第四章重积分 第四章重积分 第六节含参变量的积分 4-6-1含参积分的概念及性质 4-6-2广义含参积分 第十五讲含参变量积分的概念与性质 课后作业 阅读:第四章第六节:含参变量积分pp135-141 预习:第五章第一节:曲线积分pp.142-151 作业 1.计算下列含参变量积分的导数 (1)F(x)=e (2)F(1)= In(1+x) 2.设f(x)为可微函数,且F(x)=(x+y)()小,求F"(x) 3.求椭园积分E()=「√1-k2sm9及F(k)=n (00, b>0) Inx 提示:利用 Inx 5.设∫(x)为可微分两次的函数,F(x)为可微函数,证明:函数 u(x, )=5[(x-ar)+/(x+ar]+.F()dy a2u22 满足弦振动方程 及初值条件:u(x,0)=f(x),u(x,0)=F(x) 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 1 第四章 重积分 第六节 含参变量的积分 4-6-1 含参积分的概念及性质 4-6-2 广义含参积分 第十五讲 含参变量积分的概念与性质 课后作业： 阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 计算下列含参变量积分的导数 (1) F x e x x xy dy ( ) = − 2 2 ; (2) F t tx x dx t ( ) ln( ) = + 0 1 . 2. 设 f (x) 为可微函数, 且 F x x y f y dy x ( ) = ( + ) ( ) 0 , 求 F(x) . 3. 求椭园积分 E k k d x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1 及 F k d k x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1 (0 k 1) 的导函数, 并以函数 E(k) 和 F(k) 表示之; 证明 E(k) 满足微分方程 + + − E k = k E k E k k ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 2 . 4. 计算 0 1 1 − x x x x dx b a ln sin ln , (a 0,b 0). 提示: 利用 a b y b a x dy x x x = − ln . 5. 设 f (x) 为可微分两次的函数, F(x) 为可微函数, 证明: 函数 u x t f x at f x at F y dy x at x at ( , ) = ( − ) + ( + ) + ( ) − + 1 2 满足弦振动方程 2 2 2 2 2 u t a u x = 及初值条件: u(x,0) = f (x) , u x = F x t ( ,0) ( )
第四章重积分 46-1含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式,在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质,即连续性、可微性与可积性 引例椭园曲线 0≤tb的弧长为 y=bsin t sin-i+b- cost dT sin t at; √1+E2sn2rdr; v b 虽然积分V1+E2sn2rdr,在E≠1时,不能表成初等形式,但确定了 个E的函数,这个积分称为含参变量E的积分,其一般定义为 含参积分定义设f(xy)在矩形域D={x,y)a≤x≤bc≤y≤d} 上连续,则对任意的y∈[]积分(xy存在,并确定了y的 个函数,记作(y)=f(x,y)dk,称为含参变量y的积分 注:含参变量积分大多是不能用初等函数表示,因此,含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便,记D={x,y)≤x≤bC≤y≤d为[a[d 46-2函数的一致连续性 函数y=f(x)在x0∈(a,b)点连续的定义义是 vE>0,彐(E,x0)>0,使当{x-x0,要使 f(x)-f(x0=-<6 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 2 4-6-1 含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式, 在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。 ⚫ 引例 椭园曲线 , 0 2 sin cos = = t y b t x a t , a b 的弧长为: = + 2 0 2 2 2 2 L a sin b cos d = − + 2 0 2 2 2 2 1 sin d b a b b ; 令 2 2 2 b a − b = , ( ) = + 2 0 2 2 f 1 sin d ; 虽然积分 + 2 0 2 2 1 sin d ，在 1 时, 不能表成初等形式, 但确定了一 个 的函数, 这个积分称为含参变量 的积分, 其一般定义为 ⚫ 含参积分定义 设 f (x, y) 在矩形域 D = (x, y) a x b,c y d 上连续, 则对任意的 yc,d, 积分 b a f (x, y)dx 存在, 并确定了 y 的 一个函数, 记作 = b a I( y) f (x, y)dx , 称为含参变量 y 的积分。 注: 含参变量积分大多是不能用初等函数表示, 因此, 含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便，记 D = (x, y) a x b,c y d 为 a,bc,d. 4-6-2 函数的一致连续性 ⚫ 函数 y = f (x) 在 x0 (a,b) 点连续的定义义是: 0, (, x0 ) 0, 使当 x − x0 时 f (x) − f (x0 ) . 一般说来, 的选取不仅与 有关, 而且与 x 0 有关。 例 f x x ( ) = 1 在(0, 1)内连续, 设 x0 (a,b), 0 , 要使 f x f x x x ( ) − ( 0 ) = − 0 1 1
第四章重积分 11+ax 取 则1 >0 取(x)=m 1-ao 1+ao 则当x-xl|0,没有一个与x0无关的 6(),使得x-x0内,则当xE[]时,只要取6(s)=5 此时,当x-x0|0,存在只依赖于E的 6()>0,使当x∈I且x-xo0,3()>0,x,x"∈1,x'-x0,彐()>0,使当 (x+4,y0+)∈D,且<8,<d时,W(x02y)∈D,均有 Jf(x+Ax,y+4)-f(x,y10)<E,则称f(x,y)在域D上一致连续。 定理若∫(xy)在有界闭区域D上连续,则它在D上一致连续。 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 3 即 1 0 1 1 0 0 0 − x + x x x x , 取 1, 则 1− x0 0 , − − − − x x x x x x 0 2 0 0 0 2 1 1 0 , 取 ( ) , x min , x x x x x x 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 1 1 0 = − + = + , 则当 x − x0 (, x0 ) 时, f (x) − f (x0 ) . 显然,在区间 (0,1) 内对任意给定的 0 , 没有一个与 0 x 无关的 ( ) ，使得 − ( ) 0 x x 时, f (x) − f (x0 ) 成立。 但 在 c,1, (c 0) 内, 则当 x0 c,1 时, 只要取 2 ( ) 2 c = , 此时, , 当 x − x0 () 时, 对 x0 c,1, f (x) − f (x0 ) 都成立。 对于上述两种情况, 我们称 f x x ( ) = 1 在(0,1)区间上不一致连续, 而 在 c,1 区间上一致连续。 定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续, 如果 0, 存在只依赖于 的 () 0 , 使 当 x I 且 x − x0 () 时 , x I 0 均 有 f (x) − f (x0 ) , 则称 f (x) 在 I 上一致连续。 它等价命题是: 0, () 0, x , x I, x − x (), f (x) − f (x) 定理 有界闭区间 [a,b] 上的连续函数一致连续。 有关一致连续的定义和定理可以推广到多元, 下面以二元函数为例 定义 设 f (x, y) 在域 D R 2 上连续, 如果 0 , () 0 , 使当 (x0 + x, y0 + y) D , 且 x , y 时 , (x0 , y0 ) D , 均 有 f (x x, y y) f (x , y ) 0 + 0 + − 0 0 , 则称 f (x, y) 在域 D 上一致连续。 定理 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 则它在 D 上一致连续
第四章重积分 46-3含参积分的解析性质 连续性定理若f(x,y)在D:[,b][cd]上连续 则/(y2-(xy)在小上连续,即w小均有 J4)Ja/(x, y)dr= lim f(x, y)dx=/(,Mo)dx 证明设yo∈ ∫(x,y)x-f(x, =[(x,y)-f(x,y0 sU(x, y)-f(x, J,)r 由于∫(x,y)在有界闭区域D上连续,从而一致连续,因此对于上述 E,存在不依赖于(x,y)的>0,使得当ye[c4]且y-y<o时, I(x,y)-f(x,yo k< E 于是 J(x,y)-f(x,y0)女< 故I(y)在yo点连续,本定理得证。 注:上述定理表明,积分f(x,y)d对参变量y的极限运算与对变量 x的积分运算的顺序可变换,这个性质也称为积分号下求极限 可导性定理1)设几(xy)及在有界闭区域D:[a×司]上 连续,Vy∈(c,d), f(x, y)dx a∫(x,y) 证明记1(y)=f(x,y),则 (y0+4y)-/(y0)_1 小 4【(x,3+2)-f(x,) =f(xy0+Ay),(0<<1) 由于∫y(x,y)在D区域上连续,根据连续性定理,可得 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4 4-6-3 含参积分的解析性质 ⚫ 连续性定理 若 f (x, y) 在 D : a,bc,d 上连续, 则 = b a I( y) f (x, y)dx 在 c,d 上连续, 即 y c,d 0 , 均有 → b y y a lim f (x, y)dx 0 = = → b a b y y a lim f (x, y)dx f (x, y )dx 0 0 . 证明: 设 y c,d 0 , 0 , 由 a b a b a b f x y dx f x y dx f x y f x y dx ( , ) − ( , ) = ( , ) − ( , ) 0 0 − a b f (x, y) f (x, y ) dx 0 . 由于 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 从而一致连续, 因此 对于上述 , 存在不依赖于 (x, y) 的 0, 使得当 y c,d 且 y − y0 时, f x y f x y b a ( , ) − ( , ) − 0 , x a,b, 于是 a b a b f x y f x y dx b a dx − − ( , ) ( , 0 ) = , 故 I(y) 在 y 0 点连续, 本定理得证。 注: 上述定理表明 ,积分 a b f x y dx ( , ) 对参变量 y 的极限运算与对变量 x 的积分运算的顺序可变换, 这个性质也称为积分号下求极限。 ⚫ 可导性定理(1) 设 f (x, y) 及 y f 在有界闭区域 D : a,b c,d 上 连续, y0 (c,d) , = = = b y y a y y b a dx y f x y f x y dx dy d 0 0 ( , ) ( , ) . 证明 记 I y f x y dx a b ( ) = ( , ) , 则 I y y I y y y f x y y f x y dx a ( ) ( ) b ( , ) ( , ) 0 0 0 0 + − 1 = + − . = + b a f y (x, y y)dx 0 , (0 1) . 由于 f x y y ( , ) 在 D 区域上连续, 根据连续性定理, 可得
第四章重积分 I(y)=m(o+Ay)-1(0) dy =mnJf"(x,y0+的y) L lim /'(x, yo+OAy)dx= f(x, yo)dx Av→0 这表明,若f(x,y)满足定理的条件,则由含参积分(x,y)定义 的函数I(y)在(c,d)内可微,且对参变量y的求导与对x的积分运算可变换 顺序,这个性质也称为积分号下求微商 可导性定理(2)设 (x,y)及,(x,y)在D:[b×小上连续 (i)a(y,B)在[c:d]上可微,且y∈[e4]时,满足asa(y)≤b ≤B(y)≤b dy Ja(yy/(r,y)dx=[) d rB(r) atn jy(x,y)dx f(B(),y)B'()-f(a(v),yka'() 证明:记I(y) f(x, y)da I()='f(, y)dx+ mf(x,y)dx+ B() f(x, y)dx 将上式等号右边的三个积分分别记为l3(y),1(y),12(y) 它们分别在y0点处的导数是 (On)= 12(y0+4y)-l2(y0) 12(y+4y) 12(y0)=lim 4 ∫(x,y+4y f(,y+△y B(o+△y)-B(0) 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 5 y I y y I y I y dy d y y y + − = → = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x y y dx y b y a lim ( , ) 0 0 = + → = f x y y dx y y b a lim ( , ) 0 0 + → = ( , ) . f x y0 dx y b a 这表明, 若 f (x, y) 满足定理的条件, 则由含参积分 a b f x y dx ( , ) 定义 的函数 I(y) 在 (c,d ) 内可微, 且对参变量 y 的求导与对x的积分运算可变换 顺序, 这个性质也称为 积分号下求微商。 ⚫ 可导性定理(2) 设 (i) f (x, y) 及 f y (x, y) 在 D : a,b c,d 上连续; (ii) ( y),( y) 在 c,d 上可微, 且 y c,d 时, 满足 a ( y) b , a ( y) b。 则 d dy f x y dx f x y dx y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) = + f ((y), y)(y) − f ((y), y)(y). 证明: 记 I y f x y dx y y ( ) ( , ) ( ) ( ) = , y0 c,d, ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = + + y y y y y y I y f x y dx f x y dx f x y dx 将上式等号右边的三个积分分别记为 ( ), ( ), ( ) 3 1 2 I y I y I y , 它们分别在 y 0 点处的导数是： = I y f x y dx y y 1 0 y 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) = + − = + → → I y I y y I y y I y y y y y 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) = + → + lim ( , ) ( ) ( ) y y y y y f x y y dx 0 0 1 0 0 . = ( ) y y y y f y y y + − + → ( ) ( ) lim , 0 0 0 0
第四章重积分 其中ξ在B(y)与B(y+4y)之间,由B(y)的可微性及f(x,y)的连 续性可得 2(y0)=f(B(0,y0)B() 同理可得 3()=f(a(y),y)a(y), 本定理得证 上式通常称为莱布尼兹公式,这个公式也可以利用复合函数求导的方 法证明,这时将含变量积分看成是J(y2v)=f(x,y)x与 l=a(y),v=B(y)的复合。 可积性定理设f(x,y)在矩形域D:[×[cd上连续,则 dy f(, y)dx=dx f(x, y)dy 证明取d=7作变量,即考虑函数 F()=df(x和E()=广d『fx,y F()= f∫(x,y)dh f(x, ndx Fl(n- d dn r('r(x, yd y dr =5(/(ex, ). ar f(x, n)dx 则F2(n)=F1()+C 又由F2(c)=F(c)=0→F2(7)=F( 本定理得证。 表示在∫(x,y)连续的条件下,其对x,对y的积分次序可交换,这个 性质也称为积分号下求积分。 以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质,下面利用这 性质,计算一些积分。 例1计算l(a)=「ma2-sn2x)tx,其中a>1。 第五节含参变量的积分 6
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 6 其中 在 ( y ) 0 与 ( y y) 0 + 之间, 由 ( y) 的可微性及 f (x, y) 的连 续性可得 I y = f ( y y ) y 2 0 0 0 0 ( ) ( ), ( ) . 同理可得 I y = f ( y y ) y 3 0 0 0 0 ( ) ( ), ( ) , 本定理得证。 上式通常称为莱布尼兹公式, 这个公式也可以利用复合函数求导的方 法证明 , 这 时 将 含 变 量 积 分 看 成 是 J y u v f x y dx u v ( , , ) = ( , ) 与 u = ( y), v = ( y) 的复合。 ⚫ 可积性定理 设 f (x, y) 在矩形域 D : a,b c,d 上连续, 则 c d a b a b c d dy f x y dx dx f x y dy ( , ) = ( , ) . 证明 取 d = 作变量, 即考虑函数 F ( ) dy f x y dx b c a ( , ) 1 = 和 F ( ) dy f x y dx c b a ( , ) 2 = ( ) f x y dx dy f x dx d d F b c a b a = = ( , ) ( , ) 1 ; ( ) = = b a c b a c f x y dy dx f x y dy dx d d F ( , ) ( , ) 2 = b a f (x,)dx 则 F2 () = F1 ()+C , 又由 F2 (c) = F1 (c) = 0 () () F2 = F1 。 本定理得证。 表示在 f (x, y) 连续的条件下, 其对 x , 对 y 的积分次序可交换, 这个 性质也称为积分号下求积分。 以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质, 下面利用这 些性质, 计算一些积分。 例 1 计算 = − 2 0 2 2 ( ) ln( sin ) I a a x dx , 其中 a 1
第四章重积分 解(a) d x 0 →(G)=zh+a-l+c 为确定积分常数,将积分变形: (a)=in a'(1l-2sin'x)ax=zha+in 1-2sin2xdx a+va-1 →C →C=liml x dx-rIn a+va2-l (1-1sn2xk(1-1)=m面m(1-1smx=0 →故C=-rhn2 a+ 最后得I(a)= 3a>1 例2设1()=」m-2cx+r2),H<1,求1() 2 cosx + 2r 解I(r)= 1-2rcosx+I 利用万能变换u=tan-,cosx= d r= edu 1+t 1+ (r) -2)+2(+n2)2d (+n2)-2(-n2)+r(+n2)1+2 +r)2n2+(-r)21 du du (+r)22+(1-r)2 1+t 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 7 解 sin 1 2 ( ) 2 2 0 2 2 − = − = a dx a x a I a I (a) = ln(a + a −1)+C 2 为确定积分常数，将积分变形： = + − = − 2 0 2 2 2 0 2 2 2 sin 1 sin ) ln ln 1 1 ( ) ln (1 x dx a x dx a a I a a ; a a a x dx a C 1 sin ln 1 ln 1 2 2 0 2 2 + − − = − + − − = − →+ a a a x dx a C a 1 sin ln 1 lim ln 1 2 2 0 2 2 − − 2 2 2 1 sin ln 1 1 ln 1 a x a sin 0 1 lim ln 1 2 0 2 2 = − →+ x dx a a 故 C = − ln 2 , 最后得 , 1 2 1 ( ) ln 2 + − = a a a I a . 例 2 设 ( ) ln(1 2 cos ) , 1 0 2 = − + I r r x r dx r , 求 I(r) 解 0 1 2 cos 2cos 2 ( ) 0 2 = − + − + = dx r x r x r I r , 利用万能变换 2 tan x u = , 2 2 2 1 2 , 1 1 cos u du dx u u x + = + − = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + − − + + − − + + = 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) u du u r u r u u r u I r = ( ) ( ) ( ) ( ) + + + − + + − − 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 u du r u r r u r = ( ) ( ) + + + + − + + 0 2 0 2 2 2 1 1 1 4 du u B du r u r A
第四章重积分 a+B 因为:(+x2-(0-)=+n2)+(+)n2+(-) (1-r)4+(1-r)(+r)2B A+(-)B=-0-7)1(+7)4+0+)4-)B=-4-) →2A 2(-r2)B 又因1(0)=0→/7)=」m-2x+r)=0,H 例3计算I= d x (a>0,b>0) Inx 解解法一由于 故1=4xdh=∫hxd=广 dy= In 解法二将原式中a固定,把b看成参变量,记 (b)= 则 (b)= dx=xdx ab In 积分可得 /(b)=ln(1+b)+C 因为I(a)=0,所以n(1+a)+C=0,C=-ln(1+a), I=1(6)_ 1+6 例4设l1=dx G2+y= dx 1=d dy=「ax y2+x2)+ 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 8 = (1 ) 2 1 4 2 + − A B r =0; 因为： ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) 2 2 2 2 2 1+ r u − 1− r = A1+ u + B 1+ r u + 1− r ( ) ( ) ( ) + − = − − + + = + A r B r A r B r 1 1 1 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + − = − − − + − + = − 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 r A r r B r r A r r B r 2 2(1 ) 0 2 A+ − r B = I(r) = C 又因 I(0) = 0 ( ) ln(1 2 cos ) 0 , 1 0 2 = − + I r r x r dx r 例 3 计算 I x x x dx b a = − 0 1 ln , (a 0,b 0). 解 解法一 由于 a b y y a b b a x dy x x x x x = = − ln ln , 故 I dx x dy dy x dx a b y a b y = = 0 1 0 1 = + = + + a b y dy b a 1 1 1 1 ln 解法二 将原式中 a 固定, 把 b 看成参变量, 记 I b x x x dx b a ( ) ln = − 0 1 , 则 b dx x dx x x x b I b b b a + = = − = 1 1 ln ( ) 1 0 1 0 , 积分可得 I(b) = ln(1+ b) + C. 因为 I(a) = 0, 所以 ln(1+ a) + C = 0, C = −ln(1+ a) , I I b b a = = + + ( ) ln 1 1 . 例 4 设 ( ) + − = 1 0 1 0 2 2 2 2 2 1 dy x y y x I dx =? , ( ) + − = 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 dx x y y x I dy =? ( ) ( ) ( ) + − + + = + − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 0 1 0 2 2 2 2 2 1 2 dy x y y x y dy dx x y y x I dx ;
第四章重积分 y dx l2=小 y2+x2)- dy ty x=0 第五节含参变量的积分
第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 9 = 1 4 1 1 0 2 1 0 1 0 2 2 = − + − = + − = = dx x dx x y y y y ; ( ) ( ) ( ) + + − = + − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 dx x y y x x dx dy x y y x I dy ; = 1 4 1 1 0 2 1 0 1 0 2 2 = + + = + = = dy y dx x y x x x