清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.4）隐函数微分法

第二章多元函数微分法 第二章第四节隐函数微分法 2-4隐函数与隐函数的导数 24-1隐函数求导 2-4-2隐函数存在性问题 辅导课事宜 班级 助教姓名助教住址助教电话 自2,自22,电机系(7),张靖22-412 62776299 计算机科学系(3),医学院(6) 13661167656 自23,自24,其他系(15)张李军20-304 62775069 自25,自26,自27 陈明11-115 62776447 13520608666 班级 助教姓名 时间 上课地点 计机科学系(3,医学院张第|星期4|四教 自25,自26,自27 陈明 星期二(5)|四教4209 3自23,自24,其他系(15) 张李军 星期二(4)四教4203 第五、七、九、十一、十三、十五、周上课 第五讲隐函数和隐函数微分法 课后作业: 阅读:第二章第四节:pp.50-56 预习:第二章第四节43:pp.56-58;第五节52:pp.60-63 作业:第二章习题4:pp.58-59:1;2;3;4;5. 2-4隐函数与隐函数的导数 隐函数问题的提出 设F是一个二元函数,对于方程 F(x,y)=0, 如果在区间(a,b)中的所有的x,都存在唯一的y,使得(x,y)满足上述 方程,即有 F(x,f(x)=0(Vx∈(a,b) 那么就说:由方程F(x,y)=0确定了(a,b)上的一个隐函数 (implicit function) y=f(x) 要注意的是,并非任何二元方程都能确定隐函数。首先,方程可 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 第二章 第四节 隐函数微分法 2-4 隐函数与隐函数的导数 2-4-1 隐函数求导 2-4-2 隐函数存在性问题 辅导课事宜 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--412 62776299 13661167656 2 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 20--304 62775069 3 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 11--115 62776447 13520608666 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 星期二(4) 四教 ? 2 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 星期二(5) 四教 4209 3 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 星期二(4) 四教 4203 第 五、七、九、十一、十三、十五、周上课 第五讲 隐函数和隐函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第四节 : pp. 50---56 预习：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题 4: pp. 58---59 : 1; 2; 3; 4; 5. 2-4 隐函数与隐函数的导数 隐函数问题的提出 设 F 是一个二元函数，对于方程 F(x, y) = 0, 如果在区间 (a,b) 中的所有的 x ，都存在唯一的 y ，使得 (x, y) 满足上述 方程, 即有 F(x, f (x))  0 (x(a,b)). 那 么 就说 : 由 方程 F(x, y) = 0 确定了 (a,b) 上 的一 个隐函数 (implicit function) y = f (x)。 要注意的是，并非任何二元方程都能确定隐函数。首先，方程可

第二章多元函数微分法 能无解;即使这个方程的(x,y)构成的集合不是空集,那么由这个方程 就可以确定变量x与y之间的一种对应关系,但不一定能构成函数关系, 也就是说,不一定能表示为y对于x(或者x对于y)的单值对应关系 y=y(x)。这就是所谓隐函数存在性问题 在几何上,这个问题是:设z=F(x,y是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先,方程F(x,y)=0是否有解?在几何上就是:这张曲面与坐标 平面z=0是否有交? 其次,若有交,交集是否确定xoy平面上的一条曲线?如果能,这条 曲线能否表示为y=f(x)(或者x=x(y).如果不能整个地表示为 y=f(x)(或者x=x(y),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y=f(x)(或者x=x(y)? 例如考察圆周C:x2+y2=1,显然,整个圆周既不能表示为 y=f(x),也不能表示为x=x(y).但是 在点(0,1)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为y=1-x 在点10)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为x=√1-y2 对于隐函数问题,首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性?它的定义域如何确定? 2.如何通过已知函数F(x,y)的性质去研究隐函数y=f(x)的性 质,如连续性,可微性等 3.如何计算隐函数的(偏)导数与(全)微分? 2-4-1隐函数求导 我们先假设隐函数存在,且可导,来讨论求导问题 若函数y=y(x),由方程F(xy)=0确定,求导之函数? 按隐函数定义有恒等式: F(x,y(x)=0→2F(x,yx) =F(x, y(x))+F(x,y(x))y(x)=0 Flx, y F'(x,y(x)) 从这是可见:函数y=y(x)可导有一个必要条件是,Fy(xy)≠0 例1已知函数y=f(x)由方程 ax+by=/x2+y2)ab是常数, 求导函数 若函数y=y(x),由方程F(G,y)=0确定,求导之函数 将y看作是x1“…,xn的函数y=y(x)=y(x1yx),对于方程 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 能无解；即使这个方程的 (x, y) 构成的集合不是空集, 那么由这个方程 就可以确定变量 x 与 y 之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系， 也就是说,不一定能表示为 y 对于 x (或者 x 对于 y )的单值对应关系 y = y(x) 。这就是所谓隐函数存在性问题。 在几何上,这个问题是：设 z = F(x, y) 是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先，方程 F(x, y) = 0 是否有解？在几何上就是: 这张曲面与坐标 平面 z = 0 是否有交？ 其次，若有交，交集是否确定 xoy 平面上的一条曲线? 如果能,这条 曲线能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ). 如果不能整个地表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) )? 例如考察圆周 C : + =   x y ,显然,整 个圆周既 不能表示为 y = f (x) ,也不能表示为 x = x( y) .但是 在点 (0,1) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  y = −x ； 在点 (,) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  x = −y . 对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？ 2.如何通过已知函数 F(x, y) 的性质去研究隐函数 y = f (x) 的性 质，如连续性，可微性等. 3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？ 2-4-1 隐函数求导 我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题. ⚫ 若函数 y = y(x), 由方程 F(x, y) = 0 确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式： F(x, y(x))  0  F(x, y(x)) = 0 dx d  Fx (x, y(x))+ Fy (x, y(x)) y (x) = 0  ( ) ( ( )) F (x y(x)) F x y x y x y x , ,    = − 从这是可见：函数 y = y(x) 可导有一个必要条件是， Fy (x, y)  0 . 例 1 已知函数 y = f (x) 由方程 ( ), , 2 2 ax + by = f x + y a b 是常数， 求导函数。 ⚫ 若函数 y y(x)  = , 由方程 F(x, y) = 0  确定，求导之函数？ 将 y 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) 1 n y = y x = y x x  ,对于方程

第二章多元函数微分法 F(xmxmn,y(x,n))=0 两端分别关于x求偏导数得到 aF(x,xn,(x1…x,)=2+=0 由这个方程求解 f 就可以得到所得公式 y F'(x, ax F,y) 例2方程x2+y2+x2-1=0在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z=(xy)?在隐函数存在之处求, 解取F(x,y)=x+y2+=2-1,因为=2=,所以只要 二≠0,根据定理113.2,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数 二=二(x,y),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为〓=x(x,y).这个隐函数z=(x,y)定义在(x,y)的某个邻域 中,并且有 = 全=-t/=-y ay aa 2=2()=2 aa ax 当y≠0时,在点(x,y,z)的某个邻域中存在隐函数y=y(,x) 也就是说,该球面在点(x,y,=)某个邻域中的一小片可以表示为 y=y(x,x).这个隐函数定义在(,x)的某个邻域中 同样,当x≠0时,在点(x,y,=)的某个邻域中存在隐函数 x=x(y,),也就是说,该球面在点(x,y,)某个邻域中的一小片可以 表示为x=x(y,=).这个隐函数定义在(y,)的某个邻域中 若向量函数予=()=(v(x)…,yn(x),由方程组 f(x,y)=f1( yn)=0 F(x,y)=0即 确定 U/(,y)=f(x1…xn片,…,ym)=0 求向量函数=y()=((x)…,yn(x)之导函数? 将y1”yn看作是x1”…x的函数y=y(x)=y(x1…xn),则 (x,y1(x)…,ym2(x) F2(xy…,ym(x)=0或F(,)=0 Fm(x,y,(r)y()=0 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 F(x1 ,...,x n , y(x1 ,...,x n )) = 0 两端分别关于 i x 求偏导数得到 1 ( 1 ,..., , ( 1 ,..., )) = 0     +   =   i i n n i x y y F x F F x x y x x x 由这个方程求解 i x f   ,就可以得到所得公式 ( ) F (x y) F x y x y y x i i , ,     = −   . 例 2 方程 1 0 2 2 2 x + y + z − = 在哪些点的邻域中能够确定隐函数 z = z(x, y) ?在隐函数存在之处,求 2 2 , , x z y z x z       . 解 取 ( , , ) 1 2 2 2 F x y z = x + y + z − ， 因为 z z F = 2   ，所以只要 z  0 ,根据定理 11.3.2,在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 z = z(x, y) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 z = z(x, y) . 这个隐函数 z = z(x, y) 定义在 (x, y) 的某个邻域 中,并且有 z x z z x z z x z x x x z x x z z y z F y F y z z x z F x F x z 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) / , / + = − − = = − = − = − = − = − = −                       当 y  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 y = y(z, x) , 也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以表示为 y = y(z, x) . 这个隐函数定义在 (z, x) 的某个邻域中. 同样, 当 x  0 时, 在点 (x, y,z) 的某个邻域中存在隐函数 x = x( y,z) ,也就是说,该球面在点 (x, y,z) 某个邻域中的一小片可以 表示为 x = x( y,z) . 这个隐函数定义在 ( y,z) 的某个邻域中. ⚫ 若向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = , 由方程组 F(x, y) = 0    即 ( ) ( ) ( ) ( )      = = = = , , , , , 0 , , , , , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 n m n m f x y f x x y y f x y f x x y y          确定， 求向量函数 ( ) ( ( ) ( )) T m y y x y x , , y x 1    = = 之导函数？ 将 m y ,...,y 1 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) i i i 1 n y = y x = y x x  ,则           ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 0 1 2 1 1 1 F x y x y x F x y x y x F x y x y x m m m m           或 F(x, y)  0   

第二章多元函数微分法 分别对每一个方程的两端求关于x偏导数,得到 aF,(x, y,(),.m()aF, *aF, ay, aFm(x,y,(x) aF aF aF ay OF ay ay ax ay ay ay ax ax 0, oym八(ax1)(ax +. 解这个方程组得到 ay=aF aF df aF, aF aF ay ay ax Oy, Oy ay aF 如果从向量函数的方程F(x,y)≡0出发,用向量函数的导数则在记号上 很简单,而且与二元方程隐函数公式很相似。 F aF (,y)=0 或者 aFaF ay 可(aFaF av OF aF OFI 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 分别对每一个方程的两端求关于 i x 偏导数,得到          =     +   =   =     +   =     = = 0 ( , ( ),..., ( )) 0 ( , ( ),..., ( )) 1 1 1 1 1 1 1 m j i j j m i m i m m m j i j i i j m x y y F x F x F x y x y x x y y F x F x F x y x y x        0 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 =                           +                                                                  i i i i m i i m m m m m m x F x F x F x y x y x y y F y F y F y F y F y F y F y F y F          , 即 = 0      +   i i x y y F x F     解这个方程组得到 i i x F y F x y             = −   −     1 即                                                                 = −                            − i i i m m m m m m i m i i x F x F x F y F y F y F y F y F y F y F y F y F x f x f x f 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1          如果从向量函数的方程 F(x, y)  0    出发，用向量函数的导数则在记号上 很简单，而且与二元方程隐函数公式很相似。 F(x, y)  0     = 0      +   i i x y y F x F      i i x F y F x y              =   −     1 或者  = 0      +   x y y F x F        x F y F x y                    =   −1 即                                                  = −                         − n n m m m m n m m n x F x F x F x F y F y F y F y F x y x y x y x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               

第二章多元函数微分法 由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是: ay ay, ay 存在台Del OF aF aF = m 例3设函数x=x(),y=y()由方程组 x2+y2+z2-1=0 确定,求虫 1=0 d= dz 「F(xy,=)=x2+y2+2-1 G(x,yz)=x2+2y2- 由于(F)2x2y det O(F,G) a(x,y)[2x4 因此只要点(x,y,z)满足F(x0,y20)=G(x0,y02z0)=0且 x0y≠0,那么在二的某个邻域中就存在隐函数x=x(=),y=y(), 得到 (F,G)、(F,G o(x, y) 14 112yz 2x2. 2 由此得到 dx dy dz x=u coS 1 例4已知函数z=(xy)由参数方程:{y=sm给定 二=l 试求丝,些 aa 解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法 x,y是自变量,u,v是中间变量(an,v是x,y的函数), 先由二=得到 az 0= ou az ay ou a Ox Quax avox o 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是： 1 1 1 1 1 −                         m m m m y F y F y F y F      存在  0 1 1 1 1                          m m m m y F y F y F y F Det       m y F y F y F y F Rank m m m m =                              1 1 1 1 例 3 设函数 x = x(z), y = y(z) 由方程组    + − − = + + − = 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 确定， 求 dz dy dz dx , . 解 令 2 1 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2     = + − − = + + − G(x,y,z) x y z F x y z x y z . 由于 x y x y F G x y x y x y F G 4 ( , ) ( , ) , det 2 4 2 2 ( , ) ( , ) =       =     因 此 只 要 点 0 0 (x , y ,z0) 满 足 ( , , ) ( , , 0 ) 0 0 0 0 0 0 F x y z = G x y z = 且 0 0 0 x y  ，那么在 z0 的某个邻域中就存在隐函数 x = x(z), y = y(z)， 得到 z F G x y F G dz dy dz dx     ( , ) ) ( , ) ( , ) ( −1 = −           =       − = −       −       − − − x z yz z x y z x x y y x y 8 12 4 1 2 2 2 2 4 2 4 1 由此得到 y z dz dy x z dz dx 2 , 3 = = − . 例 4 已知函数 z = z(x, y) 由参数方程:      = = = z uv y u v x u v sin cos 给定 ，试求 y z x z     , . 解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. x, y 是自变量, u, v 是中间变量( u, v 是 x, y 的函数), 先由 z =uv 得到 x v u x u v x v v z x u u z x z               = + = +

第二章多元函数微分法 o= oz ou 0za =1-+l ay oudy 0vay ay ay l2y是由方程 =u(x, y) 的x,y的隐函数,在这两个等式两 v(x, y) 端分别关于x,y求偏导数,得 I= cost uSIn y av o=cosy au_usin y av 0=sin you+ucos l=sin vou+uCos 将212,2,作为未知数解上述方程组,得到 ox ay sin u cu CoS1 =COS y ax ax 将这个结果代入前面的式子,得到 0- auu a vcoSv-sIn v sin y+ CoSy 例5设有两个可微的三元函数F(x,y,z),G(x,y,),方程组 ()」F(x,y,)=0 IG(x,y, 3)=0 是否表示一条曲线?如果是一条曲线,那么这条曲线能否整个地 表示成 二(x) +(1或者/x=x() y=y(=) 解:(1)首先,必须至少有一个点M(x0,y0,=0)满足方程(*) (2)其次,如果在点M(x0,y02=0)的行列式满足 aFaF 0 aGaG 则根据隐函数定理,在点M(x02y0,=0)的某个邻域中存在两个隐函 数y=y(x),z=-(x).这两个函数在点x0的某个邻域中(a,b)定义 于是得到一条曲线L:{y=y(x) 二=(x) 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 y v u y u v y v v z y u u z y z               = + = + u,v 是由方程    = = ( , ) ( , ) v v x y u u x y 的 x, y 的隐函数，在这两个等式两 端分别关于 x, y 求偏导数，得        +   =   −   = x v u v x u v x v u v x u v 0 sin cos 1 cos sin ，        +   =   −   = y v u v y u v y v u v y u v 1 sin cos 0 cos sin 将 y v x v y u x u , , ,         作为未知数解上述方程组，得到 u v x v v y u u u x v v x u cos , sin , sin cos , =   =  −  =   =   将这个结果代入前面的式子, 得到 v v v x v u x u v x z = − = cos − sin       v v v y v u y u v y z = + = sin + cos       . 例 5 设有两个可微的三元函数 F(x, y,z),G(x, y,z), 方程组 (*)    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 是否表示一条曲线? 如果是一条曲线, 那么这条曲线能否整个地 表示成    = = ( ) ( ) z z x y y x (    = = ( ) ( ) x x y z z y 或者    = = ( ) ( ) y y z x x z )? 解： (1) 首先, 必须至少有一个点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 满足方程(*). (2) 其次, 如果在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 的行列式满足  0                     z G y G z F y F 则根据隐函数定理, 在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 的某个邻域中存在两个隐函 数 y = y(x),z = z(x). 这两个函数在点 0 x 的某个邻域中 (a,b) 定义. 于是得到一条曲线      = = = ( ) : ( ) z z x y y x x x L

第二章多元函数微分法 由于有y0=y(x0),=0=(x0),所以该曲线通过点M(xo2y0,=0) aFaF 同样地当 ≠0或者 aGaG Ga/0时 a or o] 方程组(*)可以在M(xoy03=0)某邻域内,确定通过该点的一条曲线 L:{==(y)或者L:{x=x(-) x(y) y=y(二) z=f(x, v,u, t) 例6函数a=以(x,y)由方程{g(y,z)=0确定,求望0n ax’a h(z,)=0 解:函数关系分析:5(变量)-3(方程)=2(自变量) 函(n),二自(x,y),二中(乙t) aua∫auaf,afx,afat ax ax ayay 88y at ay aa a g a(g, h) ar 0(z,r) ag az az 8faha∫h) au af,(at az az at ay ay ay ag ah ag ah az at at az 2-4-2隐函数存在性证明 ()隐函数存在性定理的结果及证明思路 隐函数定理可以用映射的语言写成统一的形式(隐映射定理) 定理1设二元函数F(x,y)在点(x0,y)∈R2的某个邻域U中有 定义,并且满足下列条件 1.F(xo,y)=0 2.F∈C(U)(q≥1); 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 由于有 ( ), ( ) 0 0 0 0 y = y x z = z x ,所以该曲线通过点 ( , , ) 0 0 0 M x y z . 同样地,当  0         x G z G x F z F 或者  0         y G x G y F x F 时, 方程组(*)可以在 ( , , ) 0 0 0 M x y z 某邻域内, 确定通过该点的一条曲线      = = = ( ) : ( ) x x y z z y y y L 或者     = = = ( ) : ( ) y y z x x z z z L 例 6 函数 u = u(x, y) 由方程      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t z f x y z t 确定，求 y u x u     , 解： 函数关系分析: 5 (变量) − 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t ) x f x u   =   , y t t f y z z f y f y u     +     +   =               −                 −   −             =                   − 0 ( , ) ( , ) 1 t g z g z h t g t h z t g h y t y z z h t g t h z g y g t h z f z h t f y f y u     −                   −     +   =   2-4-2 隐函数存在性证明 (一) 隐函数存在性定理的结果及证明思路 隐函数定理可以用映射的语言写成统一的形式（隐映射定理），. 定理 1 设二元函数 F(x , y) 在点 x y R 2 0 0 ( , ) 的某个邻域 U 中有 定义，并且满足下列条件： 1. ( , ) 0 0 0 F x y = ; 2. F C (U) (q 1) q ;

第二章多元函数微分法 oF(xo, yo) 则存在一个以x0为中心的区间(a,b)以及在(a,b)上定义的函数 y=f(x),满足 1.y。=f(x0)F(x,f(x)≡0(x∈(an,b) 2.f∈C(a,b); OF(,y) 3.Wr∈(nb)d(x) O F(x,y) 定理证明定理证明分三步进行 (1)隐函数的存在性 根据条件3,不妨设 OF(xo,yo) >0.由偏导数连续,存在一个以 (x0,y)为中心的矩形 D=i(x,yla0 对于y的严格单调性推出, 日E,>0,使得:yy-y0,F(x0,C)0,使得x:x-x0,F(x,c)<0 利用连续函数的介值定理以及F(x,y)对于y的严格单调性可知, 在区间(c,d)中存在唯一的y,使得F(x,y)=0. 这样的y是由x∈(a,b)唯一确定的,因此就在(a,b)上定义了一个 函数y=f(x),这就是由方程F(x,y)=0确定的隐函数 由F(x,y)=0推出y。=f(x。).又根据函数y=f(x)的定义方式 可以推出F(x,f(x)≡0(x∈(a,b).结论1得证 值得提出的是,如此确定的隐函数y=f(x),其图形全部处于以为 (x,y)为中心的矩形D的之内。 (2)函数y=f(x)在(a,b)上的连续性 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 3. 0 ( , ) 0 0  y F x y   . 则存在一个以 x0 为中心的区间 (a,b) 以及在 (a,b) 上定义的函数 y = f (x)，满足 1. ( ), ( , ( )) 0 ( ( , )) y0 = f x0 F x f x  x a b ; 2. f C (a,b) q  ; 3. ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) , , y f x y F x y x F x y dx df x x a b =   = −     定理证明 定理证明分三步进行. （1）隐函数的存在性 ⚫ 根据条件 3，不妨设 0 ( , ) 0 0  y F x y   . 由偏导数连续，存在一个以 ( , ) 0 0 x y 为中心的矩形 D = {( x, y) | a  x  b;c  y  d}U ，  (x, y)  D , 0 ( , )  y F x y   . 因此,  x (a,b) ，固定 x 后, F(x , y) 作为 y 的一元函数, 是 严格单调增加的. ⚫ 叉因 ( , ) 0 0 0 F x y = ，及 ( , ) F x0 y 对于 y 的严格单调性推出,  ,  0,使得：  y − y0   F(x , y)   0 , 且 F(x0 ,d)  0,F(x0 ,c)  0, 其中： c = y0 − , d = y0 + 再由 F(x , y) 的连续性可知， 当 x 充分靠近 x 0 时, 即   0, 使得 x : x − x0  仍然有 F(x ,d)  0,F(x ,c)  0 ⚫ 利用连续函数的介值定理以及 F(x , y) 对于 y 的严格单调性可知， 在区间 (c, d ) 中存在唯一的 y ，使得 F(x , y) = 0. ⚫ 这样的 y 是由 x (a,b) 唯一确定的，因此就在 (a,b) 上定义了一个 函数 y = f (x) ，这就是由方程 F(x , y) = 0 确定的隐函数. 由 ( , ) 0 0 0 F x y = 推出 ( ) 0 0 y = f x .又根据函数 y = f (x) 的定义方式 可以推出 F(x, f (x))  0 (x (a,b)) . 结论 1 得证. ⚫ 值得提出的是，如此确定的隐函数 y = f (x) ，其图形全部处于以为 ( , ) 0 0 x y 为中心的矩形 D 的之内。 （2）函数 y = f (x) 在 (a,b) 上的连续性 d F(x,d)>0 F(x,y)=0 y0 F(x0,,y0)=0 F(x,c)<0 c a x0 b

第二章多元函数微分法 首先证明f(x)在x0的连续性.VE,按上面证法中构造矩形D D={(x,y)|a<x<b;c<y<a}∈U,使得, (c, d)c-E, yo +a), =,必有,|f(x)-f(x0)k 2 即y=∫(x)在x0处连续 对于vx∈(a,b),因点(x,f(x)与(x,y)满足同样的条件,即在 点(x,f(x))满足隐函数定理的所有条件,因此同样地可以证明 y=f(x)在点x的连续性 (3)y=f(x)的可微性 任取x,∈(a,b),在对充分小的Ax,显然有 F(x1+△x,f(x1+△x)=0,F(x1f(x1)=0 F(x1+△x,f(x1+△x)-F(x1,f(x1)=0 由二元函数的F(xy)可微性,有 OF(x,,f(x,..a F(xu,f(x,) f(x1+Ax)-f(x1)+ ox +o(△x+o(y(x1)≡0 上式两端同除以Δx得 f(x,+Ax)-f(x a(x1:/(p)+0 (x1,f(x1) (1) 当Ax→0时,Ay=f(x1+Ax)-f(x)→0,注意到 aF(xIf(xm) ≠0,由上式可得 F(x1,(x1) x f(x, F(x1,f(x1) y 由于x1∈(a,b)的任意性,这就证明了y=f(x)在(,b)上的可微性,及 导数公式。 当函数F(x,y)是q阶连续可微时,利用以上公式以及复合函数的 微分法可以继续对y=f(x)求导,直到q阶导数,且各阶导数都是连续 的,即∫(x)∈Cq(a,b).至此定理完全得证 注:对于存在性还有一种构造性的证明:压缩映像 ●先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根: 给定x,由方程F(,y)=0求y 台求方程y-F(x,y)=y之根 台求函数o(y)=y--F(x,y)之不动点 构造迭代过程: 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 首先证明 f (x) 在 x0 的连续性.   ，按上面证法中构造矩形 D : D = {( x, y) | a  x  b;c  y  d}U , 使得， ( )  ( − +  ) 0 0 c,d y , y , 这样，  =  − −  2 | | 0 b a x x , 必有,| f (x) − f (x0 )|  , 即 y = f (x) 在 x0 处连续. 对于 x (a,b) ，因点 (x, f (x)) 与 ( , ) 0 0 x y 满足同样的条件，即在 点 (x, f (x)) 满足隐函数定理的所有条件，因此同样地可以证明 y = f (x) 在点 x 的连续性. （3） y = f (x) 的可微性 ⚫ 任取 ( , ) 1 x  a b ，在对充分小的 x , 显然有 F(x1 + x, f (x1 + x)) = 0,F(x1 , f (x1 )) = 0 ; F(x1 + x, f (x1 + x))−F(x1 , f (x1 )) = 0, 由二元函数的 F(x, y) 可微性，有 ( ) ( )  + [ ( +  ) − ( )] + ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 f x x f x y F x f x x x F x f x     ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + o x + o f x  0 上式两端同除以 x 得 (1) ( , ( )) (1) ( , ( )) ( ) ( ) 1 1 1 1 o y F x f x o x F x f v x f x x f x + + =  +  −     当 x → 0 时， y = f (x1 + x) − f (x1 ) → 0 ,注意到 0 ( , ( )) 1 1  y F x f x   ，由上式可得 y F x f x x F x f x f x     ( , ( )) ( , ( )) ( ) 1 1 1 1  1 = − 由于 x1(a,b) 的任意性，这就证明了 y = f (x) 在 (a,b) 上的可微性,及 导数公式。 当函数 F(x , y) 是 q 阶连续可微时，利用以上公式以及复合函数的 微分法可以继续对 y = f (x) 求导，直到 q 阶导数，且各阶导数都是连续 的，即 f (x) C (a,b) q  .至此定理完全得证. 注：对于存在性还有一种构造性的证明：压缩映像。 ⚫ 先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根： 给定 x , 由方程 F(x, y) = 0 求 y  求方程 y − F(x, y) = y 1  之根  求函数 (y) y F(x, y) 1   = − 之不动点 ⚫ 构造迭代过程：

第二章多元函数微分法 Plink=l 验证压缩映像条件 )-6-1r3 1-到 (x,y) 上述定理的一个直接推广就是下面的定理 定理2设n+1元函数F(x…,xny)在点(x,…,x,y)∈R的 某个邻域W中有定义,并且满足下列条件: 1.F(x,,x,y)=0 2.F∈C(W)(q≥1) 则在点x=(x…,x2)∈R的某邻域U上,存在的一个n元函数 y=f(x,x2,xn)=f(x),使得下列结论成立: 1.y=f(x°),F(x,f(x)=0,Vx∈U a F(,y) OFG,DD) ,(=1,,n) y y-f(xl,rl,.a) 由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节. 在定理中,当n=2时,有如下几何意义 假设方程是F(x,y,z)=0表示R中的一个曲面S.一般情形,这 个曲面不能整个地表示成z=x(x,y)(y=y(x,x)或者x=x(y,-) 但是这个曲面的某一部分有可能表示成z=(x,y) (或者y=y(z,x)或者x=x(y,z),那么曲面在其上哪个点的附近的 小片能够表示成=x(x,y)(y=y(x,x)或者x=x(y,2) 定理2中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形,这 就是下面的定理3. 定理3设在(°,y°)们某个邻域W中有m个n+m元函数 F,(x,y) x∈R ∈R (,y)∈ N CRX 第四节隐函数微分法

第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 yk = (yk−1 ), k =1,  ,n,  ⚫ 验证压缩映像条件： ( ) ( ) ( ) ( ) y y M y y y F x y y ~ ˆ ~ ˆ ~ 1 , ˆ −  −   − =      , ( ) ( ) y F x y M Max x y U   =  , , ,  = 2M 上述定理的一个直接推广就是下面的定理 定理 2 设 n +1 元函数 ( ,..., , ) F x1 xn y 在点 x x y R n n 1 0 0 0 1 ( ,..., , ) +  的 某个邻域 W 中有定义，并且满足下列条件： 1. ( ,..., , ) 0 0 0 0 F x1 xn y = ; 2. F C (W) (q 1) q ; 3. 0. ( ,..., , ) 0 0 0 1  y F x xn y   则在点 0 x  = x x R n ( ,..., n ) 0 0 1 的某邻域 U 上, 存在的一个 n 元函数 ( , ,..., ) y = f x1 x2 xn = f (x)  ，使得下列结论成立： 1． ( ) 0 0 y f x  = , F(x, f (x))  0   , x U  . 2． f C (U) q  . 3． i x f x   ( )  , ( 1,... ) ( , )) ( , ) ,..., ) 2 , 1 y ( i n y F x y x F x y x x xn f i − = =       由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节. 在定理中,当 n = 2 时,有如下几何意义: 假设方程是 F(x, y,z) = 0 表示 3 R 中的一个曲面 S .一般情形,这 个曲面不能整个地表示成 z = z(x, y) (y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 但是这个曲面的某一部分有可能表示成 z = z(x, y) (或者y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 那么曲面在其上哪个点的附近的 一小片能够表示成 z = z(x, y) (y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 定理 2 中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形，这 就是下面的定理 3. 定理 3 设在 ( ) 0 0 x , y   们某个邻域 W 中有 m 个 n + m 元函数; F (x, y) i   , i = 1,  ,m , n x  R  , n y  R  , ( ) n m x y W R     