Ch2-12 §22离散型随机变量及其概率分布 离散随机变量及分布律 定义若随机变量ⅹ的可能取值是有限 个或可列个,则称X为离散型随机变量 描述κ的概率特性常用概率分布或分布律」 即P(x=x)=n,k=12 成F r k PP1p2…Pk…
Ch2-12 §2.2离散型随机变量及其概率分布 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 P(X = xk ) = pk , k =1,2, X x1 x2 xk P p1 p2 pk 或 离散随机变量及分布律 即
Ch2-13 或x~「xx2 k p, pk 分布律的性质 Pk≥0,k=1,2 非负性 口∑P 归一性 k=1
Ch2-13 分布律的性质 ❑ pk 0, k =1,2, 非负性 ❑ 1 1 = k= k p 归一性 或 X ~ x1 x2 xk p1 p2 pk
Ch2-14 离散随机变量及分布函数 F(x)=P(X≤x)=P(∪(X=x) ∑P(X=x)=∑P xh≤x xh≤x k)-Flr Pk=P(X=xx)=F(k) k-1 其中xk1<xk (x)是分段阶梯函数,在X的可能取 值x处发生间断,间断点为第一类跳跃间 断点在间断点处有跃度pk
Ch2-14 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 离散随机变量及分布函数 ( ) ( ) ( ) k = = k = k − k−1 p P X x F x F x ( ) ( ) (( )) x x k k F x P X x P X x = = = = = = x x k x x k k k P(X x ) p 其中 . k k x x −1
Ch2-15 同例1设汽车在开往甲地途中需经 过4盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率p允许汽车通过令X表示 首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概 率分布与p=04时的分布函数. 解米米米米 出发地 甲地 P(x=)=p2(-p,k=023 PX=4)=p
Ch2-15 P(X = k) = p (1− p), k = 0,1,2,3 k 解 ( 4) , 4 P X = = p 例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地 甲地 首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数. 令 X 表示
Ch2-16 P=0.4k01 2 3 4 代入 Pk0.60.2400960.03840.0256 x01234 X x<0 F(x)06 0≤x<1 P(X≤x)= 0.6+0.24=0.84 1<x x<2 0.84+0.096=0.936,2≤x<3 0.936+0.0384=0.9744,3≤x<4 x≥4
Ch2-16 • 0 • 1 • 2 • 3 • 4 x x ] ] 0.6 + 0.24 = 0.84, 1 x 2 0.6, 0 x 1 0, x 0 0.84 + 0.096 = 0.936, 2 x 3 0.936 + 0.0384 = 0.9744 , 3 x 4 1 x 4 F(x) ]• • ] k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256 代入 p = 0.4 P(X x) =
Ch2-17 F(x 0 0 234 X
Ch2-17 • 0 • 1 • 2 • 3 • 4 x F( x) o • o 1 • • o • o • o
Ch2-18 用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2在上例中,分别用分布律与分布函数计 算P(l≤X≤3) 解P(≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0.6(0.4+0.42+0.4)=0.3744 或 P(1sX≤3)=F(3)-F(1-0)=0.9744-0.6 此式应理解为极限血F(x) t>1
Ch2-18 用分布律或分布函数来计算事件的概率 例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 P(1 X 3). 解 P(1 X 3) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) 0.6(0.4 0.4 0.4 ) 0.3744 2 3 = + + = 或 P(1 X 3) = F(3) − F(1− 0) = 0.9744−0.6 此式应理解为极限 lim ( ) 1 F x x→ −
Ch2-19 例3一门大炮对目标进行轰击假定此目标 必须被击中次才能被摧毁.若每次击中目 标的概率为(0<p<1),且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止求所需 轰击次数X的概率分布. 解P(X=)=P前k-1次击中r-1次, 第k次击中目标) =Ckp(-p)}·p 帕斯卡口=Cp(1-p)k=,+1… 分布
Ch2-19 例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标) C p p p r r k r k = − − − − − (1 ) 1 1 1 r r k r k C p p − − = − (1− ) 1 帕斯卡 1 k = r,r +1, 分 布
Ch2-20 注∑Cp(1-p)=1 利用幂级数在收敛域內可逐项求导的性质 当|xk1∑x k-1 x ∑(k-1x2=-1 (1 2 ∑(k-1)k-2)x x (1-x)3
Ch2-20 注 (1 ) 1 1 1 − = = − − − k r r r k r k C p p 利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质 x x k k − = = − 1 1 1 1 2 2 2 (1 ) 1 ( 1) x k x k k − − = = − 当 | x |1 3 3 3 (1 ) 2 ( 1)( 2) x k k x k k − − − = = − 3 3 2 3 1 (1 ) 1 x C x k k k − = = − −
Ch2-21 归纳地 1 k-1 x 1-p ∑Ck-(1-p) 1 (1-(1-p) 1—P k=1P(1 :1
Ch2 -21 r k r r k r k x C x (1 ) 1 1 1 − = = − − − 归纳地 令 x = 1 − p r r k r r k r k p p C p 1 (1 (1 )) 1 (1 ) 11 = − − − = = − − − (1 ) 1 1 1 − = = − − − k r r r k r k C p p