清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章 多元函数微分学（2.6）微分学在最优化方面的应用（课后作业）

第十一章多元函数微分学 第二章第六节 微分学在最优化方面的应用 26-1多元函数的无条件极值 2-6-2多元函数的条件极值 第七讲微分学在最优化方面的应用 课后作业: 阅读:第二章第五节52:pp.60--63 预习:第二章第五节52:pp.60--63 作业:第二章习题4:pp.59--60 6,(3),(5);7,(1),(2);8;10;12;13. 引言:多元函数极值问题的提法与普遍性 最优化问题的普遍性 黑格尔的名言:“存在的必然是合理的,而合理的必将是存在的。”这句 话前半句包含着一个静态的最优问题:而后半句则包含着一个动态的最 优问题.因为“合理”,就某种意义下的“最优”。 最优化问题的提法 在“某种条件”下的“某量最优”分 某量:目标函数∫:DcR”→R 条件:约束条件:x∈cD 问题 ∫Mmn(x) S.t.x∈9 问题举例 例一,今有m个点P(a,b,c),1=1…,m,求一点Px,y,z),到各 点距离平方之和最小。 Mm/(G)=∑(x-x)+(-y)+(-) 例二,今有一空间曲面F(x,y,)=0及一点P(xn 0-0 在此曲面 上找一点P(x,y,)到P点距离最小。 Mmnf()=√x-x)+(-y)+(=- s.F(x,y,)=0 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 第二章 第六节 微分学在最优化方面的应用 2-6-1 多元函数的无条件极值 2-6-2 多元函数的条件极值 第七讲 微分学在最优化方面的应用 课后作业： 阅读：第二章第五节 5.2: pp. 60---63 预习：第二章第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题 4: pp. 59---60 : 6, (3), (5); 7, (1), (2) ; 8; 10; 12; 13. 引言：多元函数极值问题的提法与普遍性 ⚫ 最优化问题的普遍性： 黑格尔的名言：“存在的必然是合理的, 而合理的必将是存在的。”这句 话前半句包含着一个静态的最优问题；而后半句则包含着一个动态的最 优问题. 因为“合理”，就某种意义下的“最优”。 ⚫ 最优化问题的提法 在“某种条件”下的“某量最优”  某量: 目标函数 f D R R :  n → 条件: 约束条件: x   D  问题: ( )    s t x  Min f x   . . ⚫ 问题举例 例一，今有 m 个点 ( ) i i i i P a ,b ,c , i = 1,  ,m, 求一点 P(x, y,z) ，到各 点距离平方之和最小。 ( ) (( ) ( ) ( ) ) = = − + − + − m i i i i Min f x x x y y z z 1  2 2 2 例二，今有一空间曲面 F(x, y,z) = 0 及一点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z ，在此曲面 上找一点 P(x, y,z) 到 P0 点距离最小。 ( ) ( ) ( ) ( )  ( )    = = − + − + − . . , , 0 2 0 2 0 2 0 s t F x y z Min f x x x y y z z 

第十一章多元函数微分学 例三,今有一空间曲线 (x,y,=)=0 lG(r,y,=)=0 及一点P(x02y,=0),在此曲线 上找一点P(x,y,=)到P点距离最小 Mm/(x)=√(x-x)+(y-y0)2+(-=0)2 st.F(xy)=0.,G(xy,)=0 一般非线性规划 Minf() s.G(x)≤0 x∈D 「 Min CIx 线性规划:{s.t.Ax≤b, x≥0 其中,变量是x∈R",而A∈Rm和b∈R"是给定的矩阵与向量 另外有变分问题;最优控制问题。此时目标函数的自变量不是在 R中,而是在函数空间中。 例如,求两点间最速下降曲线:设的线为y=y(x) Min d j 1+l") s.t. y(a)=yu, y(b)=y2 26-1多元函数的无条件极值 (一)极值的必要条件 极值与极值点:设函数∫:DcR”→R,若存在点x0∈D某 个邻域U,V∈U都有f(x)≥f(x0)则称f(x0)是f(x) 个极小值( minimum),并称x为f的一个极小值点 类似地可定义若x∈U都有∫(x)≤f(x0)则称f(x0)是 f(x)的一个极大值( maximum),并称x为f(x)的一个极大值点 极限的必要条件 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 例三，今有一空间曲线 ( )  ( )   = = , , 0 , , 0 G x y z F x y z 及一点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z ，在此曲线 上找一点 P(x, y,z) 到 P0 点距离最小。 ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )    = = = − + − + − . . , , 0, , , 0 2 0 2 0 2 0 s t F x y z G x y z Min f x x x y y z z  一般非线性规划： ( ) ( )        x D s t G x Min f x . . 0    线性规划：        0 . . x s t A x b Min C x T , 其中, 变量是 , n x  R 而 m n A R   和 m b  R 是给定的矩阵与向量 另外有变分问题；最优控制问题。此时目标函数的自变量不是在 n R 中, 而是在函数空间中。 例如，求两点问最速下降曲线：设的线为 y = y(x) ( ( )) ( ) ( ) ( )      = = +  =   1 2 2 . . , 2 1 s t y a y y b y dx g y x y x v dl Min b a B A 2-6-1 多元函数的无条件极值 (一) 极值的必要条件 ⚫ 极值与极值点: 设函数 f D R R :  n → , 若存在点 x0  D  某 个邻域 U ,  x U  都有 ( ) ( ) 0 f x f x    则称 ( ) 0 f x  是 f (x)  的一 个极小值 (minimum)，并称 0 x  为 f 的一个极小值点. 类似地可定义: 若  x U  都有 ( ) ( ) 0 f x f x    则称 ( ) 0 f x  是 f (x)  的一个极大值 (maximum)，并称 0 x  为 f (x)  的一个极大值点. ⚫ 极限的必要条件

第十一章多元函数微分学 定理(极值点的必要条件)设函数∫:DcR”→>R在点x∈D 达到极值,若∫在该点可微,则有,f(。)=0,i=1…,n 或者 ()=(9(6)2..96 证明一:f(x)在点x∈D达到极小值→ →3U(G)cD,∈Uδ(0),f(x)≥f(0) r|0,y轴上原点以外的部分x2-y2<0 另外,如果是不可微的函数,取得极值的点也可能不是驻点.例如 原点(00)是二元函数z=√x2+y2的极小值点,然而这个函数在原 点不存在偏导数,从而不可微这是由不可微函数的优化理论。 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 定理（极值点的必要条件）设函数 f D R R :  n → 在点 x0  D  达到极值，若 f 在该点可微，则有, f i (x0 ) 0, i 1,  ,n   = = 或者 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 =             = T n x f x x f x gradf x     . 证明一： f (x)  在点 x0  D  达到极小值   U (x0 )  D   , ( ) 0 x U x      , ( ) ( ) 0 f x f x     i = 1,  ,n ,xi   , f (x0 + xi ei )− f (x0 )  0     ( ) 0 0 =   i x f x  ,i = 1,  ,n . 证明二： f (x)  在点 x0  D  达到极小值   U (x0 )  D   , ( ) 0 x U x      , ( ) ( ) 0 f x f x     f (x0 ) = f (x)− f (x0 ) = (grad f (x0 )) x + o()  0     T   f(x0 + tl 0 )− f (x0 ) = t(grad f (x0 )) l 0 + o(t)  0 T      , 其中， 0 l  是任意的单位向量, t    lim( ( 0 )) 0 (1) ( ( 0 )) 0 0 0  + =   → grad f x l o grad f x l T T t     ,  ( ) 0 0 0 l R , grad f x l n      ⊥ ,  grad f (x0 ) = 0  , 可微函数只能在驻点取得极值.但是驻点并非极值的充分条件, 例如二元函数 2 2 f (x, y) =x −y ,原点 (0,0) 是它的一个驻点,但是该 函数在原点不取极值, 这是因为 ,在 x 轴上原点以外的部分 0 2 2 x −y  , y 轴上原点以外的部分 0 2 2 x −y  . 另外,如果是不可微的函数, 取得极值的点也可能不是驻点.例如, 原点 (0,0) 是二元函数 2 2 z = x +y 的极小值点,然而这个函数在原 点不存在偏导数,从而不可微.这是由不可微函数的优化理论

第十一章多元函数微分学 (二)极值的充分条件 定理(极值点的充分条件)设∫:R”→R在M0∈R”点某邻域 U(M0)内二阶偏导数连续,且M0是驻点,即gray(M0=0,则 1.H(M)正定时,M是f(x)的极小值点 2.H(M0)负定时,M是f(x)的极大值点 3.HM0)不定时,M0不是f(x)的极值点 其中,H(M0)为∫(x)在M处的海森矩阵 证明:为简便起见,只对于二元函数的情形给出证明 当n=2时,函数f(x,y)在Mxo,y)处的海森矩阵是 3/(M0)o3/(M0) Oy HM0-a/(M)a3/(M) 今记:A=f(x0,y0) B af(xo, yo) af(xo, yo) vM∈U(M0),f(M)=f(x,y)在M0处的2阶Tay1or公式为 4y(M0)=f(M)-f(M0 (x-x。y-y0)H(M y-y af(Mo af(Mo) (x-xo -yo af(Mo)a(Mo16+o(p2) (x-xo y-yo A Bx-xo B Cly-y 再设M=(x0+1(x-x)=(x+△x < Jo +tAy 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 (二) 极值的充分条件 定理（极值点的充分条件）设 f R R : n → 在 n M0  R 点某邻域 ( ) U M0 内二阶偏导数连续，且 M0 是驻点，即 gradf (M 0 ) = 0 ，则 1． ( ) H f M0 正定时， M0 是 f (x)  的极小值点； 2． ( ) H f M0 负定时， M0 是 f (x)  的极大值点； 3． ( ) H f M0 不定时， M0 不是 f (x)  的极值点. 其中， ( ) H f M0 为 f (x)  在 M0 处的海森矩阵. 证明:为简便起见,只对于二元函数的情形给出证明. 当 n=2 时,函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 M x y 处的海森矩阵是 ( ) ( ) ( ) ( )                         = 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 ( ) y f M x y f M x y f M x f M H f M 今记: 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) y f x y C x y f x y B x f x y A   =    =   = ( ) M U M0 , f (M) = f (x, y) 在 M 0 处的 2 阶 Taylor 公式为 ( ) ( ) ( ) 0 M0 f M = f M − f = ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 ( ) 2 1 o  y y x x x x y y H f M +        − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 1 o  y y x x y f M x y f M x y f M x f M x x y y +        − −                         − − = ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 o  y y x x B C A B x x y y +        − −       − − . 再设 ( ) ( )         +  +  =        + − + − = y t y x t x y t y y x t x x Mt 0 0 0 0 0 0 , t  

第十一章多元函数微分学 4y(M0)=f(M1)-f(M0) t-o ,0B Cly-yo o 由于lm 4(M0) =lim f(M)-f(M0) 4(M0)=f(M1)-f(M0)与二次函数(二次型) AB∥Ax B CIAMFHAxo-yo (4△x)+2 BAr Ay+C(4y) 的符号相同。因此有 1.若A>0,AC-B2>0,二次函数(Hew矩阵H/(xo,y0)正 定).在点Mx0,y)的某个邻域中恒有 f(x,y)-f(xo,y0)>0. 因此∫(x,y)在点Mx0,y)取得极小值 2.若A0,f(x,y)在点Mx,3)取得极大值 3.若AC-B2<0,二次函数可正可负(即海森矩阵H/(x0,y0) 既非正定,也非负定),因此f(x,y)-f(x0,y0)的符号也是 不定的于是f(xy)在点M』xo,y)既不取极小值,也不取极 大值 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 ( ) ( ) ( ) 0 M0 f M f M f  = t − = = ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 2 o t y y x x B C A B x x y y t +        − −       − − = ( ) ( ) 2 2 2 o t y x B C A B x y t +                  . 由于 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 lim lim t f M f M t f M t t t − =  → → = ( )                   y x B C A B x y 2 1 , ( ) ( ) ( ) 0 M0 f M f M f  = t − 与二次函数(二次型) ( )                   y x B C A B x y 2 1 = ( , ) 0 0 H x y f = ( ( ) ( ) ) 2 2 2 2 1 A x + Bxy + C y 的符号相同。因此有： 1. 若 0, 0 2 A  AC −B  ,二次函数( Hessian 矩阵 ( , ) 0 0 H x y f 正 定).在点 ( , ) 0 0 0 M x y 的某个邻域中,恒有 f (x, y) − f (x0 , y0 )  0. 因此 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 取得极小值. 2. 若 0, 0 2 A  AC −B  , f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 取得极大值. 3. 若 0 2 AC −B  ,二次函数可正可负(即海森矩阵 ( , ) 0 0 H x y f 既非正定,也非负定),因此 ( , ) ( , ) 0 0 f x y − f x y 的符号也是 不定的.于是 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 既不取极小值,也不取极 大值

第十一章多元函数微分学 4.当AC-B=O时,仅仅根据f(x,y)在点M(xy)的二阶导 数不足以判定∫(x,y)在点Mxo,y)是否取得极值,需要作进 步讨论,这里从略 例1求函数f(x,y)=2x4+y2-2x2-2y2的所有局部极值 解求偏导数得=8x-4x, y,解 =8x3-4x=0 a 得到9个驻点: (x1,y1)=(0,0) (x2y2)=(0,1) (x3,y3)=(0,-1) (x4,y4) 0),(x3,y3)=(1)(x6,y)=(,-1) (x,y2)=( x,y3)=( 求二阶偏导数得 =24x2- =12x2-4, 2f 在上述每个点计算A,B,C得到下表 (x,y)(0.0)(0,1)(0,-1)(,0)(,1) 1)(-,0)(-,1)( B 880 C 0 AC-B2-16-32-32 32 -32 由极值的充分条件可知,函数∫在 (xs,y3),(x6,y)(x8,y3)(x9,y) 取局部极小值,其它点均为鞍点(非极值点) 例2(最小二乘法)设变量y与x之间的关系是y=ax+b,其中a,b 是待定常数,现在通过实验测得了y与x的一组数据 (x1,y1)(x2y2),…,(xny),问如何由这一组数据得到最佳的待定常 数a,b 解所谓最佳,是指测量值与精确值之间的误差平方和达到最小 即使a,b的函数 Min f(a, b)=2(-(ax; +b))2. 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 4. 当 AC −B = 2 0 时,仅仅根据 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 的二阶导 数不足以判定 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 是否取得极值,需要作进 一步讨论,这里从略. 例 1 求函数 f (x, y) = 2x + y − 2 x − 2 y 4 4 2 2 的所有局部极值. 解 求偏导数得     f x x x f y = 8 −4 = 4y −4 y 3 3 , ，解      = − = = − = 4 4 0 8 4 0 3 3 y y y f x x x f     得到 9 个驻点： , 1), 2 1 ,1), ( , ) ( 2 1 ,0), ( , ) ( 2 1 ( , ) ( ( , ) (0,0), ( , ) (0,1), ( , ) (0, 1), 4 4 5 5 6 6 1 1 2 2 3 3 = = = − = = = − x y x y x y x y x y x y , 1) 2 1 ,1), ( , ) ( 2 1 ,0), ( , ) ( 2 1 ( , ) ( 7 7 8 8 9 9 x y = − x y = − x y = − − 求二阶偏导数得 24 4, 12 4, 0 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = x y f x y f x x f        . 在上述每个点计算 A,B,C 得到下表： ( i , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i i i i i i i x y A B C A C B 0 0 0 1 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 4 4 4 8 8 8 8 8 8 4 8 8 4 8 8 4 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 32 32 32 64 64 32 64 64 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − 由极值的充分条件可知，函数 f 在 ( 5 , ),( , )( , )( , ) x 5 6 6 8 8 9 9 y x y x y x y 取局部极小值，其它点均为鞍点（非极值点）. 例2（最小二乘法）设变量 y 与 x 之间的关系是 y = ax+b ，其中 a,b 是待定常数 . 现在通过实验测得了 y 与 x 的一组数据 ( 1 , ),( , ),...,( , ) x 1 2 2 y x y xn yn ，问如何由这一组数据得到最佳的待定常 数 a,b. 解 所谓最佳，是指测量值与精确值之间的误差平方和达到最小， 即使 a,b 的函数 Min = = − + n i i i f a b y ax b 1 2 ( , ) ( ( )) .令

第十一章多元函数微分学 afla, b) -2∑(y-ax;-b)x1=0 afla, b) =-2∑(y-ax-b)=0 2+∑xb=∑xy 当nx2-(∑x)≠0时,由此解出 nxy-(x)Σy)(y)x2-(∑x∑xy,) a=-=l n∑x2-(∑x)2 ax.+6= b y b)(1 y 一般情况:设变量y与x之间的关系是y=a·x+b,其中,现在通 过实验测得了y与x的一组数据(x,y1)…,(xn,yn),问如何由这一组 数据得到最佳的待定常向数和常数a=(a1 Mm∑(ax,+b-y) ∑(ax,+b-y)xk=0 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学( ) ( )        = − − − =   = − − − =     = = n i i i n i i i i y ax b a f a b y ax b x a f a b 1 1 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 ,         + =       =       +           = = = = = n i i n i i n i i i n i i n i i x a nb y x a x b x y 1 1 1 1 1 2 当  −   = = n i n i n xi xi 1 1 2 2 ( ) 0 时，由此解出  −    −   =  −   −   = = = = = = = = = = = = n i n i i i n i n i n i i i n i i i n i n i i i n i n i n i i i i i n x x y x x x y b n x x n x y x y a i 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) , ( ) ( )( )      + = + = n n ax b y ax b y  1 1            =                  n n y y b a x x    1 1 1 1                    =                          n n n n y y x x b a x x x x        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1              =                         = = = = = n i i n i i i n i i n i i n i i y x y b a x n x x 1 1 1 1 1 2 . 一般情况：设变量 y 与 x 之间的关系是 y = a  x + b   ，其中, 现在通 过实验测得了 y 与 x  的一组数据 ( , ),...,( , ) 1 1 n n x y x y   ，问如何由这一组 数据得到最佳的待定常向数和常数 a (a a ) b T m , 1   = . ( ) =  + − n i i i Min a x b y 1   2 ( ) ( ) k m a x b y x a f a b n k i i ik k 1,2, , 0 , 1     = =  + − =   =

第十一章多元函数微分学 d 记成( b 1 anl yI x1 b Vn o( ax eo(e)r axx sexy 这种求待定参数a,b的方法就称为最小二乘法 26-2多元函数的条件极值 问题 ∫Mmf(x,y) Is.t. F(x,y)=0 常规做法 解方程F(x,y)=0→y=y(x) 解无条件极值问题:Mmf(x,y(x) 求驻点: 解方程 df(x,y(x))a(x,y),af(x,y) d x x)=0 aF(x,y) 求p()=-aF(x),代入上式并整理 af(x,y af(x,y) ax aF( (x,y)=0 引入未知数λ 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学           =                         n m n nm n y y b a a x x x x         1 1 1 11 1 1 1 记成 ( ) Y b a X e =                                  =                                       n n n m n m n n m n n n m n y y x x x x b a a x x x x x x x x                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 或 ( ) Y e X b a X e e X T T T T         =                            =                e Y X Y b a e X e e X X X e T T T T T T                        =        − e Y X Y e X e e X X X e b a T T T T T T       1 这种求待定参数 a,b 的方法就称为最小二乘法. 2-6-2 多元函数的条件极值 问题一： ( )  ( )   . . , = 0 , s t F x y Min f x y . 常规做法: 解方程 F(x, y) = 0  y = y(x) 解无条件极值问题： Min f (x, y(x)) 求驻点： 解方程 ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 , , ,  =   +   = y x y f x y x f x y dx df x y x , 求 ( ) ( ) ( ) y F x y x F x y y x      = − , , , 代入上式并整理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        = =     −     , 0 0 , , , , F x y y F x y x f x y x F x y x f x y ; 引入未知数  :

第十一章多元函数微分学 af(x,y) a(r,y) OF(x,y) aF(x,y) 将方程变成对称形式: ar(x,y)., aF(, y)_o a((x, y)+2F(x, y)) 0 ax (xy2+x2(x)2=0={(xy)+2y)2 F(x,y)=0 a(x, y)+aF(x, y)) =0 拉格伦日函数 L(x,y,a)=fx,y)+aF(x,y) 问题变成求函数的无条件极限问题:MmL(x,y,2) 求驻点;解方程 a(xl)=9(x,y)+20F(xy)=0 a(yl)29()0F(y)=0 ay aL(x, y, a) F(x,y)=0 问题二: Min f(x,y st.F(x,y,-)=0.G(x,y,-)=0 做函数:L(x,y,,,)=f(x,y,)+F(x,y,x)+G(x,y,z) 求驻点;解方程 aL(x, y,x,a, u)=or(x, 3, )+ aF(x, y, 3+uac a(xx,山)=y(x,)+x2(y2+n(y)=0 o ay ay ay OL(x,y,x,,)可(x,y-),,OF(x,y+Ha÷0 +1 aG(x,y, =) aL(x, y, -, 2, u=F(x,y, 2)=0 (x,y,,,) =G(x,y,z)=0 a 例四,今有m个点P(an,b2c),=1…,m,求一点P(xy,z),到各 点距离平方之和最小。 问题:Mm1()=∑(x-x)+(y-y)+(=-=) 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 ( ) ( ) ( ) ( ) y F x y x f x y x F x y x f x y     =     − = , , , ,  将方程变成对称形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          = =   +   =   +   , 0 0 , , 0 , , F x y y F x y y f x y x F x y x f x y    ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))          =   + =   + =   + 0 , , 0 , , 0 , ,     f x y F x y x f x y F x y x f x y F x y 拉格伦日函数 L(x, y,) = f (x, y)+  F(x, y), 问题变成求函数的无条件极限问题: Min L(x, y,), 求驻点；解方程； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )         = =   =   +   =   =   +   =   , 0 , , 0 , , , , 0 , , , , F x y L x y y F x y y f x y y L x y x F x y x f x y x L x y       问题二： ( )  ( ) ( )   . . , , = 0; , , = 0 , , s t F x y z G x y z Min f x y z . 做函数： L(x, y,z,,) = f (x, y,z)+ F(x, y,z)+ G(x, y,z) 求驻点；解方程； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                = =   = =   =   +   +   =   =   +   +   =   =   +   +   =   , , 0 , , , , , , 0 , , , , 0 , , , , , , , , , , 0 , , , , , , , , , , 0 , , , , , , , , , , G x y z L x y z F x y z L x y z z G x y z z F x y z z f x y z z L x y x y G x y z y F x y z y f x y z y L x y x x G x y z x F x y z x f x y z x L x y x                   例四，今有 m 个点 ( ) i i i i P a ,b ,c , i = 1,  ,m, 求一点 P(x, y,z) ，到各 点距离平方之和最小。 问题： ( ) (( ) ( ) ( ) ) = = − + − + − m i i i i Min f x x x y y z z 1  2 2 2

第十一章多元函数微分学 af(x,y, =) (x-x) 求鞋点。{9(y (-y)=0, 0(=2(-y)=0 P y 例五,今有一空间曲面F(x,y,=)=0及一点P(xn,yo,=0),在此曲面 上找一点P(x,y,z)到P点距离最小。 问题 MmfG)=(x-xn)+(y-y0)+(=-) s.t. F(x,y,==0 拉格伦日函数: L(xy,x)=√(x-x0)+(y-y)2+(=-=0)+F(x,y,z r+aFx,y,x 其中,r=√(x-x)+(-x)+(-=0) aL(x, y, 3, 2)x-x aFx,y, 江(x=:)=xx+20F(xy)=0 求驻点: 叫(xy=4)=x-x+x(xy=0 Lx,y=2a=F(x,y,-)=0 +a grad F(x,y, =)=0(PP)=- grad F(x, y,=) F(x,y,z)=0 第十一章多元函数微分学

第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 求驻点： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )         = − =   = − =   = − =      = = = 2 0 , , 2 0 , , 2 0 , , 1 1 1 m i i m i i m i i y y z f x y z y y y f x y z x x x f x y z ,     = = = =           =                   = n i i i i n i i n i i n i i z y x n z n y n x n P 1 1 1 1 1 1 1 1 例五，今有一空间曲面 F(x, y,z) = 0 及一点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z ，在此曲面 上找一点 P(x, y,z) 到 P0 点距离最小。 问题： ( ) ( ) ( ) ( )  ( )    = = − + − + − . . , , 0 2 0 2 0 2 0 s t F x y z Min f x x x y y z z  拉格伦日函数： L(x, y,z, ) (x x ) (y y ) (z z ) F(x, y,z) 2 0 2 0 2  = − 0 + − + − +  = r +  F(x, y,z) 其中， ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 r = x − x + y − y + z − z . 求驻点： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )           = =   =   + − =   =   + − =   =   + − =   , , 0 , , , 0 , , , , , 0 , , , , , 0 , , , , , F x y z L x y z x F x y z r x x x L x y z x F x y z r x x x L x y z x F x y z r x x x L x y z i i i         , 或者 ( )   ( )    = + = , , 0 , , 0 F x y z grad F x y z r r   , ( ) ( )  ( )   = = − 0 , , 0 0 F P r P P  grad F x y z 