, c  0 解： x x a x b x c x x x x a b c e e e 1 ln ln ln 1 3 3         + + =         + + = x a x b x c o x x 1 3 3 ln ln ln ( )       + + + +

第二章极限论 n(abiko(r) x In (abc)+o(x))In 补充题1,已知(+2=4+B、2,求l4=? 补充题2,研究m(2n-)? (2n) 提示:解1:利用不等式△∠n+1’意 (2n-)1 4n- 2n+1 解2:利用归纳法证明: (2n) 第二章极限论

第二章 极限论 第二章 极限论 = ( ) ( ) ( ) x x abc o x x abc o x x abc o x 3 ln ( ) ln ( ) 3 3 ln ( ) 1 + +       + + ( ) 3 ln 3 1 e abc abc → = 补充题 1, 己知 (2 2) n n 2 n + = A + B , 求 n n n B A → lim =？ 补充题 2, 研究 (2 )!! (2 1)!! lim n n n − → =？ 提示：解 1：利用不等式 1 1 +  − n n n n ，得 ( ) 2 1 1 2 !! (2 1)!! 4 2 1 2 2 +          −  − n n n n n 解 2：利用归纳法证明： ( ) 3 1 1 2 !! (2 1)!! 4 1 2 +          −  n n n n