第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-4线性微分方程组 6-4-1微分方程组解的一般概念 6-4-2线性方程组解的结构 6-4-3线性常系数方程组的解 (1)期终考试时间: 六月三十日星期一下午2:304:30 (2)答疑时间:6月27(星期五)、6月28日(星期六)上、下午 6月30日(星期一)上午 上午8:300-11:00;下午3:00—5:00 答疑地点:三教1106 (3)考试教室分配: 班级 考试教室监考老师 自21,自2,(42) 五教5101谭泽光 自23,自24,(46) 五教5102张李军 自25,自26,(45) 五教5103陈明 27(23)电机系(7),医学院(6) 计算机科学系(3),其他系(5五教5104张靖 第二十四讲线性方程组 6-4-1微分方程组解的一般概念 1.微分方程组的一般形式与解的概念 2.例1:导弹打飞机 设飞机飞行轨道已知:{y=m(0,速度为u=( () 导弹的位置是(x(),y()x(),已知其速度是v().根据导弹的速 度方向时刻指向飞机的条件,由运动学可得方程: ()y-m()=-<()u dt 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-4 线性微分方程组 6-4-1 微分方程组解的一般概念 6-4-2 线性方程组解的结构 6-4-3 线性常系数方程组的解 (1) 期终考试时间： 六月三十日星期一下午 2:30---4:30 (2) 答疑时间：6 月 27(星期五)、6 月 28 日(星期六) 上、下午 6 月 30 日(星期一)上午 上午 8:300---11:00; 下午 3:00---5:00 答疑地点: 三教 1106 (3) 考试教室分配： 序 班 级 考试教室 监考老师 1 自 21, 自 22, (42) 五教 5101 谭泽光 2 自 23, 自 24, (46) 五教 5102 张李军 3 自 25, 自 26, (45) 五教 5103 陈 明 4 自 27(23), 电机系(7)，医学院(6) 计算机科学系(3)，其他系(15) 五教 5104 张 靖 第二十四讲 线性方程组 6-4-1 微分方程组解的一般概念 1. 微分方程组的一般形式与解的概念 2. 例 1：导弹打飞机： 设飞机飞行轨道已知： ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t , 速度为 u = u(t), 导弹的位置是 (x(t), y(t),z(t)) ，已知其速度是 v(t). 根据导弹的速 度方向时刻指向飞机的条件，由运动学可得方程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt u t v t z t dz y t dy x t dx = − = − = −
第六章常微分方程 a=(x-0) 或者: dv y-n() dz dt =-() 例2:人造卫星运用轨迹:利用动力学第二定理: 设卫星运行位置向量:f()=(x()y()=(),质量是m, x 则方程为:d2F,M d y t y k dt diff-equA. nb 微分方程组的一般形式 x'=fl,x x2=1(x,x2…,xn,t) f(x 若记x=/x() x2(t f(x1…,x ) 则方程组可简写成 ●微分方程组的解 方程x=F(x,)的解是一元向量函数x(),代入方程,在区间 内/使之成为恒等式,即Ⅵ∈1,x(x)=F(x()) F(x,t) 初值问题: x(t 对初值问题解的存在、唯一性定理: x'=F(x,) 初值问题 若满足下列条件 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 或者： ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) = − = − = − z t u t v t dt dz y t u t v t dt dy x t u t v t dt dx , 例 2：人造卫星运用轨迹：利用动力学第二定理： 设卫星运行位置向量： r(t) = (x(t) y(t) z(t)) ,质量是 m , 则方程为: = r r M k dt d r 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 , r x y z r z k dt d z r y k dt d y r x k dt d x = + + = = = . diff-equA.nb ⚫ 微分方程组的一般形式 ( ) ( ) ( ) = = = x f x x x t x f x x x t x f x x x t n n n n n , , , , , , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 若记 ( ) ( ) ( ) = x t x t x t x n 2 1 , ( ) ( ) ( ) = x t x t x t x n 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) = f x x t f x x t f x x t F x t n n n n , , , , , , , 1, 2 1, 1 1, 则方程组可简写成： x = F(x,t) ⚫ 微分方程组的解 方程 x = F(x,t) 的解是一元向量函数 x(t), 代入方程, 在区间 内 I 使之成为恒等式, 即 t I , x (x) F(x(t),t) . ⚫ 初值问题： ( ) ( ) = = 0 0 , x t x x F x t ⚫ 对初值问题解的存在、唯一性定理： 初值问题： ( ) ( ) = = 0 0 , x t x x F x t , 若满足下列条件：
第六章常微分方程 (1)F(x,)在点(x°,)∈R的某一个邻域N内连续 (2)在邻域N内,偏导数 a,(x1 有界 则存在唯一的解满足方程和初值。 3.微分方程组的的求解问题 利用消元法,将方程组化成高阶方程, 该法在原则上可行,但在具体问题上不一定能做到。 以二个方程为例 ∫x=f(x,x2) 1x2=f(x,x2,l) 从第一个方程中解出x2=g(x1,x1,),代入第二个方程 f2(x,g(x1,x1,)) x"=/(,.g(,x,)-8x- 某些特殊方法,如可积组合 相平面法如x=(x,x2) x2=f1(x,x2,) 中,考察以为(x,x2)直角坐标 的二维空间中,x()= 的曲线,这个空间称为相空间 x2 这种曲线称为相轨线 6-4-2线性方程组及其解的结构 ●线性方程组的一般形式: 线性非齐次方程组:在 女=AO)x+f() 线性齐次方程组 =A(1)x dt a1(D)a2(1)…an1(1) f(t) 其中4=/1(1)a2()…a2() f()= A2 an1(1)an2(t)…anm2(1) f,( 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (1) F(x,t) 在点 ( ) 0 0 x ,t +1 n R 的某一个邻域 N 内连续; (2) 在邻域 N 内, 偏导数 ( ) j i n x f x x x t , , , , 1 2 , i, j = 1,2, ,n 有界。 则存在唯一的解满足方程和初值。 3. 微分方程组的的求解问题 ⚫ 利用消元法，将方程组化成高阶方程, 该法在原则上可行，但在具体问题上不一定能做到。 以二个方程为例 ( ) ( ) = = x f x x t x f x x t , , , , 2 2 1 2 1 1 1 2 , 从第一个方程中解出 x g(x , x ,t) 2 1 1 = ,代入第二个方程, f (x g(x x t) t) t g x x g x x g , , , , 1 2 1 1 1 1 1 1 = + + ( ( ) ) t g x x g x f x g x x t t x g − = − 1 1 2 1 1 1 1 , , , ⚫ 某些特殊方法，如可积组合。 ⚫ 相平面法, 如 ( ) ( ) = = x f x x t x f x x t , , , , 2 2 1 2 1 1 1 2 中，考察以为 ( ) 1 2 x , x 直角坐标 的二维空间中, ( ) ( ) ( ) = x t x t x t 2 1 的曲线，这个空间称为相空间.; 这种曲线称为相轨线。 6-4-2 线性方程组及其解的结构 ⚫ 线性方程组的一般形式： 线性非齐次方程组: A t x f (t) dt dx = ( ) + 线性齐次方程组 dx dt = A(t)x 其中 = ( ) ( ) ( ) . . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n2 nn 21 22 2n 11 12 1n a t a t a t a t a t a t a t a t a t A t n , ( ) ( ) ( ) ( ) = f t f t f t f t n 2 1
第六章常微分方程 ●解的存在唯一性: 设矩阵函数A(1)和向量值函数f(1)在区间/上连续,t∈ 则对于任意的5=(51…,)∈R,初值问题 A(0)x+f(o dt 在区间上有唯一解 x(t)=5 向量函数的线性无关性 定义(向量值函数的相关与无关)设 n(1) 是定义在区间/上的n个向量值函数如果存在不全为零的n个常数 使得 aq(t)+…+cn9(1)=6(t∈D 则称这n个向量值函数在区间/上线性相关否则为线性无关 卯() 无关性判斷:若向量值函数,(1)= 1,…,n构成 n() 1(t)q2(1).qn() 2()g2(t).g(1) 的行列式W()=W(912,9)()= (称为 Wronski(朗斯基)行列式).在区间/上不恒等零,则线性无关 齐次方程=A)x的解集合是一个线性空间其维数等于n dx 如果求得方程x=A(D)x的一个基本解组 ,() q1(1)= P ( 则通解的就可以表示成 )=aq(t)+ag()+…+c9(t) 其中c,C2cn为任意常数.记c=(aC2,c)∈R 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 ⚫ 解的存在唯一性： 设矩阵函数 A(t) 和 向量值函数 f (t) 在区间 I 上连续,t I 0 . 则对于任意的 = (1 ,...,n )) t n R ,初值问题 = = + ( ) ( ) ( ) t0 x A t x f t dt dx 在区间 I 上有唯一解. ⚫ 向量函数的线性无关性 定义 (向量值函数的相关与无关) 设 j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1 = = 是定义在区间 I 上的 n 个向量值函数. 如果存在不全为零的 n 个常数 c1 ,...,cn,使得 1 c 1 t cn t t I ( )+...+ n ( ) ( ). 则称这 n 个向量值函数在区间 I 上线性相关. 否则为线性无关. 无关性判断: 若向量值函数 j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1 = = 构成 的行列式 W t W t t t t t t t t t t n n n n n n n ( ) ( ,..., )( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . ( ) ( ) ( ) = 1 = 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 . . . . . . . . . (称为 Wronski(朗斯基)行列式). 在区间 I 上不恒等零, 则线性无关。 齐次方程 dx dt = A(t)x 的解集合是一个线性空间.其维数等于 n 。 如果求得方程 dx dt = A(t)x 的一个基本解组: j n t t t nj j j , 1, , ( ) ( ) ( ) 1 = = , 则 通解的就可以表示成 x t c t c t cn t n ( ) = 1 ( ) + ( )+...+ ( ) 1 2 2 其中 c1 ,c2 ,...,cn 为任意常数. 记 c c c cn R t n = ( 1 , 2 ,..., )
第六章常微分方程 非齐次方程之解 非齐次方程 d=小0x+f()的通解可以表示为非齐次方程的 任意一个特解与相应齐次方程=A()x的通解之和 dt 6-4-3线性常系数方程组的解 如果A为常数矩阵那么方程 Ax +f(r dt 称为线性常系数方程组 d x 线性常系数齐次微分方程组=Ax的解 今设解为x()=pe,其中p∈R"是n维向量,代入方程 Ape“)台Ap=Ap 台λ是矩阵A的特征值,p是A的对应λ的特征向量。 求的解,转化为求矩阵A的特征值和特征向量的问题 例1:设x'=Ax=320x,求通解 解:由32-λ0=0.求得矩阵A的三个单重特 征值A1=1,2=4,A3=5,分别对应的特征向量为: P1=-9,P2=0,P3=1从而一般解为 =c1-9e+c,0le+c1 7 5 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 ⚫ 非齐次方程之解： 非齐次方程 A t x f (t) dt dx = ( ) + 的通解可以表示为非齐次方程的 任意一个特解与相应齐次方程 A t x dt dx = ( ) 的通解之和. 6-4-3 线性常系数方程组的解 如果 A 为常数矩阵.那么方程 dx dt = Ax + f (t) dx dt = Ax 称为线性常系数方程组。 ⚫ 线性常系数齐次微分方程组 dx dt = Ax 的解 今设解为 ( ) t x t pe = , 其中 n p R 是 n 维向量, 代入方程: ( ) ( ) t t A pe dt d pe = A p = p 是矩阵 A 的特征值， p 是 A 的对应 的特征向量。 求的解，转化为求矩阵 A 的特征值和特征向量的问题。 例 1: 设 x Ax x = = 2 3 4 3 2 0 4 1 0 , 求通解. 解: 由 0 2 3 4 3 2 0 4 1 0 = − − − , 求得矩阵 A 的三个单重特 征值 1 =1, 2 = 4, 3 = 5, 分别对应的特征向量为： = − 7 9 3 p1 , = 1 0 0 p2 , = 5 1 1 3 p .从而一般解为： ( ) t t t x t c e c e c e 5 3 4 1 2 5 1 1 1 0 0 7 9 3 + + = −
第六章常微分方程 例2:设x=rs/1 ,求通解 1-1 解:特征方程 =0,特征值:元=2± 对应2=2+的特征向量:P=(x+小从而有复解 cost +isn (). 1+i g()=Rey()= coSt 02()=lmy() cOSt+ sin t 般解:x()=c coS t-sin I cost+ sin t C cost+ C, sin t +c,)cost +( 2-c)sin t 例3:设 求通解 46 2--1 解:特征方程 =0,重根:A=4 此时的解形如 B,I 代入方程,约去e“得 B2t P B1 2 B1-4B2 B, B2 4a1+6 4B+6B2 B1+2a1 B2-4 比较系数: 2B+B2=0 4B1-2B2=0 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 例 2: 设 x Ax x − = = 2 3 1 1 , 求通解。 解：特征方程： 0 2 3 1 1 = − − − , 特征值： = 2 i 对应 = 2 +i 的特征向量： + = i p 1 1 , 从而有复解： ( ) ( ) e ( t i t) i e i y t i t t cos sin 1 1 1 1 2 2 + + = + = + , ( ) ( ) t e t t t t y t 2 1 cos sin cos Re − = = ( ) ( ) t e t t t t y t 2 2 cos sin sin Im + = = . 一般解： x(t)= t e t t t c 2 1 cos sin cos − + t e t t t c 2 2 cos sin sin + = ( ) ( ) t e c c t c c t c t c t 2 1 2 2 1 1 2 cos sin cos sin + + − + 例 3: 设 x Ax x − = = 4 6 2 1 , 求通解。 解：特征方程： 0 4 6 2 1 = − − − ,重根： = 4 此时的解形如： ( ) t e t t x t 4 2 2 1 1 + + = ,代入方程，约去 t e 4 得： t t + − + + − = + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 6 2 4 4 6 2 4 4 比较系数： − − = + = − − = + + = 4 2 0 2 0 4 2 0 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
第六章常微分方程 令a1=C1,B=C2解出,B2=-2c2 般解:x()= C1+c2 (2c1+c2)-2c2t 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 令 1 1 1 2 = c , = c , 解出： = − − = − 2 1 2 2 2 2 2 c c c , 一般解： ( ) ( ) t e c c c t c c t x t 4 1 2 2 1 2 2 2 − + − + =