清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 二重积的计算习题讨论

第四章重积分 第四章重积分 二重积的计算习题讨论 讨论题目: 1.计算累次积分 2.计算二重积分=-x2-yo 其中D={xy)Mx(x少)≤1 3.求二重积分:=∫d, 2≤ <4 x+ 其中D={(xy 2≤ <4 x 4.求二重积分:I 其中D={xy)x2+y2≤R2} 5.求二重积分: x+ y 6.求三重积分:=「(x+y+zh 其中2={(xy,=) 7.设∫:ΩcR3→R,f∈C"(2),且 A=Max((P),VP∈g|ld川sM,证明 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 第四章 重积分 二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , 其中 ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 7. 设 f   R → R 3 : ,  () 1 f C , 且 A Max( f (P)) P = , P, grad f  M ,证明：

第四章重积分 1=Ss(,y ,=kv ≤A+M, 其中,V是域Ω的体积。 8.证明;√Ⅵ-a2≤je-≤√zⅥ-e“,a>0 9.若Wx∈f(x)>0,单调减,设 x(.[是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f(x)在上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p1x(2p 10.若Wx∈[]0<m≤f(x)≤M,证明: dxd≤ 4Mm 参考解答: 1.计算累次积分 解:=「d「S 2.计算二重积分=h x - y ao, 其中D={xy)Ma(x)≤ 解:1=41-x2-y2hy D 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中， V 是域  的体积。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , a  0 . 9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   解:   = 2 2 2 1 y y dx y x I dy Sin  =        − 2 1 2 2 2 dy y Cos Cos y    = (  )  2 + 4 2 2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解：  = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x

第四章重积分 1=VI-x-y dxdy J 2 dv 12=l-x2-y2drdy dx y-1 18 4133(x p=Sin/2 3.求二重积分:/=「1d, 2 4 D={(x 2≤-y 解: sIne 2|d 2 p Cos0 Sine Cos6 Sin Cos日 In(2ige ) d(g0)=hn22 4.求二重积分:I 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论  = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy =   − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0  2  − =  x dx ;  = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy =   − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 =         − − +  x dx x x        = −      = − 3 1 3 2 18 1 6 4   I 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解：  = D d x y I  1 = =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4

第四章重积分 其中D={xy)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系x=pCo do=pdpde. D=(x,y)x2+y2sR2 ,)(2 af a(p, 0)(y pa(x, y-x/ pa(e, e)a(x)) pae 为:(nO) 因 (x,y)(-x((p,0)(-x Cose -p sine(y PCos p Sine y Sin6Cos日人-x 1(0 0 (-p af -j420m0=-j00,-0.9)=0 5.求二重积分: 解:如图,切点42 D, 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( )          −  =          −   + x y x y f y f x x f y x y , 1 1 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f x y x y f , , , 1 , 1       =    − 1 f 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 . =         − =        − 1 1 0 0              −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 =     − R d d f       1 =     −     2 0 0 d f d R = ( ( ) ( ))  − − = R f f d 0 0,  0,  0 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  解：如图，切点         2 2 , 2 2 A , y A O1 D1 O x D2

第四章重积分 √2 小园园心O|, 1=Is(x, ,)do=Ido+[irldo D∪D2 21(y)d-J/(xy)=1-l2 1=2/( √2 √2 d-2 3-24l0=16 y do =1-l 6.求三重积分 ∫(xy+h,其中 0≤z≤√1- (x,y,) 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 小园园心         4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 ,         − −         f x y = − x − y ; ( )    = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( )    − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( )  = 1 2 , 1 D I f x y d = =                   + −         − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d =    +  − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv  = 16 2 8 2 1 3       − =   d d ; x y d x y I x y  +        − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y  +  − + 1 2 2 2 2 = = 2 1 3      − = −   d d ;  16 9 I = I 1 − I 2 = 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z

第中章重积分 解:由函数与域的对称性 I=lll(x+y+=]v==dv 球坐标系:1==a= jdo ae cOser"Sin?b= 柱坐标系:=0=x; 8 直角坐标系:I=「「d cdeT 先对xy积分 1=jb==m+=-=)k=R 7.设∫:ΩcR3→R,f∈C" Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma(P)P∈S),vP∈|gd川≤M 证明:=顶/(x y,hv≤A 其中,;V是域Ω的体积,P∈Ω,彐∈S。 证:f(x,y,z)=f(P) o/(P) a 2) (xy:kh=(+、 x,] 4+grad ≤A+M(R-) x2+y2+-2≤R2 ≤A⊥MR兀 MR 即:V/力(x=≤A+M 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 7. 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0  ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +  

第四章重积分 8.证明;a>0 √z-a2≤je-hs√zⅥ-e 证明: Aa()≤a -x2-2do≤le do 由r2=(2a)2,得r 由此得 e-- do s「le-do≤e-yd r(l-e")sjj 即 9.若vx∈[]f(x)>0,单调减,设 x(0是y=f(x)在[]上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f2(x)在1]上曲边梯形的重心x坐标; 证明:x(/D≥x(2.ol) xf( dx x'( 证明:x(x(2D]e flx)adx f() 欢(x/(x2x=(x/(x 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 8. 证明； a  0 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , 证明： ( )                = Max x y a y x D : ,       +          = 2 2 2 : x y a y x Da       +          = 2 2 2 : x y r y x Dr     − − − − − − − − =           a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2  r = 2a ,得  a r 2 = 由此得    − − − − − −   a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − −   −     ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx y a r

第四章重积分 ∫y(x)/()2y()/(x →jy(x)f()-y2()/()≥0 of(x)/2()-yo)(x)] 20 ∫()2(x)-xf(x/() x(D≥x(2e j()2()-yf(o)/()+y()y()-xf(()ohy20 因:xf(x)2()-yf2(v)(x)=f(x)/(0)xy(U)-y/(x) 则,x/(x)f2()-yf2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/() f(x)()x-yf(x)-f()≥0 10.若x∈[]0<m≤/(x)≤M,证明: M+m)2 l≤ 4Mm 0≤x≤ Syst 证明: dxdy dxd 0≤ys1 首先有:2「(b dxdy d(/()f(x) 0≤ys1 (需 +2ad≥2 dxdy=1 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论  xf(x)f (y)dxdy yf (y)f (x)dxdy    1 0 1 0 2 1 0 1 0 2  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( )− ( ) ( )) =  xf x f y yf y f x dxdy 1 0 1 0 2 2 (yf (y)f (x) xf (x)f (y))dxdy  − 1 0 1 0 2 2 ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + −   x f x f y yf y f x yf y f x x f x f y dxdy 因： x f(x)f (y)− yf (y)f (x) = f (x)f (y)(x f(y)− yf (x)) 2 2 则， x f(x)f (y) yf (y)f (x) yf (y)f (x) x f (x)f (y) 2 2 2 2 − + − = f (x)f (y)(x − y)(f (x)− f (y))  0 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =         1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2  =         +         −           y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ;

第四章重积分 再者:有:(M-f(x) 0 f(x) (M+m)≥ M →(M+m)2Mm m +f(xbox 令u=(x=d 0 f() Mmws u+Mm(M+m)-2vmMuv →2Mmux(M+ →l≤ 即 4Mm 0≤x1 dy≤-4M 综合在一起有:15()s+m f() 4Mm susi 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为4),即{Mx(xy) SL.x+y≤A,x,y≥0 当x=y=时,xy取最大值,即xy≤ 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 再者：有： ( ( )) ( )           − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m  +  ( ) ( ) ( )   +  + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令   = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v , ( ) 2 2 2 2 2 2 u Mmv M m mM uv Mm uv + −  +   ( ) 2 2 2 M m Mm uv +   ( ) Mm M m uv 4 2 +  . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 +       综合在一起有： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2       A , 即 ( )    s. t. x + y  A; x, y  0 Max x y  当 2 A x = y = 时, xy 取最大值，即 2 2        A xy