清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.3）复合函数微分法（课后作业）

第二章多元函数微分法 第二章多元函数微分学 第三节复合函数微分法 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 2-3-2方向导数与梯度 第四讲复合函数微分法 课后作业: 阅读:第二章第三节:pp.40--49 预习:第二章第四节:pp50--58 作业:第二章习题3:pp.49-50:1,(2,(3,(5);2;4;6;7;9 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 (一)任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决,例如, 对函数二= Xoos y,求与些是简单的: aaa COS yy J cos. (-)cos I-sin 2.sin 2 在求导中利用了中间变量u=x,y=2,z=f(u,y)= sin u cOs 及一元函数的复合函数求导公式 但是,若要研究像二=f(x,2)这样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则 (二)复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形:二=f(u,v), u=u(x,) v =v(x, 定理设二元函数=f(un,v)在点(V0)处偏导数连续, 二元函数u=l(x,y)v=v(x,y)在点(x0y0)处偏导数连续, 并且0=l(xo3y0)3vo=v(xoyo).则 复合函数z=f(u(xy),v(x,y)在点(x0,y0)处可微,且 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 第二章 多元函数微分学 第三节 复合函数微分法 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 2-3-2 方向导数与梯度 第四讲 复合函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第三节 : pp. 40----49 预习：第二章 第四节 : pp. 50---58 作业: 第二章 习题 3: pp.49---50 : 1,(2), (3, (5); 2; 4; 6; 7; 9. 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 (一) 任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决，例如， 对函数 x y y x z = sin cos ,求 y z x z     与 是简单的: x y x y x y y x y y x x z cos sin ( )sin 1 cos 2 =  − −   y x x x y x y y x y x y z sin 1 cos ( ) cos sin 2 =  − −    在求导中利用了中间变量 x y v y x u = , = ， z = f (u,v) = sin u cos v 及一元函数的复合函数求导公式. 但是,若要研究像 ( , ) x y y x z = f 这 样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则. (二) 复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形: z = f (u,v) ,    = = ( , ), ( , ), v v x y u u x y 定理 设 二元函数 z = f (u,v) 在点 ( , ) 0 0 u v 处偏导数连续， 二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处偏导数连续, 并且 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 u = u x y v = v x y . 则 复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微，且

第二章多元函数微分法 af(uo, vo )au(xo, yo) df(uo, vo)av(xo, yo) (x0,y0) ax uo, vo)auxo, yo), af(uo, vo)av(o, yo) 证明 ·因为函数f(u,y)在(ao,°0)处可微, A=f(u+△,v+Av)-f(l2°0) =△+△v+0(Pm) 其中pn=√(△)2+(△v)2 其中,pn=√(△x)2+(△y) 求的两个偏导数 △-=(xny3)=(xn+△x,y0)-=(xy) △+ f △v+o() r△+y△ (△n)2+(△A)2 △x (o, yo)a au. a a a ax aax 理可证: af au a a aay a a 由对u,v的偏导数和a,v对x,y偏导数的连续性可推知,z对 xy两个偏导数创连续性,从而证明了的可微性 (三),两点说明 关于复合函数求导公式的条件:在证明复合函数求导公式时,定 理用的条件是所给函数偏导数连续,即满足函数是C的条件:当 然可以用比较宽松,但实际上无用的条件:所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义,其证明过程长一点,但也没大的难度。 关于复合函数求导公式的矩阵表示 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式 (1)二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 (x,y) 则有 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) x v x y v f u v x u x y u f u v x z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( ) y v x y v f u v y u x y u f u v y z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   证明: ⚫ 因为函数 f (u,v) 在 ( , ) 0 0 u v 处可微， ( , ) ( , ) 0 0 z = f u + u v + v − f u v = ( ) o uv v v f u u f     +   +  = ( ) o uv v v f u u f     + 1   +  其中 2 2 ( u) ( v)  uv =  +  其中， 2 2 ( x) ( y)  xy =  +  ⚫ 求的两个偏导数: ( ) ( ) ( ) x z x x y z x y x z x y x  +  − =   0 0 0 0 0 0 , , , = ( ) x v o v f u u f uv   +   +     1 = ( ) x o x v v f x u u f uv  +    +       1 ( ) x o uv   1 = ( ) x u v o   +  2 2 ( ) ( ) 1 = (1) 0 0 2 2  ⎯⎯⎯→         +        x→ x v x u o ( ) x z x y   0 0 , = ( ) x z x y x x    → 0 0 0 , lim = x v v f x u u f    +      同理可证： ( ) y z x y   0 0 , = ( ) y z x y y y    → 0 0 0 , lim = y v v f y u u f    +      ⚫ 由 z 对 u, v 的偏导数和 u, v 对 x, y 偏导数的连续性可推知, z 对 x, y 两个偏导数创连续性，从而证明了 z 的可微性。 (三) ，两点说明 ⚫ 关于复合函数求导公式的条件：在证明复合函数求导公式时，定 理用的条件是所给函数偏导数连续，即满足函数是 1 C 的条件；当 然可以用比较宽松, 但实际上无用的条件：所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义，其证明过程长一点，但也没大的难度。 ⚫ 关于复合函数求导公式的矩阵表示： 下面用矩阵关系表示复合函数求导公式: (1) 二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示 ( ) ( )  ( )   = = = v v x y u u x y z f u v , , , , 则有：

第二章多元函数微分法 a(: af au af av af au af av au ax av ax Ou ay av ay auau ar a ax dy_() a(u,v) uc川araa(a)l(x,y) ay 因为 af(uo, vo) au(xo,yo). af(uo, vo)av(xo, yo flu av(xo, yo) 0()|a(u duo, vo)auxo, yo). fluo, vo) av(o, yo) Ov Ov(xo,yo) a(n)|)() a ax fluo, vo)auo,vo av( au 40,V0 (2)m中n自多元复合函数求导公式的矩阵表示 u, xI,x 7=i()或{n=n2(x,x2,…x 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) (x y) z  ,  =         y z x z     = .             +         +     y v v f y u u f x v v f x u u f                               = y v x v y u x u v f u f = ( ) ( ) ( ) ( )       x y u v u v f , , , 因为： ( ) ( ) ( ) ( ) x v x y v f u v x u x y u f u v x z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( )                           = x v x y x u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , u v x y x u v u v f      ( ) ( ) ( ) ( ) y v x y v f u v y u x y u f u v y z x y      +      = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , , , , 0 0   ( ) ( ) ( ) ( )                           = y v x y y u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , u v x y y u v u v f      ( ) ( ) ( ) 0 0 , , x y x y z   = ( , ) 0 0 x y y z x z             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                               = y v x y x v x y y u x y x u x y v f u v u f u v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , , u v x y x y u v u v f      (2) m 中 n 自多元复合函数求导公式的矩阵表示 ( , , , ), u1 u2 um y = f  ( ) ( ) ( )  ( )       = = = = m m n n n u u x x x u u x x x u u x x x u u x , , , , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2        或 则有： (x) y    = ( ) ( ) ( ) (x) u u f        

第二章多元函数微分法 y y 0(x (3)m中n自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示 fr(u 12=l2 则有: aF- aF a( 因为 a a(u a( of (x) au, 0000 fx: axn)kan of u, ou x Ofk afk ll, x aF ali 当只有一个自变量时,得到以下重要推论 推论设y=∫(a)=f(u42…,un)可微, i=i()=(a()…,u()可微,则 =0 dt af ai) (a) 例1已知y=() dy 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 (x) y    = ( ) n x x x y , , ,  1 2   =             n x y x y x y   1 2  = ( ) ( ) ( ) ( ) n m m x x u u u u f , , , , , , 1 1 1         = ( ) ( ) ( ) (x) u u f         (3) m 中 n 自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示 ( ) ( ) ( )           = = k m m f u u u f u u u Y F u , , , , , , 1 2 1 1 2     ( ) ( ) ( )  ( )       = = = = m m n n n u u x x x u u x x x u u x x x u u x , , , , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2        或 则有： (x) F    = ( ) ( ) (x) u u F         , 因为： (x) F    = ( ) ( ) n k x x f f , , , , 1 1     = k n n k k n x f x f x f x f                               1 1 1 1 = k n n m m n k n m k k m x u x u x u x u u f u f u f u f                                                              1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) n m n m m k m k x x u u u u f f                        , , , , , , , , 1 1 1 1     = ( ) ( ) (x) u u F         . 当只有一个自变量时,得到以下重要推论: 推论 设 ( ) ( , , ) u1 um y f u f   = = 可微， ( ( ) ( )) T m u u(t) u t , ,u t 1    = = 可微，则 dt du u f dt dy i m i i =  = 1 = ( ) ( ) t u u f        例 1 已知 ) 1 ( 1 x y x − = ，求 dy dx

第二章多元函数微分法 解考虑二元函数y=l,=-, 应用推论得 =2血+h d x +(n u ) u 例2设二=∫(xy,-),∫二阶连续可微,求 u=xy, f=2,f2 fMl f1=f2 则 ax aa aa-V5'+7 f2 ar au aa 特别要注意的是 都是u,v的函数,所以 可)=2()+2() af 1 af vat a,yJ aaaaaaaa af. af )f+1 将以上两式代入前式得 x2=yfn+2f12+1 例3设二=(x,y)二阶连续可微,并且满足方程 2B 若令 u=stay v=x+By 试确定a,B为何值时能变原方程为 0 解将x,y看成自变量,,v看成中间变量,利用链式法则得 ax Ou ax Ov ax Ou av (Ou av 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 解 考虑二元函数 v y=u , u x v x = = − 1 1 , ，应用推论得 . dx dv v y dx du u y dx dy     = + (1 ln ). 1 1 (ln ) 1 1 2 2 2 1 x x x u u x v u x v v  −      + = − − − 例 2 设 z f xy x y = ( , )， f 二阶连续可微，求 x z 2 2   . 解 记 , , , , 1 2 v f f u f f y x u xy v     = =  =  = , , , 2 2 12 21 2 2 22 2 11 v u f f f v f f u f f         =  =  =  = 则 ( ). 1 ( ) ) 1 ( ) ( , 1 2 1 2 1 2 v f u y x f x y f y yf x x z x x z f y y f x v v f x u u f x z                           = + = = +  = + = +  特别要注意的是：     f u f v , 都是 u,v 的函数，所以 x v u f x v u u f u u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 11 12 2 2 2 1 1 f y y f u v f u y f y =  +   +     x v v f x v u v f v u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 2 11 22 2 2 1 1 f y y f v f u v y f y =  +   +     将以上两式代入前式得 f y y f f x z =  +  +  11 12 2 22 2 2 2 1 2   例 3 设 z = z(x, y) 二阶连续可微，并且满足方程 2 0 2 2 2 2 2 + =  − + y z C x y z B x z A       若令 ,    = + = + v x y u x y   试确定 ,  为何值时能变原方程为： 0 2 =    u v z . 解 将 x,y 看成自变量， u, v 看成中间变量，利用链式法则得 z v u v z u z x v v z x u u z x z         +   =   +   =     +     =   ;

第二章多元函数微分法 a: 0v=a+Balaa +B +2aB av2 ay auav B-s a2= aaz B (a+B)-+B B 由此可得 0=A +2B-+C xoy 8 (4+Bax+ca)92+4+B(a+)+Ca)0三+ 只要选取α,B使得 A+2Ba +ca2=0 0 问题成为方程A+2Bt+Ct2=0有两不同实根,即要求: B2-AC>0 令a=-B+√B2-AC,B=-B-√B2-AC,即可 a/az 此时 =0三 auoy )→=「h+() ==fu)+g(v)=f(x+a)+g(x+B, u,=x, cosx2+(,+x y1=l1l2-l12 例4已知Y u,=x, sin x2+x,x2 Uill 试求2(,),并计算2(y2 O(x1,x2) 解由复合函数微分法得 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 z v u v z u z y v v z y u u z y z         +   =   +   =     +     =       ; z v u v z u v z u z v z u z x x z 2 2 2 2 2 2 2 2 2         +   =   +    +    =        +     =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v z u v z u z v z u z y y z   +    +    =        +     =         z u v 2         +   =   ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u v z u z v z u z x y x z   +    + +    =        +     =          = z u v u v         +           +     由此可得 2 2 2 2 2 0 2 y z C x y z B x z A       +  = − + = = ( ) ( ( ) ) +    + + + +   + + u v z A B C u z A B C 2 2 2 2 2   2     + ( ) 2 2 2 2 v z A B C   +  +  只要选取 ,  使得     + + = + + = 2 0 2 0 2 2     A B C A B C , 0 2 =    u v z . 问题成为方程 2 0 2 A+ B t +Ct = 有两不同实根，即要求： 0 2 B − AC  . 令 = −B + B − AC 2  , = −B − B − AC 2  ,即可。 此时， 0 2 =    u v z  0 2 =    u v z   = 0          v z u  (v) v z =     z = (v)dv + f (u)   z = f (u)+ g(v) = f (x +y)+ g(x + y) 例4 已知     = − = − = 2 2 1 3 2 1 1 2 1 3 y u u u y u u u u Y ， ( )      = − + = + = + + 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin cos u x x x x u x x x x u x x x x ， 试求 x y x x 1 1 1 2   ( , ) ,并计算 (1,0) 1 2 1 2 ( , ) ( , ) x x y y   . 解 由复合函数微分法得

第二章多元函数微分法 av ax 2(x1+x2) +1(snx1+x2)-l1(2x1-x2) 由复合映射的微分法得 (1,y2)(y,y2)(a4,l2,l2) (x1,x2)O(u1,l2,u3)O(x1,x2) coS x2+2(x+x2)-x,sn x2+2(x1+x2 l2-l3 l, lI sin x2+x 当(x1,x2)=(1,0)时,(a,l,l)=(2,0,1),于是 (y,y2)|(yn,y2) ( 2(x,x2)(0a(m,2,)(a0.a(x,x) 74 02 102 70 由此又可以得到,当x1=1,x2=0时 VI V 7,=4, y3 V2 例5假设L是一条空间曲线,它的参数方程为 ( W=F 其中(a≤t≤B) 则由此确定了一个映射F:[a,B]cR→R3 在任意一点to∈[a,B,这个映射的 Jacobi矩阵是 t (x,y,=) t t x(t0) 这是一个三维列向量若令y-y()/y( (t0) t 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 . 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x u u y x u u y x y     +     =   = (u1 −u2 )[cos x2 + 2(x1 + x2 )]+ (sin ) (2 ). 1 1 2 1 1 2 + u x + x −u x − x 由复合映射的微分法得 ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 x x u u u u u u y y x x y y       = =           − − + + + + − + +         − − − 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 2 sin cos cos 2( ) sin 2( ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x u u u u u u u 当 ( , ) (1,0) x1 x2 = 时， (u1 ,u2 ,u3) = (2,0,1) ，于是      − =           −      − − = = 7 0 7 4 2 1 0 2 3 2 1 0 2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 3 2 0 1 1 2 3 1 2 1 0 1 2 1 2 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x u u u u u u y y x x y y       由此又可以得到，当 x1 =1, x2 = 0 时, 7, 4, 7, 0. 2 2 1 2 2 1 1 1 = − = = = x y x y x y x y         例 5 假设 L 是一条空间曲线，它的参数方程为 ( ) ( ) ( ) ( )      = = = = = z z t y y t x x t w F t  其中 (  t   ) 则由此确定了一个映射 1 3 F :[,  ]  R → R . 在任意一点 [ , ] t0   ，这个映射的 Jacobi 矩阵是 t t z t y t x t t x y z 0 0 ( , , )                   =         这是一个三维列向量.若令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 t t t z t t y t t x t z z t y y t x x t −                   =           − − −      

第二章多元函数微分法 则这是一个由R到R3的线性映射,称这个线性映射为映射F在t处 的微分映射 映射F的像是R3空间中的一条曲线,其微分映射的像则是R3空 间中的一条直线,两者具有公共点M(x(1o),y(1o),z(1o)且在此点相 切.该直线就是曲线L在点M的切线 x=x(uv 假设S是空间曲面,其参数方程为{y=y(u,)(u,)∈Dn) .1 是一个F:DmcR2→R的映射.在任意一点(un,w)∈Dn,其 a a cobi矩陈aya a a aa 若令y-y(u0, MO,rON 它是由R2到空间R3的一个线性映射,称为映射F在(h1)处的微 分映射 映射F的像是R3空间中的一张曲面,而其微分映射的像则是R 空间中的一张平面,两者具有公共点(x(21),y(Ln,w),=(42))且 在此点相切.这个平面称为映射(11.2.22)在(1,)处的切平面 2-3-2方向导数与梯度 (一)函数沿一方向上的变化,方向导数 方向导数定义:f:DcR”→R,给定∈D,方向T∈R 单位向量l 7/P 若极限 (+10)-/(元) 存在,则称之为函数∫在x0点,沿l的方向导数,记 /()2m,/n+1)-/6) 方向导数计算:若∫∈C(D,给定x∈D,方向l∈R”,则 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 则这是一个由 R 1 到 R 3 的线性映射，称这个线性映射为映射 F 在 t 0 处 的微分映射. 映射 F 的像是 R 3 空间中的一条曲线，其微分映射的像则是 R 3 空 间中的一条直线，两者具有公共点 M ( ( ), ( ), ( )) x t0 y t0 z t0 且在此点相 切.该直线就是曲线 L 在点 M 的切线. 假设 S 是空间曲面，其参数方程为 (( , ) ) ( , ) ( , ) ( , ) u v D z z u v y y u v x x u v  uv      = = = 是一个 2 3 F : Duv  R → R 的映射. 在任意一点 u v Duv ( , ) 0 0 ，其 Jacobi 矩阵是 ) 0 , 0 (u v v z u z v y u y v x u x                             若令 ( ) ( ) ( )         − −                  =           − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 0 , 0 ( , , , v v u u v t z u z v t y u y v x u x z z u v y y u v x x u v u v           它是由 R 2 到空间 R 3 的一个线性映射，称为映射 F 在 (u0 ,v0) 处的微 分映射. 映射 F 的像是 R 3 空间中的一张曲面，而其微分映射的像则是 R 3 空间中的一张平面，两者具有公共点 (x(u ,v ), y(u ,v ),z(u ,v )) 0 0 0 0 0 0 且 在此点相切.这个平面称为映射(11.2.22)在 (u0 ,v0) 处的切平面. 2-3-2 方向导数与梯度 (一) 函数沿一方向上的变化, 方向导数 ⚫ 方向导数定义： f D R R :  n → ,给定 x0  D  ,方向 n l  R  , 单位向量 l l l    0 = , 若极限 ( ) ( ) t f x t l f x t 0 0 0 0 lim    + − → 存在, 则称之为函数 f 在 0 x  点，沿 l  的方向导数, 记 ( ) l f x   0  = ( ) ( ) t f x t l f x t 0 0 0 0 lim    + − → ⚫ 方向导数计算: 若 f C (D) 1  ,给定 x  D  ,方向 n l R  , 则

第二章多元函数微分法 ( grad f(G)y·l Cx 或/()-21(sa 其中,b=7==(,…,),cosa l ∑ 证明:()=八(+1,则有,/O)=() +tl dt /() lim (+1b)=/(2m(0- lim x 特别是二、三维空间中 R af(x l (x,y) cos 8+ 6 ay cosC I R af(x, y al (grad f(r,y, =)cos B coSy osa cos B (二)梯度 定义:f:D R,给定x∈D,向量 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) l f x    = ( ) 0 l x f x       = ( ( )) 0 grad f x l T    , 或 ( ) l f x    = ( ) =   n i i i x f x 1 cos  , 其中， ( ) T n n i i l l l l l l , , 1 1 1 1 2 0     = = = , i n l l i i cos =  , = 1,, . 证明： ( ) ( ) 0 t f x tl    = + , 则有， ( ) f (x)   0 = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 l x f x dt df x t l t        = +  = =  ( ) l f x    = ( ) ( ) t f x t l f x t    + − → + 0 0 lim = ( ) ( ) t t t 0 lim 0  − → + = ( ( ) t o(t)) t t   + → + 0 1 lim 0  =(0) = ( ) 0 l x f x       特别是二、三维空间中: ( ) ( ( ))         =     sin cos , , : 2 T grad f x y l f x y R = ( ) ( )  sin  , cos , y f x y x f x y   +   ( ) ( ( ))           =      cos cos cos , , , , : 3 T grad f x y z l f x y z R ( ) T l cos cos  cos 0 =  , 且 cos cos cos 1 2 2 2  +  +  = 。 (二) 梯度 ⚫ 定义： f D R R :  n → ,给定 x0  D  ,向量

第二章多元函数微分法 grud/(x。)= af() x x 称为函数∫在点的梯度,记号是grad/(0) 性质:∫:D∈R→R,给定x∈D,向量 (1)函数∫在x点,沿/的方向导数,是该点梯度在方向上的投影,即 a/(元) al=grad().1o (2)设函数∫在点可微,则其梯度,其方向特性是 (A)沿梯度方向/= grad f()的方向导数最大,即沿梯度方向函 数增加最快; B)沿负梯度方向=-gudf()的方向导数最小,即沿负梯 度方向函数减少最快,称为最速下降方向 其模的特性是:等于该点最大方向导数之值。 证明:取=—1 Grad fG grad/( b=8/()1=8)gd/(c ∂∫(x) Igrado =grad fo) 特别是二、三维空间中 在R2中函数f(x,y)的梯度是 af(x,y) af(r,y)a(x, y) a(x,y) 在R中函数∫(x,y)的梯度是 g/(x少)=/y(xy,=)9(x.)9(x.=)0(xy:) 第三节复合函数微分法

第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) T n x f x x f x x f x grad f x           =                   =       1 0 , 称为函数 f 在 0 x  点的梯度, 记号是 ( ) 0 grad f x  . ⚫ 性质： f D R R :  n → ,给定 x0  D  ,向量 (1) 函数 f 在 0 x  点，沿 l  的方向导数, 是该点梯度在方向上的投影，即 ( ) ( ) 0 0 0 grad f x l l f x    =    ; (2) 设函数 f 在 0 x  点可微，则其梯度, 其方向特性是： (A) 沿梯度方向 ( ) 0 l grad f x   = 的方向导数最大, 即沿梯度方向函 数增加最快; (B) 沿负梯度方向 ( ) 0 l grad f x   = − 的方向导数最小, 即沿负梯 度方向函数减少最快, 称为最速下降方向。 其模的特性是：等于该点最大方向导数之值。 证明： 取 ( ) ( ) 0 0 0 1 grad f x grad f x l    = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 grad f x grad f x grad f x grad f x grad f x l l f x        =  =  =   特别是二、三维空间中: 在 2 R 中函数 f (x, y) 的梯度是: ( ) ( ) ( ) T y f x y x f x y grad f x y             = , , , = ( ) (x y) f x y , ,   ; 在 3 R 中函数 f (x, y,z) 的梯度是: ( ) ( ) ( ) ( ) T z f x y z y f x y z x f x y z grad f x y z               = , , , , , , , , = ( ) (x y z) f x y z , , , ,  