清华大学：《微积分》课程教学资源_第二章习题讨论3

第二章多元微分学 第二章多元函数微分学 11-Bxe-2习题讨论(II) 11-Exe-2-1讨论题 l1-Exe-2-1参考解答 习题讨论 题目 若函数=(xy)由方程F(x-a、y-b =0确定,其a,b,C为 常数,F∈C2,证明 (1)由z==(x,y)确定的曲面上任一点的切平面共点; (2)函数z=(x,y)满足偏微分方程 今有三个二次曲面 2.设曲面S由方程ax+by+c=G(x2+y2+x2)确定,试证明:曲 面S上任一点的法线与某定直线相交 其中,a>b>c,λ1≠2≠3,均为常数。证明:在三曲面的交点 处,三曲面正交 4.设方程 2x2+y2+z2+2xy-2x 4z+4=0 确定函数z=x(x,y),求其极值 ((0,1)处为极小点,) 3.证明:n边园内接多边形中,面积最大者是n正边形 4.设F(x,y,=)=0为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点 P(x1,y1,=)P(x2,y2,=2).,今一光线从射出,经曲面再反射 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 第二章 多元函数微分学 11-Exe-2 习题讨论(II) 11-Exe-2-1 讨论题 11-Exe-2-1 参考解答 习 题 讨 论 题 目 1. 若函数 z = z(x, y),由方程 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F 确定，其 a,b, c 为 常数, 2 F  C , 证明： (1) 由 z = z(x, y) 确定的曲面上任一点的切平面共点； (2) 函数 z = z(x, y) 满足偏微分方程: 2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z . 今有三个二次曲面： 2．设曲面 S 由方程 ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + x 确定, 试证明：曲 面 S 上任一点的法线与某定直线相交。 3. 1, 1,2,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + − i c x b x a x  i  i  i 其中， a  b  c ,  1  2  3 , 均为常数。证明：在三曲面的交点 处，三曲面正交。 4. 设方程 2 2 2 2 4 4 0 2 2 2 x + y + z + x y − x − y − z + = 确定函数 z = z(x, y), 求其极值。 ( (0,1) 处为极小点，)。 3. 证明: n 边园内接多边形中，面积最大者是 n 正边形。 4. 设 F(x, y,z) = 0 为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 P x , y ,z , P x , y ,z , ，今一光线从射出，经曲面再反射

第二章多元微分学 到,根据光程最短原理,证明反射定理:即光线途经曲面时,入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5.P是三角形ABC中的一点,从它向三边作垂直线,由垂足形成 另一个三角形DEF。试问在何处时,此新三角形面积最大? 解答参考 1.若函数z=2(x,y),由方程Fx=a =0确定,其a,b,c为 常数,F∈C2,证明 (1)由z=x(x,y)确定的曲面上任一点的切平面共点 (2)函数z=x(x,y)满足偏微分方程 02a2z(a2 证明:(法1) 22) =0→两边对x和y求导: x-a az F y-b az =0 (E-c)ax ( →切平面: →切平面总是过点(a,b,c) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5. P 是三角形 ABC 中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成 另一个三角形 DEF 。试问在何处时，此新三角形面积最大？ 解 答 参 考 1. 若函数 z = z(x, y),由方程 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F 确定，其 a,b, c 为 常数, 2 F  C , 证明： (1) 由 z = z(x, y) 确定的曲面上任一点的切平面共点； (2) 函数 z = z(x, y) 满足偏微分方程: 2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z . 证明：(法 1) ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F  两边对 x 和 y 求导： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( )        =           − − − − +             − −  − =           − − +   −           − − − −  0 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 2 y z z c y b z c F y z z c x a F x z z c y b F x z z c x a z c F  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 =   − + −   − −   − −   − + − y z z c y b x z x a y z y b x z z c x a  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = −   − −   − +   −   − − − + − − z c x z x a x z x a y z y b y z z c y b z c z c  ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − z c y z y b x z x a  切平面： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 − − =   + −   − z z y z x y y y x z x y x x  切平面总是过点 (a,b,c)

第二章多元微分学 ·将(x-a)+(-b)-(2-c)=0对x和y再求导 aa a2-a -b) aa celo 若(x-aXy-b)≠0 a2= 02=822 (解2) :=1)-04)-0 F 0 =F1(-c-(x-k+r1(=c-(y=k=0 →(-c)F+(-c)fd-(x-a+(-bk=0 →(=0-cF1Px-x0)+(=0-c)F2(Py-y)- -(x0-a)F(P)+(vo-b)F(P0)(=-=0)=0 →切平面总是过点(a,b,c 2.设曲面S由方程ax+by+c=(x2+y2+2)确定,试证明:曲 面S上任一点的法线与某定直线相交 (证一)ax+by+c=G(x2+y2+ a+c b+c==2y+2 aaa 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 ⚫ 将 ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − z c y z y b x z x a 对 x 和 y 再求导: ( ) ( ) ( ) ( )          =   + −   +    −   =    + −   + −   y z y z y b y z x y z x a x z x y z y b x z x a x z 2 2 2 2 2 2  ( ) ( ) ( ) ( )          = − −    −    = − −   − 2 2 2 2 2 2 y z y b x y z x a x y z y b x z x a 若 (x − a)(y −b)  0  2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z (解 2) ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F  , = 0               − − − − z c y b z c x a d F :  1 2  = 0      − −  +       − −  z c y b F d z c x a F d  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 = − − − − +  − − − −  z c z c dy y b dz F z c z c dx x a dz F  (z −c)F1 dx +(z −c)F2 dy −((x −a)F1 +(y −b)F2 )dz = 0  (z0 − c)F1 (P0 )(x − x0 )+ (z0 − c)F2 (P0 )(y − y0 )− − ((x0 − a)F1 (P0 )+ (y0 − b)F2 (P0 ))(z − z0 ) = 0  切平面总是过点 (a,b,c) 2．设曲面 S 由方程 ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z 确定, 试证明：曲 面 S 上任一点的法线与某定直线相交。 (证一) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z                    = +   +          = +   + G y z y z y z b c G x z x z x z a c 2 2 2 2

第二章多元微分学 C-2= az 6-2vG yc-2二 →万=(a-2xG)+(b-2yG)+(c-2zG)k +b+k)-2x7+2yo5+2Gk) bj+ck 其中:A=(a,b,),F=(x,y,=) →法线与向量A和F共面,即与定直线 x=2=三总相交或平行 若x·y·二≠0,G"≠0则不会平行。 (证二)ax+by+c=G(x2+y2+=2) a+c=2x+2 ax a+c- 2x+2 ax 6+ 02=\y az b+c- 2y 2x+2. b av →(cy-bz)+(a-cx y|=0 (证二)ax+by+c=G(x2+y2+=2) -adx+bdy+cd==(2xdx+2ydy+2==) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论         −  −  = −   −  −  = −   c zG b yG y z c zG a xG x z 2 2 2 2  n (a xG )i (b yG )j (c zG )k     = − 2  + − 2  + − 2   n (ai bj ck ) ( xG i yG j zG k )        = + + − 2  + 2  + 2   n (ai bj ck ) G (xi yj zk )        = + + − 2  + +  n A G r    = − 2  其中： ( ) ( ) T T A = a,b,c , r = x, y,z    法线与向量 A  和 r  共面，即与定直线 c z b y a x = = 总相交或平行 若 x  y  z  0 , G  0 则不会平行。 (证二) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z                    = +   +          = +   + G y z y z y z b c G x z x z x z a c 2 2 2 2  y z y z x z x z y z b c x z a c   +   + =   +   + 2 2 2 2  2 2 2 2 = 0            +        − +            +        + y z b c x z x z y z y z x z a c  ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − bx ay y z az cx x z cy bz  0 1 = −     a b c x y z y z x z (证二) ( ) 2 2 2 ax + by + cz = G x + y + z  adx + bdy + cdz = G(2xdx+ 2ydy + 2zdz)

第二章多元微分学 →(a-2xG)+(b-2G+(c-2xG)=0 3.今有三个二次曲面 l,i=1,2,3 其中,a>b>C,1≠凡2≠3,均为常数。证明:在三曲面的交点 处,三曲面正交 总是有三个不同的≠2≠3形成如此的三个曲面:因为 F(x2)=x(b2-x2)2-x2)+y2(a2-)2-x)+ +2(G2-2)b2-x2)+(a2-x2)b2 22)c2-2 在区间[b[[+<端点异号,因此有三个不同实根。 在三曲面的交点P(x,y,)处:三曲面之法向量: x 2=123 5a-2a-x)(b-)62-2) 2Xe2-2) 4 元2b2- 22:(-1)-(1)=0 4 2-x2)a2-x2) 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论  (a − 2xG)dx + (b − 2yG)dy + (c − 2zG)dz = 0 3. 今有三个二次曲面： 1, 1,2,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + − i c x b x a x  i  i  i 其中， a  b  c ,  1  2  3 , 均为常数。证明：在三曲面的交点 处，三曲面正交。 解： ⚫ 总是有三个不同的  1  2  3 形成如此的三个曲面：因为 ( ) = ( − )( − )+ ( − )( − )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F  x b  c  y a  c  ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + z a −  b −  + a −  b −  c −  , 在区间 c,b,b,a,a,+ 端点异号，因此有三个不同实根。 ⚫ 在三曲面的交点 P(x, y,z) 处：三曲面之法向量： , 1,2,3 2 , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 =         − − − = i c z b y a x n i i i i     ; ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j i j i j b b y a a x n n   −  −  + − −  =   ( )( ) 2 2 2 2 2 2 i j c c z −  −  + = −         − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j i i i c z b y a x              − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j j j j c z b y a x      = (( 1) ( 1)) 0 4 2 2 − − − =  i −  j . [注]: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j j i i j i j a a x a a a a x         − − − − −  − = − −

第二章多元微分学 1-2 设方程 2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4x+4=0 确定函数z=-(xy),求其极值 (法一)用无条件极值求 4x+2 求驻点: 2y+2=-+2x-2-4-=0 z 0 X= 0 2y+2x-2=0 292 a2 0 az a- (x,y,=)=(011) 用{a(0)az04)=0.0 代入上式 ay 4+2 a2=0.1) a2=0.1) a2. Vox Ovan ((0,1)处为极小点,) 5.证明:n边园内接多边形中,面积最大者是n正边形 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 = ( ) ( )        − − −  − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 i j a i a j x     4. 设方程 2 2 2 2 4 4 0 2 2 2 x + y + z + x y − x − y − z + = 确定函数 z = z(x, y), 求其极值。 (法一) 用无条件极值求： 求驻点：        =   + − −   + =   + − −   + 2 2 2 2 4 0 4 2 2 2 4 0 y z x y z y z x z y x z x z     = =     + − = + − =         =   =   1 0 2 2 2 0 4 2 2 0 0 0 y x y x x y y z x z            =    + −    +      =   −   +           + =   −    +        + 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 4 2 2 4 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x z y x z z y z x z y z y z z y z x z x z z x z 用 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      =            = 0,0 0,1 , 0,1 , , 0,1,1 y z x z x y z 代入上式： ( ) ( )           =    =   =              =    + −    =   −   + =   −   + 1 1 0,1 2 0,1 2 2 4 0 2 2 4 0 4 2 4 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x z y z x z y x z y x z y z y z x z x z ( (0,1) 处为极小点，)。 5. 证明: n 边园内接多边形中，面积最大者是 n 正边形

第二章多元微分学 6.设F(x,y,z)=0为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点 P(x1,y1,=1)P(x2,y2,=2), ,今一光线从P射出,经曲面再反 射到P2,根据光程最短原理,证明反射定理:即光线途经曲面时, 入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲 面在该点法线立夹角) x M y-V1 =1=(x-x)+(y-y)+(-=) r=-=F 元2=(x-x2y-y2z-z2) h2==x-x2)+(y-y2)+(-=2) 72 Min(r +r s!.F(x,y=)=0 L(x,y,=,)=(+n2)+F(xy=) g(=0=8m(+)+9dF=0 x,y,= 1x0+2gdF=0n++k万=0 x,y F(xy=)=0 An三者共面 F20×n=0 →0×=际20x→Sm(70,)=Sm(70x) (G0,n)=0(20×) 7.P是三角形ABC中的一点,从它向三边作垂直线,由垂足形成 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 6. 设 F(x, y,z) = 0 为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 P x , y ,z , P x , y ,z , ，今一光线从 P1 射出，经曲面再反 射到 P2 ，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时， 入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲 面在该点法线立夹角)。 解：令 ( ) 1 1 1 1 r = x − x y − y z − z  , ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 1 r = r = x − x + y − y + z − z  10 1 1 1 r r r grad r   = = ; ( ) 2 2 2 2 r = x − x y − y z − z  , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r = r = x − x + y − y + z − z  20 2 2 2 r r r grad r   = = ( )  ( )   = + . . , , 0 1 2 st F x y z Min r r , L(x, y,z, ) (r r ) F(x, y,z)  = 1 + 2 +  grad L(x, y,z,) = 0  ( )  ( )   = + + = , , 0 1 2 0 F x y z grad r r grad F   ( )   = + + = , , 0 10 20 0 F x y z r r  grad F     ( )   = + + = , , 0 10 20 0 F x y z r r n          +  = 0 , , 10 20 10 20 r n r n r r n         三者共面  r n r n Sin(r n) Sin(r n)         10  = 20   10 , = 20   (r n) (r n)      10 , = 20  . 7. P 是三角形 ABC 中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成

第二章多元微分学 另一个三角形DEF。试问在何处时,此新三角形面积最大? 解:设三角形ABC的三内角分别为 a,B,y E 三角形ABC的三边为 b 角形ABC的面积为S 过P的三边垂线长为: PD=x, PE=y, PF= B 则问题变成 Max/(x, y,3)=2(xy Siny+ y= Sina+=x Sin B) sI.(xa+yb+zc)=S L(x, y, 3,=f(x,y, :)+(ax+by+cz-S) = sIn y =in B+an=0 a r s x siny +Sin a +bi=0 OL ar s usina+xsin B+cn=0 ax+by+c2-2S=0 0 0 Sina b Sin b sina 0 b 令Φ=Smy0 Sinau=y,p=b P 0 PΦD p'u=2S p-l 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 另一个三角形 DEF 。试问在何处时，此新三角形面积最大？ 解: 设三角形 ABC 的三内角分别为 , , ; 三角形 ABC 的三边为 a,b, c ; 三角形 ABC 的面积为 S 过 P 的三边垂线长为： PD = x,PE = y, PF = z ; 则问题变成： ( ) ( ) ( )        + + = = + + st x a yb zc S Max f x y z x ySin yz Sin zx Sin 2 1 . . 2 1 , ,    L(x y z ) = f (x y z)+ (ax + by + cz − S) 2 , , , , ,   ;            = + + − =   = + + =   = + + =   = + + =   2 2 0 2 0 2 0 2 0 ax by cz S L ySin xSin c x L xSin zSin b x L ySin zSin a x L                          =                             S z y x a b c Sin Sin c Sin Sin b Sin Sin a 2 0 0 0 0 0 0 0        令            = 0 0 0       Sin Sin Sin Sin Sin Sin           = z y x u ,           = c b a p          =                 S u p p T 2 0 0      =  + = p u S u p T 2  0           = −  =  − = − − − − p p p S u p p p S T T 1 1 1 1 2 2   , C E D y x P z B F A

第二章多元微分学 Max(x,, 3)=JuQu==s p'o p Sina Sin a Sin B Sin a Siny Sin B -Sin B Sin B 2 Sin a Sin B Siny Sina Siny Sin B Sin?-Sin/ ab-b2bc,其中R是三角形内切园半径。 abc ac bc Sin a Sin B Sinr=R 第二章习题讨论

第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 ( ) p p S Max f x y z u u T T 1 4 1 , , −  =  =  =   = −1 1 * =           − − −                   2 2 2 2 1 Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin =           − − − 2 2 2 2 ac bc c ab b bc a ab ac abc R ,其中 R 是三角形内切园半径。 R c Sin b Sin a Sin = = =   