清华大学：《微积分》课程教学资源_第七章（第十九讲）续定积分的计算（课后作业）

第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 7-1定积分概念与性质 7-2可积性与可积函数类 6-3 Newton- Leibniz公式 7-4定积分的计算方法 7-5定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 7-5-2定积分在几何方面的应用 7-5-3定积分在物理方面的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 7-6-3应用 第十九讲定积分的应用 课后作业: 阅读:第七章7.6:pp269-285;77:pp.288-295 预习:78:pp.296--310 练习p.286-287:习题7.6 全部复习题,习题1,(1)、(2);2,、(1);3(1)2);4:6; 7(1),(2):8;9(1);10.1)2(2);1l(1) pp.295--296:习题7.7 1;2(1);3;5;7 作业:pp286--287:习题76 习题1,(3),(4)(5);2,(2),(3),(4);3;5;7(3) 9(2);10(3);11(2);12 pp295-296:习题77 习题2(2);4;6;9 75定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 定积分问题的持征 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-4 定积分的计算方法 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 7-5-2 定积分在几何方面的应用 7-5-3 定积分在物理方面的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 7-6-3 应用 第十九讲 定积分的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.6: pp269---285; 7.7: pp.288---295 预习：7.8: pp. 296---310 练习 pp.286---287: 习题 7.6 全部复习题，习题 1,(1),(2); 2,(1); 3,(1),(2);4;6; 7(1),(2);8;9(1);10,(1),(2);11(1) pp.295---296: 习题 7.7 1; 2(1);3; 5; 7 作业: pp.286---287: 习题 7.6 习题 1, (3),(4),(5); 2, (2),(3),(4); 3; 5;7(3) 9(2); 10(3);11(2);12 pp.295---296: 习题 7.7 习题 2(2); 4; 6; 9 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 ⚫ 定积分问题的持征：

第七章定积分 定积分量F是区间I的函数:F(),具有对区间的可加性 即,若l1和l2内部之交为空集,则有 F(1∪1)=F(1)+F(l) 解决定积分问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量 (1)分小取近似:M≈f(Ax (2)求和取极限 =m∑f()Ax=f(x) 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1)分小取微分:M≈d=f(x)k (2)积分求增量:=「f(x)x=F(b)-F(a) 7-5-2定积分在几何方面的应用 求平面图形的面积 1)平面图形的面积是什么 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为G,通常做法是用两种多边形P和Q,其面积分别为 Sp,S,使得: PCGCO:取S,=Sp(S),S=(S) 如果有S,=S=S,显然可认为图形G的面积是S 2)各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: 可x △S≈f(x)-g(x)Ax S=[(x)-g(x)k, 其中,b≥a 在参数方程表示下: d xi kr+4x b 0 x=x y=yo p() S=CI(x()-g(x()x(dr AS 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 定积分量 F 是区间 I 的函数: F(I) ，具有对区间的可加性: 即，若 1 I 和 2 I 内部之交为空集, 则有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 F I I = F I + F I 。 ⚫ 解决定积分问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 (1) 分小取近似: ( )i i I  f  x ; (2) 求和取极限:   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1) 分小取微分: I  dI = f (x)dx ; (2) 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) b a = = −  . 7-5-2 定积分在几何方面的应用 ⚫ 求平面图形的面积： 1)平面图形的面积是什么？ 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为 G ，通常做法是用两种多边形 P 和 Q , 其面积分别为 : S P SQ , , 使得 : P  G  Q : 取 ( ) P P S* = Sup S , ( ) Q Q S = Inf S * . 如果有 S = S = S * * , 显然可认为图形 G 的面积是 S . 2)各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： S  f (x) − g(x)x ; S f x g x dx b a = ( ) − ( ) , 其中， b  a 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , S = f x t g x t x (t)dt t t −   2 1 ( ( )) ( ( )) y y=f(x) ΔS y=g(x) a x x+Δx b 0 x  = () ρ+dρ ΔS φ ρ

第七章定积分 在极坐标系下: △S≈p2()△p;a≤φ≤B ( 例1:双曲线,x2-y2=a2 求双曲线弧 MNM'OM 所围图形的面积 xdx x√x2-a2-「 x-a +a d x x d x S22-y-2-)--(=) 所求面积S=xy-S1=a2h+y 进一步:S=xy-S1=a2hnx+y→x+y=ae 由x ae x= a 解出 x= c2=a2-b2,椭圆渐屈线所围面积 S=4 In t coS tsIn t d t sint(l-cos 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 在极坐标系下：    ( ) 2 2 1 S ;       ( )    S d  = 2 2 1 3)例 1 : 双曲线, 2 2 2 x − y = a , 求双曲线弧 MNM’0M 所围图形的面积。  = − x a S x a dx 2 2 1 2  − = − − = x a x x a x a x dx x x a 2 2 2 2 2  − − + = − − x a dx x a x a a x x a 2 2 2 2 2 2 2   − = − − − x a x a dx x a a x y x a dx 2 2 2 2 2  = − x a S x a dx 2 2 1 2         + − = − a x x a x y a 2 2 2 ln       + = − a x y x y a ln 2 所求面积 a x y S xy S a + = − = ln 2 1 进一步： a x y S xy S a + = − = ln 2 1  2 a S x + y = a e , 由 2 2 2 x − y = a  2 a S x y a e − − = ; 解出：                = − =        = + =  − − 2 2 2 2 2 2 2 2 a S a sh e e y a a S a ch e e x a a S a S a S a S 例 2:        = = t b c y t a c x 3 2 3 2 sin cos , 2 2 2 c = a − b , 椭圆渐屈线所围面积。 ( )   =  = − 2 0 2 0 4 2 4 2 2 3 2 sin 1 cos 12 cos sin 3 4 sin   t t dt ab c t t dt a c t b c S y M 0 N x a x

第七章定积分 12c4(31x5·3·1x 3Tc b(4.226.4.2 8ab 例3,求叶形线x3+y3=3axy在第一象限中的面积 basin 化成极坐标。 0≤≤x y=psin sin t cos p sn +cos p 设t=gq,利用广义积分可得: s:9a2 tdt 9a2 求曲线的弧长: 曲线的长度是什么? 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,在子弧最大直径趋于零时的极限 2,各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: △=(△x)2+(4y) L dx 在参数方程表示下: (t)2+(dy) p() L=vEx )+(2 )'dr t1≤t≤t2 在极坐标系下: M≈V(a△)+(△)2 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 = ab c ab c 8 3 6 4 2 2 5 3 1 4 2 2 12 3 1 4 4     =            −    例 3, 求叶形线 x y 3axy 3 3 + = 在第一象限中的面积。 化成极坐标。    = =     sin cos y x , 2 , 0 sin cos 3 sin cos 3 3          + = a . S =           + = 2 0 2 3 3 2 0 2 sin cos 3 sin cos 2 1 2 1          d a d 设 t = tg , 利用广义积分可得： S = ( ) ( ) 2 3 31 1 lim 2 9 2 1 9 2 0 3 2 0 2 3 2 2 a t a t a t dt b b = + − = + →= +  ⚫ 求曲线的弧长： 1, 曲线的长度是什么？ 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长, 在子弧最大直径趋于零时的极限。 2, 各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l  x + y ; x x y          = + 2 1 dx dx dy L b a       = + 2 1 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 ( ) ( )  =  +  2 1 2 2 t t L xt xt dt 1 2 t  t  t 在极坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l   +  ;  = () ρ+dρ ΔS φ ρ

第七章定积分 L=CV(0)+(n(o)d,a≤≤B e+e 例1,悬链线y=ach 的弧长 2 ∠=+-==a 例2,星形线 的弧长 y=asn t L=∫√ah)+()=43 asin t costar=60 例3,蜗线p= a cos+b的弧长 (0)+(p()=a2+2 ab cos o+b2=(a+b)|1 L=CV(0)+(()d=+ 4ab =2(a+b) 11- 4ab sin2t dt=2(a+bE 2√abp a+b 例3,椭圆 1的弧长 x= a cost a-+ 用参数方程 y=bsn t √(x)+(x)2=√a2cos21+b2sm2t=a小-a2smnt L=4a√1-E2sm2td=4E|, 求特殊图形的体积 若体积的截面积函数己知A=A(x),则 例,两个半径为的园柱体,其轴垂直相交 求相交部分之体积 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分  () ( ())    L d  = +  2 2 ,      3)例: 例 1, 悬链线 2 a x a x e e a a x y a ch − + = = 的弧长. ( )        =       =      = +  =   a x a sh a x dx a sh a x L y x dx ch x x x 0 0 0 2 1 ( ) . 例 2, 星形线     = = y a t x a t 3 3 sin cos 的弧长. ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 =  = 2 0 4 3 sin cos 6  a t tdt a 例 3, 蜗线  = a cos + b 的弧长. ( ) ( ( )) ( ) ( )         + +  = + + = + − 2 sin 4 2 cos 1 2 2 2 2 2 2 2       a b ab a ab b a b  () ( ())    L d  = +  2 2 = ( ) ( )  + + −    0 2 2 2 sin 4 1 d a b ab a b = ( ) ( ) ( )         + = + + + −  2 , 2 sin 2 4 2 1 2 0 2 2   a b ab t dt a b E a b ab a b 例 3, 椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的弧长. 用参数方程    = = y b t x a t sin cos , a a b 2 2 +  = (x ) (x ) a t b t a t t t 2 2 2 2 2 2 2 2  +  = cos + sin = 1− sin       = − =  2 4 1 sin 4 , 2 0 2 2     L a t dt aE ⚫ 求特殊图形的体积: 若体积的截面积函数己知 A = A(x), 则  = b a V A(x)dx . 例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交， 求相交部分之体积。 X r

第七章定积分 1=8」R-x2-x)h 令x=r k R V=8R[cos2p1-k2sin2odo 平面曲线y=f(x),绕x轴旋转一周而成的体积。 切片:d=4()=yh→V=「xy2=「xf(x 卷筒:d=2ryd=2zy(2(y)-x(y)k →V=2m=j2m(1(y)-x(y) 平面曲线y=f(x),绕x轴旋转一周而成的表面积 d=2xyd,→F=∫2d=∫2(x)1+(0)t 7-5-3定积分在物理方面的应用 作功问题,力F,位移s,力与位移夹角的余弦co(F,s d=F·coS(F,s W=∫Fcos(F,ss 例如,F=ma=m=mqds=md dv du W ds 重心问题 平面图形y=f(x),x∈[a,b]的重心: 矩dM,=xd=xx,aM=2d=2a 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 ( ) 3 0 2 2 3 16 V 8 r x dx r r  = − = ( )( )  = − − r V R x r x dx 0 2 2 2 2 1 8 . 令 R r x = rsin , k =  = − 2 0 2 2 2 1 8 cos 1 sin  V Rr  k  d . ⚫ 平面曲线 y = f (x), 绕 x 轴旋转一周而成的体积。 切片: dV A(x)dx y dx 2 = =     = = b a b a V y dx f (x)dx 2 2   卷筒: dV 2 y ds 2 y (x ( y) x ( y))dy 2 1 =  =  −  ( ( ))   = = − b S a V x ds y x y x y dy 2 1 2 2 ( ) ⚫ 平面曲线 y = f (x), 绕 x 轴旋转一周而成的表面积。 dV = 2 y dl ,  ( )   = = +  b AB a V y dl f x y dx 2 2 2 ( ) 1 7-5-3 定积分在物理方面的应用 ⚫ 作功问题, 力 F, 位移 s, 力与位移夹角的佘弦 cos(F,s) dW = F  cos(F,s)ds ( )  =  2 1 cos , s s W F F s ds. 例如， ds dv mv dt ds ds dv m dt dv F = ma = m = = , 2 0 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 mv mv mv ds d ds dv W mv s s s s = −         = =   ⚫ 重心问题 平面图形 y = f (x), x [a,b] 的重心： 矩 dM xdA xydx y = = , dx y dA y dM x 2 2 2 = =

第七章定积分 A A ydx 「yztr M A 1,=yA 平面曲线y=f(x),x∈[a,b]的重心 矩dM,=xdl,dM y L= d L L M=xL, M,=yL 迥转体的体积与旋转面重心的关系: dr=ndr=2x(y ydr=2r( 2 da=2x dM →V=2M,=2丌yA 由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V等于图形面积乘重心的y坐标y为 半径的圆周长。 迥转弧表面积与旋转弧重心的关系 2r ydl=2r(ydi)=2TdM →S=2mMx=2nyL 由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S,等于曲线弧长乘重心的y坐标下 为半径的圆周长。 迥转体表面积的重心 例,关于球的体积。面积,球冠重心的计算 1,体积 切片 7 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分   = b a b a ydx xydx x = A xydx b a  ,   = b a b a ydx dx y y 2 2 = A dx y b a  2 2 M y = x A , M x = y A 平面曲线 y = f (x), x [a,b] 的重心： 矩 dM xdl y = , dM ydl x = L xdl x AB  = , L ydl y AB  = ,  = AB L dl , M y = x L , M x = y L ⚫ 迥转体的体积与旋转面重心的关系： dA dM x y ydx y dV  y dx   2 2 2 2 2 2  =       =      = =   V = 2M x = 2 y A 由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V, 等于图形面积乘重心的y坐标 y 为 半径的圆周长。 迥转弧表面积与旋转弧重心的关系: ( ) dM x dS = 2 y dl = 2 ydl = 2  S = 2M x = 2 y L 由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S, 等于曲线弧长乘重心的y坐标 y 为半径的圆周长。 迥转体表面积的重心 例，关于球的体积。面积，球冠重心的计算 1, 体积: ⚫ 切片: dV y dx 2 =  , ( )  − = − R R V R x dx 2 2  y R x 2 + y2 =R2 -R 0 x x+△x R -R

第七章定积分 2丌R 卷筒 dv=2a(2ydx) R y=∫4maR2-xa =-[2z√R2-x2d(R2-x 包锥 2Rsin o r 3 edg-4 do==rR3 2,球面面积 d=2myd L=|2ay1+ x 2 dx =4R dx=4R ●比例 在△APO和△OPG中 OP⊥AP,OP=R,AP=d PG⊥QP,PG=y,QP=ahx OG⊥AQOG=x,AQ=d △APO~△OPG 山—R dx dy 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 = ( )  − R R x dx 0 2 2 2  = 3 4 3 2 3 3 3 R R R =         − ⚫ 卷筒 dV = 2x(2ydx),  = − R V x R x dx 0 2 2 4 = = ( )  − − − R R x d R x 0 2 2 2 2 2 ⚫ 包锥         =    d R R dV 3 2 2 sin 2 2 ,  =     0 3 sin 3 2 d R V = 3 3 4 R 2, 球面面积: ⚫ dl = 2y dl( )  − = +  R R L y y dx 2 2 1 =  −         − + R R dx y x y 2 2 1 =  R R dx 0 4 = 2 4R ⚫ 比例: 在 APQ 和 OPG 中 OP⊥AP,OP = R, AP = dl PG⊥QP,PG = y,QP = dx OG⊥AQ,OG = x, AQ = dy APQ ~ OPG, x dy y dx R dl = = y R x 2 + y2 =R2 -R 0 x x+△x R -R y R x 2 + y2 =R2 △ -R 0  R y R x 2 + y2 =R2 dl -R 0 x x+△x R y R A dl Q P(x,y) -R 0 x x+△x R G -R

第七章定积分 ●求半园弧的重心 dx Rdx=2R x=第M=0x=M=2=2R 上半园弧的重心:0.,=R 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 ⚫ 求半园弧的重心: = 0  AB xdl ; 2 Rdx 2R y dx ydl ydl y R R R R AB AB R = =         = =     − − 0 1 = =  AB xdl R x  ; R R R xdl R x AB    1 2 2 2 = = =  . 上半园弧的重心:       R  2 0,