第六章不定积分 第六章不定积分 CThe indefinite integration 6-1原函数和不定积分 6-1-1原函数概念及性质 6-1-2不定积分概念及性质 5-1-3基本积分表及凑微分法 6-2不定积分方法 6-2-1变量置换法 6-2-2分部积分法 6-3有理函数的积分 6-3-1最简分式的积分 6-3-2有理函数的积分 6-4其他可积成有限形式的函数类 6-4-1三角有理式的积分 第十四讲原函数及不定积分 课后作业: 阅读:第六章61:pp206-210;62:pp211-214; 预习:第六章62:pp214-216;6.3:pp218--22:64:pp224-230; 练习pp.210-211:习题61 复习题全部;习题1;2;3(1)-(8) pp216-217:习题62 习题1(1)-(16)中的单号题; 作业pp.210--21:习题6.14;5; pp216-217:习题62 习题1(1)-(16)中的双号题; 引言: 运算与其逆运算 问题与其反问题 6-1原函数和不定积分 6-1-1原函数概念及性质 (一)原函数概念 定义如果在某区间上恒有F(x)=f(x),则称F(x)是f(x) 在区间I上的一个原函数 例如,在区间(0,+∞),hx是一的一个原函数 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 第六章 不定积分 (The indefinite integration ) 6-1 原函数和不定积分 6-1-1 原函数概念及性质 6-1-2 不定积分概念及性质 5-1-3 基本积分表及凑微分法 6-2 不定积分方法 6-2-1 变量置换法 6-2-2 分部积分法 6-3 有理函数的积分 6-3-1 最简分式的积分 6-3-2 有理函数的积分 6-4 其他可积成有限形式的函数类 6-4-1 三角有理式的积分 第十四讲 原函数及不定积分 课后作业： 阅读：第六章 6.1: pp206---210; 6.2: pp211---214; 预习：第六章 6.2: pp214---216; 6.3: pp218---222; 6.4: pp224---230; 练习 pp.210---211: 习题 6.1 复习题全部；习题 1; 2; 3(1)---(8); pp.216---217: 习题 6.2 习题 1(1)---(16) 中的单号题; 作业 pp.210---211: 习题 6.1 4; 5; pp.216---217: 习题 6.2 习题 1(1)---(16) 中的双号题; 引言： ⚫ 运算与其逆运算； ⚫ 问题与其反问题。 6-1 原函数和不定积分 6-1-1 原函数概念及性质 (一) 原函数概念 定义 如果在某区间 I 上恒有 F(x) = f (x) , 则称 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数. 例如, 在区间 (0,+) , ln x 是 x 1 的一个原函数;
第六章不定积分 在区间(-∞,0),h(-x)是一的一个原函数 在区间(-∞,+∞),Sm2x,是2 Sinx cosx的一个原函数 Cos2x也是2 Sinx cosx的一个原函数等等 因arcg ,可知 areg是,2在(0,+∞)上的原函数,也是,2在 1+x (-∞,0)上的原函数 注:一个函数在某区间I上是否存在原函数,这有侍下一章研究, 但有一个重要结论:在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二)原函数的性质 性质一:F(x),G(x)都是f(x)在区间/上的原函数,则存在常数c, 使得G(x)=F(x)+c.或者说,同一函数的两个原函之间只差一个常 证明:F(x),G(x)是f(x)在区间/上的两个原函数 vx∈l,G(x)-F(x)≡0 x∈l,(G(x)-F(x)=0 →彐C,Vx∈l,G(x)=F(x)+C 性质二:若F(x)都是f(x)在区间I上的一个原函数,则 函数集合三=F(x)+C|C∈R是的所有原函数。 证明:首先,VC∈ (F(x)+C)=F(x)=f(x) →VC∈R,F(x)+C∈三 再者,Vx∈l,G'(x)=f(x) 彐C∈R,G(x)=F(x)+Cf(x) 重要结论:若f(x)在区间I上存在原函数F(x),则f(x)在区间 上的所有原函数都可以写成F(x)+c的形式 6-1-2不定积分概念及性质 ()不定积分定义:如果∫(x)在区间上存在原函数,则所有原函 数的集合三={F(x)+C|C∈R,称为f(x)在区间1 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的一个原函数. 在区间 (−,+) , Sin x 2 ,是 2 SinxCosx 的一个原函数; Cos x 2 − 也是 2 SinxCosx 的一个原函数等等. 因 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x arctg + = − + = , 可知： x arctg 1 是 2 1 1 + x 在 (0,+) 上的原函数, 也是 2 1 1 + x 在 (−,0) 上的原函数 注：一个函数在某区间 I 上是否存在原函数，这有侍下一章研究， 但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二) 原函数的性质 性质一： F(x),G(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数,则存在常数 c , 使得 G(x) = F(x) + c .或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常 数。 证明： F(x),G(x) 是 f (x) 在区间 I 上的两个原函数 x I, G(x) − F(x) 0 , ( ( ) ( )) 0 x I G x − F x C, x I, G(x) = F(x) + C . 性质二：若 F(x) 都是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 函数集合 = F(x) +C C R 是的所有原函数。 证明： 首先, C R , (F(x) C) = F(x) = f (x) + C R, F(x) + C ; 再者， x I, G(x) = f (x) C R, G(x) = F(x) + C f (x) G(x) . 重要结论： 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数 F(x) ,则 f (x) 在区间 I 上的所有原函数都可以写成 F(x) + c 的形式. 6-1-2 不定积分概念及性质 (一)不定积分定义: 如果 f (x) 在区间 I 上存在原函数,则所有原函 数的集合 = F(x) +C C R, 称为 f (x) 在区间 I
第六章不定积分 上的不定积分记作∫(x)d女或写成 f(x)dhx=F(x)+c(c∈R) (二)不定积分的性质 性质一:求不定积分是求导数微分的逆运算:即 (1)若f(x)有原函数, g /(x)dx)=f(x), ds(r)dx)=/(x)dx (2)若Wx∈l,F(x)可导,且导函数F(x)连续,则 「F(x)dk=F(x)+c,∫dF(x)=F(x)+ 定理:(不定积分运算的线性性)若f(x),g(x)有原函数,则 (1)[()+g(x)=(x)+∫8x)hk (2)若a≠0,则 af(x)dx=a/(x)d 例1:在区间(0,+∞),hx是一的原函数,∫-dtx=hx+c 在区间(-∞,0),h(-x)是一的原函数,∫dx=ln(-x)+c snx,x≥0 例2:设∫(x) 求∫(x)在区间(-∞+∞)上的不定 ,x<0 积分 解:在区间[0,+∞)上,cosx+c1是cosx的所有原函数 在区间(-∞,0)上,x2+c2是x的所有原函数.由于任 的数在区间内可导,当然连续,由此条件可知,只有当:1+C1=C2时, oS x+c F(x)+C1=1 x2+1 0 在区间(-∞,+∞)才连续可微,且处处有F(x)=f(x) 因此在区间(-∞,+∞)F(x)是f(x)的一个原函数且 Dax =f(x)+c 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 上的不定积分.记作 f (x)dx 或写成： f (x)dx = F(x) + c (c R) (二) 不定积分的性质 性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即 (1) 若 f (x) 有原函数, 则 ( f (x)dx) = f (x) , d( f (x)dx) = f (x)dx . （2）若 x I , F(x) 可导, 且导函数 F(x) 连续, 则 F(x)dx = F(x) + c , d F x = F x + c ( ) ( ) 定理: (不定积分运算的线性性) 若 f (x), g(x) 有原函数,则 （1） [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx (2）若 0 ，则 f (x)dx = f (x)dx 例 1: 在区间 (0,+) , ln x 是 x 1 的原函数, dx x c x = ln + 1 ; 在区间 (−,0) , ln( −x) 是 x 1 的原函数, dx x c x = ln( − ) + 1 ; 例2:设 − = , 0 sin , 0 ( ) x x x x f x ,求 f (x) 在区间 (−,+) 上的不定 积分. 解: 在区间 [0,+) 上, 1 cos x + c 是 cos x 的所有原函数; 在区间 (−,0) 上, 2 2 2 1 x + c 是 x 的所有原函数.由于任一原 函数在区间内可导，当然连续, 由此条件可知，只有当: 1 1 2 + c = c 时， + + + + = 1 , 0 2 1 cos , 0 ( ) 1 2 1 1 x c x x c x F x c 在区间 (−,+) 才连续可微, 且处处有 F(x) = f (x). 因此在区间 (−,+) F(x) 是 f (x) 的一个原函数.且 f (x)dx = F(x) + c
第六章不定积分 5-1-3基本积分表及凑微分法 由于求不定积分是求微分的逆运算,因此任何一个微分公式,反过 来就是一个求不定积分的公 (一)基本积分表 以下是基本初等函数微分公式变来的,称为基本积分表 (1)|=x+c C =h|x|+c(x≠0) (4∫aat=1 a>0,-∞<x<+∞) In a ∫ed=e'+c,(-m<x<+∞) (5)| Sinxdx=-Cosx+c,(-∞<x<+∞) (6) Cosxdx=Smx+c,(-∞<x<+∞) (7)Sec xdx= Tgx+c, Secx tgx dx= Secx +c (8)Csc2xdx=-Cotx+c Cecx Cotx dx=-Cscx arcsin x+ 1) arccos x+c d x (10) =nx+√ √x2±1 arctan x+c (11) (-∞<x<+∞) (12) d=hn|1+S+C**(-1<x<+1) 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 5-1-3 基本积分表及凑微分法 由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过 来就是一个求不定积分的公式。 (一) 基本积分表 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表. (1) dx = x + c (2) , ( 0) 1 1 1 + + = + x dx x c x (3) = x +c x dx ln | | ( x 0 ) (4) , ( 0, ) ln 1 = a + c a − x + a a dx x x = + , ( − +) e dx e c x x x (5) Sinxdx = −Cosx + c , ( − x +) (6) Cosxdx = Sinx + c , ( − x +) (7) Sec xdx = Tgx + c 2 , SecxTgx dx = Secx + c (8) Csc xdx = −Cotx + c 2 , CecxCotxdx = −Cscx + c (9) − + + = − x c x c x dx arccos arcsin 1 2 , ( −1 x 1 ) (10) x x c x dx = + + ln 1 1 2 2 **, (11) − + + = + arc x c x c x dx cot arctan 1 2 , ( − x +) (12) c x x x dx + − + = − 1 1 ln 2 1 1 2 **, ( −1 x +1)
第六章不定积分 例3求不定积分∫(3-x 解:∫(-x)-j0-6x+x)k=9x-3x2+x+c 例5求不定积分∫ 解:利用三角恒等式得到 coS 2x -(sin x+cos x) sIn x- cos x d=-∫ sin xdx- jcos xd 例6求不定积分∫√-Sm2x女 解:∫-Sm2xdk= Cosx-Sin)2dx= JSgn(Cosx-Sinx)(Cosx-Sinxydxr (SinxCosx).Sgn(Cosx-Sinx)+c (二)凑微分法(第一换元法) 凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定 积分中的运用。 dF(u)=f(u)dl,且u=q(x)连续可导 dF(o(x))=f((x))p(x)dx F(uu(x)dx= dF(u(x))=f(u(x)+C 即,F(q(x)就是f((x)p(x)的原函数因此得到结论 定理:(微分法)若∫f()m=F()+c,u=o(x)连续可导,则 f((x(x)dx= F(o(x))+c 例7求不定积分∫(3-x)d 解:令=3-x, ∫(-x)k=048-)=JnM=101(3 -x+c 例8:求不定积分 Sinx Cosxdx 解:令=Sin,则有 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 例 3 求不定积分 ( ) − x dx 2 3 解： ( ) − x dx 2 3 = ( − x + x )dx = x − x + x + c 2 2 3 3 1 9 6 9 3 例 5 求不定积分 − dx x x x sin cos cos 2 解:利用三角恒等式得到 (sin cos ) sin cos cos sin sin cos cos 2 2 2 x x x x x x x x x = − + − − = − − dx x x x sin cos cos 2 = −sin xdx− cos xdx = cos x −sin x +c . 例 6 求不定积分 1− Sin2x dx 解: 1− Sin2x dx = Cosx − Sinx dx 2 ( ) = = Sgn Cosx − Sinx (Cosx − Sinx)dx ( ) = (Sinx +Cosx) Sgn(Cosx − Sinx) + c (二)凑微分法(第一换元法) 凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定 积分中的运用。 dF(u) = f (u)du ,且 u = (x) 连续可导 dF((x)) = f ((x))(x)dx F u u x dx = dF u x = f u x + C ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) , 即， F((x)) 就是 f ((x))(x) 的原函数.因此得到结论: 定理:(凑微分法) 若 f u du = F u + c ( ) ( ) , u = (x) 连续可导，则 f x x dx = F x + c ( ( )) ( ) ( ( )) 例 7 求不定积分 ( ) − x dx 100 3 解：令 u = 3− x, ( x) dx u d( u) u du ( − x) + c − − = − = − = 100 100 100 101 3 101 1 3 3 例 8: 求不定积分 SinxCosxdx 解: 令 u = Sinx ,则有
第六章不定积分 SinxCosxdx=udu=_u2+c=-Sin2x+c Sinx Cosxdx=]Sinx d ( Sinx)=(Sinx)+c=)Sin@x+c jSinxCosxdx=-Cosxd(Cosx)=( Cosx)+c=3Cos'x+c ∫mc2h202+=2c2x+e 例9:求不定积分「nxd和[cotx 解: an xdx= sin x dx d(cos x) cos x 因为∫=hx+e,所以有 tan rdr=sf d(cos xr) -In cos x +c COS X 同样的方法可以得到 cotxdx= d (sin x) =hn sin x +c sIn x 凑微分法的基本思路是,先做小积分,即,使得 f(r)dx=g(u())u'(xdx=g(udu 凑成己有的积分公式g()h=Gax)+c形式 常用凑微分公式 dx=-,d(x“+b:ax= n+ h=a(2),=2(x) e'd=d(e),“=d(nx) Cosxdx=d(Sinx), Sinx dx=-d(Cos x dx=Sec'xdx=d(gr) CscExdx=-d Cos x 例10:求不定积分∫ecxx和 jcsc xdx COS x xdx dx d(sin x) COS x I-sin -x C In sec x +tan x+c 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 SinxCosxdx = udu = u + c = Sin x + c 2 2 2 1 2 1 ; SinxCosxdx = Sinx d(Sinx) = (Sinx) + c = Sin x + c 2 2 2 1 2 1 ; SinxCosxdx Cosx d(Cosx) (Cosx) + c = Cos x + c − = − = 2 2 2 1 2 1 ; SinxCosxdx Sin x dx Sin x d( x) c Cos x + c − = = + = 2 4 1 2 2 4 1 2 2 1 例 9: 求不定积分 tan xdx 和 cot xdx . 解: tan xdx = dx x x cos sin = − x d x cos (cos ) . 因为 u c u du = + ln | | ,所以有 tan xdx = − x d x cos (cos ) = −ln | cos x | +c 同样的方法可以得到: cot xdx = x d x sin (sin ) = ln |sin x | +c ⚫ 凑微分法的基本思路是，先做小积分，即，使得 f (x)dx = g(u(x))u (x)dx = g(u)du 凑成己有的积分公式 g(u)du = G(u(x) + c 形式。 ⚫ 常用凑微分公式： x dx d(x + b) + = +1 1 1 : d(ax b) a dx = + 1 ; ( ) 2 2 1 xdx = d x , d( x ) x dx = 2 ( ) x x e dx = d e , d( x) x dx = ln ; Cosxdx = d(Sin x), Sinx dx = −d(Cos x), dx Sec xdx d(tgx) Cos x = = 2 2 1 , dx Csc xdx d(ctgx) Sin x = = − 2 2 1 . 例 10: 求不定积分 sec xdx 和 csc xdx. 解: sec xdx − = = = x d x dx x x x dx 2 2 1 sin (sin ) cos cos cos c x x + − + = | 1 sin 1 sin ln | 2 1 = ln |sec x + tan x | +c
第六章不定积分 sec x(sec x +tgx) sec-x+Secx·lgx sec x+t sec x+ig sec x+ is 同样的方法可以得到 In csc x-cotx +c Cos dx 1 Sin-Cos g T8=InTg 例4:求不定积分 解:由于 Jdx=-[ 21+x1 In 1+x|= 1- In 例11:求∫ 解因为/如 arctan u+c,所以 =-arctan -+c xdx 1 -hn 1+x+c 1+x221+x x-arctex+c 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 sec xdx + + = x tgx x x tgx sec sec (sec ) dx x tgx x x tgx + + = sec sec sec 2 d( x tgx) x tgx + + = sec sec 1 = ln |sec x + tan x | +c 同样的方法可以得到 xdx = x − x +c csc ln | csc cot | ; csc xdx = = = 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 x d x Tg x Cos dx x Cos x Sin Sinx dx c x Tg x d Tg x Tg = + 2 ln 2 2 1 例 4:求不定积分 − 2 1 x dx 解:由于 ) 1 1 1 1 ( 2 1 1 1 2 x x − x + + = − , − 2 1 x dx = − + + = − + + = ] 1 1 [ 2 1 ] 1 1 1 1 [ 2 1 x dx x dx dx x x = c x x x x c + − + + − − + = | 1 1 ln | 2 1 ln |1 | 2 1 ln |1 | 2 1 例 11:求 + 2 2 a x dx . 解:因为 = + + u c u du arctan 1 2 ,所以 + 2 2 a x dx c a x a a x a x d a = + + = arctan 1 1 ( ) ( ) 1 2 . ( ) ( x ) c x d x x xdx = + + + + = + 2 2 2 2 ln 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) dx x arctgx c x dx x x x x dx = − + + = − + + − = + 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 = + + + dx ax bx c ex f
第六章不定积分 例12:求!r2 du 解:因为∫ = arcsin lt+c,所以 arcsin -+c 例13 =2 arct√x+c (1+x d 例14 arctge +c + 1-(e2) 例 dIn x =InIn x Inx J In x 例16 x 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 例 12:求 − 2 2 a x dx 解:因为 u c u du = + − arcsin 1 2 ,所以 − 2 2 a x dx c a x a x a x d = + − = arcsin 1 ( ) ( ) 2 例 13: ( ) ( ) arctg x c x d x x x dx = + + = + 2 1 2 1 2 例 14: ( ) arctg e c e de e e dx x x x x x = + + = + − 2 1 2 ( ) c e e e de e e dx x x x x x x + − + = − − = − − − 1 1 ln 2 1 1 2 例 15: x c x d x x x dx = = + ln ln ln ln ln 例 16: − + − = + + = + + x d x x x dx x x x dx x x 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 = c x x arc tg + − 2 1 2 1 2
