第七章定积分的应用 第七章定积分的应用 (The Applications of definite integration 第二十讲定积分在物理等方面的应用 课后作业: 阅读:第七章74:pp.211-215;75:215-219 预习:第八章81;82:pp.220--237 作业:pp.218-219:第七章综合1;6;13;16;18;20. 7-2定积分在物理等方面的应用 721变力作功问题 质量为m的物体,在外力F=F(x)的作用(外力的方向与x轴的 夹角为b)下,沿x轴在从A(a,0)位移到B(b,0),求外力所作的功W dH=F(x)os.→=F(x)osa 例1,在质量为m质点引力作用下,单 位质量质点运动所作的功 -mx 解:F(x) F W 例2,动能定理 F=mas=mdv dx=m dv dx dt r-m2==() -m2(b)-=(a) 2 rea 例3,动量定理:F=ma=m→Fd=mdh 「Fd=「mh→「Fh=mn()-m:v) 第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 ( The Applications of definite integration ) 第二十-讲 定积分在物理等方面的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.4: pp. 211---215; 7.5: 215---219 预习：第八章 8.1; 8.2 : pp. 220---237 作业: pp.218---219: 第七章综合 1; 6; 13; 16; 18; 20. 7-2 定积分在物理等方面的应用 7.2.1 变力作功问题, 质量为 m 的物体, 在外力 F = F(x) 的作用 (外力的方向与 x 轴的 夹角为 )下，沿 x 轴在从 A(a,0) 位移到 B(b,0) , 求外力所作的功 W 。 dW = F(x) cos dx ( ) = b a W F x cos dx . 例1， 在质量为 m 质点引力作用下, 单 位质量质点运动所作的功 解： F(x) = ( ) 3 2 2 2 cos x h m x r m + − = , ( ) 3 2 2 x h m x dx dW + − = ( ) + − = b a x h m x dx W 3 2 2 例2， 动能定理： dx dv mv dt dx dx dv m dt dv F = ma = m = = , ( ( )) = = b a b a d v x m dx dx dv W mv 2 2 = ( ) mv (b) mv (a) mv x x b x a 2 0 2 2 2 1 2 1 2 = − = = 例3， 动量定理: Fdt mdv dt dv F = ma = m = = 2 1 2 1 t t t t Fdt mdv ( ) ( ) 2 1 2 1 Fdt m v t m v t t t = − y h F(x) 0 x x+dx x a dx b
第七章定积分的应用 722物体间引力问题 线密度为p(x)的杆杆长为l)对单位 质量质点的引力 d F=-2cose=x-pxdx F(x) sIm 6=- p hdx xth h=-Px女 pr dx2+h2 Aph h 12+h2 F phdx_pr-d+(h/x)) h√r2+h 723图形重心问题 平面图形y=f(x),x∈[a,b]的重心 矩dM,=xdA= xrd,dM xydx xydx d x dx y A A ydx M,=xA, M=yA 平面曲线y=f(x),x∈[a,b]的重心: 矩dM,=xd,dMx=yll x y L= dI L L y L 第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 7.2.2 物体间引力问题 线密度为 (x) 的杆(杆长为 l ) 对单位 质量质点的引力. ( ) 3 2 2 2 cos x h xdx r dm dFx + − = = , ( ) 3 2 2 2 sin x h hdx r dm dFy + = = ( ) ( ) ( ) + + = − + = − l l x x h d x h x h x dx F 0 3 2 2 2 2 0 3 2 2 2 = x h l h h x l x − + = + = = 2 2 0 2 2 ( ) ( ( ) ) ( ) + − + = + = l l y h x d h x h x h h dx F 0 3 2 2 0 3 2 2 1 1 2 = 2 2 0 2 2 h l h l x h x h x l x + = + = = 7.2.3 图形重心问题 平面图形 y = f (x), x [a,b] 的重心： 矩 dM xdA xydx y = = , dx y dA y dM x 2 2 2 = = = b a b a ydx xydx x = A xydx b a , = b a b a ydx dx y y 2 2 = A dx y b a 2 2 M y = x A , M x = y A 平面曲线 y = f (x), x [a,b] 的重心： 矩 dM xdl y = , dM ydl x = L xdl x AB = , L ydl y AB = , = AB L dl , M y = x L , M x = y L y h F(x) 0 x x+dx x dx l
第七章定积分的应用 迥转体的体积与旋转面重心的关系 dv=ry dr=2r(y ydx=2x ydA=2T dM →=2M2=2ryA 由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V等于图形面积乘重心的y 坐标j为半径的圆周长 迥转弧表面积与旋转弧重心的关系: ds=2 ydI=2r(ydn)=2 dM →S=2mM=2nyL 由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S,等于曲线弧长乘重心 的y坐标j为半径的圆周长。 例,关于半园的体;半园弧重心 的计算 1,半园的重心 dM=y·dS=y·2xdh 2v√R R2-y2 R-y(k-y)=-2(R2-2)=28 M 2R/rR4 y R 2,半园弧的重心 ∫x= Rcost 了文 y=Rsin t d=√()+()=th dM=x·d= Rcost·dt M=2 Rcostdt=2R. x M_2R_2 第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 ⚫ 迥转体的体积与旋转面重心的关系： dA dM x y ydx y dV y dx 2 2 2 2 2 2 = = = = V = 2M x = 2 y A 由图形绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V, 等于图形面积乘重心的 y 坐标 y 为半径的圆周长。 迥转弧表面积与旋转弧重心的关系: ( ) dM x dS = 2 y dl = 2 ydl = 2 S = 2M x = 2 y L 由曲线绕 x 轴旋转而成的旋转面表面积 S, 等于曲线弧长乘重心 的 y 坐标 y 为半径的圆周长。 例，关于半园的体; 半园弧重心 的计算 1, 半园的重心: dM = y dS = y 2xdy = y R y dy 2 2 2 − − = − R R M y R y dy 2 2 2 = ( ) − − − R R y d R y 0 2 2 2 2 2 = ( ) 3 2 3 2 3 0 3 2 2 R R y R − − = . R R R S M y 3 4 3 2 2 3 2 = = = 2, 半园弧的重心: = = y R t x R t sin cos , dl = (dx) + (dy) = dt 2 2 dM = x dl = Rcost dt M 2 Rcostdt 2R 2 0 = = , 2 2 = = = R R L M x . y R dl y (x,y) 0 R x
第七章定积分的应用 综例:设∫(x)在[a,b上连续且单调增,证明: a+b xf(x)dx≥ f(x)do 证法一]利用变上限定积分,利用单调性: 令F()10(0-=2丁(Mh,xea 因为∫(x)在ab上连续,故有 F(x)=xf(x) √J(l-如+x 1∫1(x)-f(ou 因f(x)在{ab]上单调增,有F(x)≥0 从而,F(x)在[a,b]上单调增 又F(a)=0,所以有F(b)≥F(a)=0,即 x(r)dxa+brb 2J,J(r)dx [证法二]利用定积分的性质 因∫(x)在[a,b上单调增,故有 a )(f(x)-f()≥0 a+b 从而(x X(x)-/*b )dx≥0 注意到x-a+b=0,从而, a+ a+b 于是有「(x )f(x)dx≥0,即 J(x)22(x) 证法三]利用积分中值定理: 9+b~) 9+p-r of(x)dx+L( Gr=a+b of(xdx =/5)(x-a+b d+f(52)(x 2 第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 综例: 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续且单调增，证明： + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令 + = − x a x a f t dt a x F x tf t dt ( ) 2 ( ) ( ) ， x [a,b] 因为 f (x) 在 [a,b] 上连续，故有 = − − − = + = − − x a x a x a f x f t dt f x f t dt x a f x a x F x xf x f t dt [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 因 f (x) 在 [a,b] 上单调增，有 F(x) 0 ， 从而， F(x) 在 [a,b] 上单调增 又 F(a) = 0 ，所以有 F(b) F(a) = 0 ，即 + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法二] 利用定积分的性质： 因 f (x) 在 [a,b] 上单调增，故有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 ( + − + − a b f x f a b x 从而 )) 0 2 )( ( ) ( 2 ( + − + − b a dx a b f x f a b x 注意到 ) 0 2 ( = + − b a dx a b x ，从而， ) 0 2 ) ( 2 ( = + + − b a dx a b f a b x 于是有 ) ( ) 0 2 ( + − b a f x dx a b x ， 即 + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法三] 利用积分中值定理： + + + + + + − + = − + + − + = − + − b a b a b a a b a b a b a b dx a b dx f x a b f x f x dx a b f x dx x a b x f x dx a b x 2 2 2 2 ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) 2 ( 1 2
第七章定积分的应用 a+b (其中,a≤51≤-≤52≤b) 而 Cr-a+b dx=-(b-a) 2 因为f(x)在ab]上单调增,且51≥52,所以,f(51)≥f(2) a+b 从而|(x )f(x)dx=[(1)-f(52)(b-a)220 8 r(xdr> a+b 证法四] 因为∫(x)在[ab上单调增,所以,Ⅵ,x∈[a,b有 (t-x)Lf(1)-f(x)≥0 固定x,对t积分,得 ∫0(o0-xJ()h+y(xb-a)-f(x)!m≥0 即∫.0)=(0+x(xb-a)-()2(b2-a2)20 再对x积分,得 a)(0-2(2-a)!/M+(b-o)y(x) 26-a).(x20 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质,得到 2(b-a) xf(xddx( f(x)dhx≥0 即 x(x)h≥+brb f(r)dx 重心的横坐标: xf(x)dx a+ b esfr) f(x) vo (a+b)/2 第七章定积分的应用
第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 （ 其中， b a b a + 1 2 2 ） 而 2 ( ) 8 1 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 dx b a a b dx x a b x b a a b a b = − + = − + − + + 因为 f (x) 在 [a,b] 上单调增，且 1 2 ，所以， ( ) ( ) 1 2 f f 从而 [ ( ) ( )]( ) 0 8 1 ) ( ) 2 ( 2 = 1 − 2 − + − f x dx f f b a a b x b a 即 + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) [证法四] 因为 f (x) 在 [a,b] 上单调增，所以， t ， x [a,b] 有 (t − x)[ f (t) − f (x)] 0 固定 x ，对 t 积分，得 ( ) − ( ) + ( )( − ) − ( ) 0 b a b a b a tf t dt x f t dt x f x b a f x tdt 即 ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 − + − − − tf t dt x f t dt x f x b a f x b a b a b a 再对 x 积分，得 ( ) ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 − − − − − + − b a b a b a b a b a f x dx b a tf t dt b a f t dt b a x f x dx 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 − − − b a b a b a x f x dx b a f x dx 即 + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) 重心的横坐标： 2 ( ) ( ) 0 a b f x dx xf x dx x b a b a + = y y=f(x) (x0,y0) 0 a (a+b)/2 b x
