清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 重积分（4.7）重积分例讲7（课后作业）

第十二章重积分 第四章重积分 第七节重积分例讲 7-1二重积分 例一,计算二重积分|=y-x2-yo, 其中D={xy)Ma(+)≤ 解:=4∫√-x2-ydd 1=』-x2-yab y-dy 2 I dy 18 6183 3 =Sing/2 例二,求二重积分:=d, 7Sinok4 2≤ 4 x,) 2≤_y≤4 解:Ⅰ 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 第四章 重积分 第七节重积分例讲 7-1 二重积分 例一，计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解：  = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy  = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy =   − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0  2  − =  x dx ;  = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy =   − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 =         − − +  x dx x x        = −      = − 3 1 3 2 18 1 6 4   I 例二， 求二重积分:  = D d x y I  1 , ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解：  = D d x y I  1 = y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4

第十二章重积分 2|d6 =2 sIne h I 1 p-Cos0 Sin e Cose sin Cos0 In(2ige)d(g0)=h 例三,求三重积分:1(+y(2-27m,其中 (x,y)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系 Jx= pCos y=pSin8 do=pdpde. D=(x,,x+y2sR2 g(2+y)y-x9=8()y a(x, y)l-x a(p,0)(y 0)a(x,y) 因为:cp( a(0, Cose -sIne(y Sing pCos 1(pCos pSin 0 pl-Sin@ Cos0 1=[8(+yl ax oy f g)ld9db=-8(0.,)-10.)Mp=0 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 例三， 求二重积分: ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 , 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R , ( ) lim 1 0 = → + t g t t . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( ) ( ) ( )          −  =          −   + x y x y f g y f x x f g x y y , 2 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f g x y x y f g , , , , 2 2       = ( )     − f g 2 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 =         − =        − 1 1 0 0   ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 = ( )     − R d d f g       2 = ( )     −       2 0 0 2 d f d g R = ( ) ( ( ) ( ))  − − = R f f d g 0 2 0,  0,   0  

第十二章重积分 例四,求二重积分 I old 是 解:如图,切点 小园园心O1|, -)- I=JIs(r, do=[irda+[jindo DUD, =2(x,y)d-J1(x,y)= 8 u2+v uav=6-2pdpde=i 16 xty x2+y2≤l 9 p3dd6=-;I=l1-l2=;丌 例五,(02)1=』md,其中 D={x)0≤x10≤xs1} 解:1=e,hh e'dh+jedh=2』e'dh 2「edd=e-1 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 例四， 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  解：如图，切点         2 2 , 2 2 A , 小园园心         4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 ,         − −         f x y = − x − y ; ( )    = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( )    − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( )  = 1 2 , 1 D I f x y d =                   + −         − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d =    +  − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv  = 16 2 8 2 1 3       − =   d d ; x y d x y I x y  +        − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y  +  − + 1 2 2 2 2 = 2 1 3      − = −   d d ;  16 9 I = I 1 − I 2 = 例五，(021)    = D Max x y I e dxdy 2 2 , ，其中： D = (x, y) 0  x 1,0  x 1。 解：    = D Max x y I e dxdy 2 2 , =   + 2 2 1 2 D y D x e dxdy e dxdy=  1 2 2 D x e dxdy = 2 1 1 0 0 2 = −   e dx dy e x x . y A O1 D1 O x D2 y D2 D1 0 x

第十二章重积分 例六,证明:0>,、G-as- 证明: D= Ma e(=) y) D y e'dos|∫e-|-』je-dos』e-do 由zr2=(2a)2,得r 由此得∫edos』 e" do s[edo -e)≤∫e-do≤x-e-) 即 a2≤eax≤√v1-e 例七,若x∈[o]f(x)>0,单调减,设 x(是y=f(x)在[]上曲边梯形的重心x坐标 x(2D是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p≥x(2) xf(kdx xf()d 证明:x(/[≥x(21台 (x∫/(xk →∫x(x/(x2x(x 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 例六， 证明； a  0, 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , 证明： ( )                = Max x y a y x D : ,       +          = 2 2 2 : x y a y x Da       +          = 2 2 2 : x y r y x Dr     − − − − − − − − =           a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2  r = 2a ,得  a r 2 = 由此得    − − − − − −   a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − −   −     ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  例七， 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx y a r

第十二章重积分 ∫y(x)/()2y()/(x →jy(x)f()-y2()/()≥0 of(x)/2()-yo)(x)] 20 ∫()2(x)-xf(x/() x(D≥x(2e 「((x)f2()-y2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/()b≥0 A: xfx)0)-y2)f(x)=f()f(Xxv)-rf(x) 则,x/(x)f2()-yf2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/() f(x)()x-yf(x)-f()≥0 例八,若x∈p]0<m≤f(x)≤M,证明: M+m)2 ≤ dxcy≤ 4Mm 0≤x≤ Syst 证明: dxdy dxd 0≤ys1 首先有:2「(b dxdy f) f(x) 0≤ys1 (需 +2ad≥2 dxdy=1 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分  xf(x)f (y)dxdy yf (y)f (x)dxdy    1 0 1 0 2 1 0 1 0 2  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( )− ( ) ( )) =  xf x f y yf y f x dxdy 1 0 1 0 2 2 (yf (y)f (x) xf (x)f (y))dxdy  − 1 0 1 0 2 2 ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + −   x f x f y yf y f x yf y f x x f x f y dxdy 因： x f(x)f (y)− yf (y)f (x) = f (x)f (y)(x f(y)− yf (x)) 2 2 则， x f(x)f (y) yf (y)f (x) yf (y)f (x) x f (x)f (y) 2 2 2 2 − + − = f (x)f (y)(x − y)(f (x)− f (y))  0 例八，若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =         1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2  =         +         −           y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ;

第十二章重积分 再者:有:(M-()1-m|20=M+m)≥m+/(x) (M+m)≥M m 令u=「f(x)tx,p dy→(M+m)≥Mmv+u f( →(M+m)≥Mmv+l≥2Mm、l →Mmu≤ (M+m) →t≤ (M+m) 4Mm 即 dxd≤ ) 4M 综合在一起有:1sy+m) 0≤ys1 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为4,即 Max(xy) S.tx+y≤A;x,y≥0 时,xy取最大值,即xy≤ A 7-2三重积分 例九,求三重积分 =/gy+,其中 0≤z y 解:由函数与域的对称性; I=「({x+y+zh=zdh 球坐标系:=Jh=40 rCos r Sin9b= 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 再者：有： ( ( )) ( )           − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m  +  ( ) ( ) ( )   +  + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令   = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v  (M + m)  Mmv + u  (M + m)  Mmv + u  2 Mmv  u  ( ) 4 2 M m Mm uv +   ( ) Mm M m uv 4 2 +  . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 +       综合在一起有： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2       A , 即 ( )    s. t. x + y  A; x, y  0 Max x y  当 2 A x = y = 时, xy 取最大值，即 2 2        A xy . 7-2 三重积分 例九， 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ;

第十二章重积分 柱坐标系: pdp adz=: √/√1-x2-x2 直角坐标系:1=∫ajh Ed - t √/-√2-x2x2+y2 先对xy积分 1=ad==x+上=x-)k= 0D(=) 8 例十,设∫:gcR3→R,f∈C(2) Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma((PP∈S),vP∈91a川≤M, 证明:=/(xy=h≤A4+4M 其中,;V是域Ω的体积,P∈Ω,彐P∈S。 证:f(x,y,z)=f(P)+ af(p) ∂(x,y, f(r, y,=]d=[ 10)+er(p (x,y=) ≤[4+ ≤A+M「(R-)h x2+y2+2sR2 MR <AV+ =VIA+ 即:/。1 R yxy≤4+4M 例十一,求半径为R密度为常数p0的球体 所产生的引力场 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 例十， 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0  ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   . 例十一，求半径为 R 密度为常数  0 的球体, 所产生的引力场

第十二章重积分 d 解:dF pdv dF pdv F ap d u R dxd 2 =:x2+y2+(=-a)(F-d√R2-2a+a2 F=2Tp -a√R2-2a+a2 d==[sign(=-ald= 2R,a≥R <R 2R2 2R,a≥R R2-2a+a2 ≥R 4 F ≥R 在球坐标系下: d-如P pcos dv 2r·cosq de dpl r2+a2-2n sin dr r++a--2ra. cc 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 解： r z a r dv r dv dFz − =  =  2 2 cos    ( ) dv x y z a z a dFz  2 2 2 + + − − = ( ) ( )   + + − − = dv x y z a z a Fz 2 2 2  = ( ) ( )   − +  − + + − − 2 2 2 2 2 2 2 x y R z R R x y z a dxdy  z a dz = ( )         − + − − = + + −  +  − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x y z a z a R az a dxdy x y R z  dz R az a z a z a z a F R R z  −         − + − − − − = 2 2 2 2  ( )    −  −  = − = − −   − − a a R R a R dz sign z a dz z a z a R R R R 2 , 2 ,        −  −  = − + −  − a a R R a R a R dz R az a z a R R , 3 4 2 , 3 2 2 2 2 2 2 ,        −  −   = a a R a R a R Fz , 3 4 , 1 3 4 2 3     . 在球坐标系下：      2 cos cos cos 2 2 2 + −  =  = r a ra dv r dv dFz ,    + −  = R z r dr r a ra F d d 0 2 2 2 0 2 0 sin 2 cos cos           + −  = R dr r a ra r d 0 2 2 2 0 2 cos 2 cos sin        . z a (x,y,z) R y x

第十二章重积分 7-3曲面积分 例十二,S是椭球面x+2+=2=1的上半部分,点 P(x,y,)∈S,为S在点P处之切平面,p(x,y,)为原点O 到平面x的距离,求盯 x,y,二 解:切平面:r:x(x-x)+y(y-y)+20(-=0)=0 x+y+202=1 原点到的距离p(x,y0,0)= 2+ x+y+420 于= =2 dxdy 例十三,设有一高度为hO)(为时间)的雪堆在融化过程 中,其侧面满足方程:=M0)-2+y),(设长度单位为 厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面 积成正比(比例系数09)问高为130厘米的雪堆全部融 化需多少小时? 雪堆体积:=∫h==kdy 2(x2-y2) 2 dxdy h3 h h x2+y2 ●雪堆表面积:S=」d= dxdy 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 7-3 曲面积分 例十二， S 是椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y 的上半部分, 点 P(x, y,z)S ,  为 S 在点 P 处之切平面, (x, y,z) 为原点 O 到平面  的距离，求 ( ) ? , , =  S dS x y z z  ( 2 3 ) 解：切平面：  : x0 (x − x0 )+ y0 (y − y0 )+ 2z0 (z − z0 ) = 0 1 2 2 0 0 0  + y + z z = y x x . 原点到  的距离 ( ) 2 0 2 0 2 0 0 0 0 4 2 , , x y z x y z + +  = ; ( ) ( )  2 3 4 , , 22 2 2 2 2 2 2 = + + =   S x + y  x y z dxdy z dS x y z z . 例十三，设有一高度为 h(t) ( t 为时间)的雪堆在融化过程 中，其侧面满足方程 ( ) ( ) h(t) x y z h t 2 2 2 + = − , (设长度单位为 厘米，时间单位为小时)， 已知体积减少的速率与侧面 积成正比(比例系数0.9 ) 问高为130 厘米的雪堆全部融 化需多少小时? ⚫ 雪堆体积：   = =  D V dv zdxdy ( )  +          − = − 2 2 2 2 2 2 2 h x y dxdy h x y h = d h (t) h d h h 3 2 0 2 0 2 4 2       =         −   ⚫ 雪堆表面积：   +            +           = = + 2 2 2 2 2 2 1 h x y S dxdy y z x z S dS

第十二章重积分 drdy=h h2+ppdp=ih( 融化规律:“=095()=32x()h()=09.132 h 10 (0)=130→h=131+130=100小时 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 =    + + = + +       2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h x y h h x y dxdy h d h d = h (t) 2 12 13  ⚫ 融化规律： S(t) h (t) h (t) h (t) d t dV 2 2 12 13 0.9 4 3 = −0.9    =   h(t) = −  h(t) = − t + C 10 13 10 13 ; ( ) =  = − +130  12 13 h 0 130 h t 100 小时