清华大学：《微积分》课程教学资源_第六章 定积分（6.3-1）高阶线性常系数方程的解

第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-3高阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler方程 第二十三讲高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数齐次方程的解 考察n阶线性常系数齐次方程 x +.+anx=0 di dtl dt 其中a12,an为实常数 或记成 L(Dx=0 由上一段的讨论知道方程L(D)x=0在区间(一∞,+)有n个线性无关解 通解是这些解的线性组合。 (一)特征方程 若L(D)x=0有形如y=e的解,则λ必须是代数方程 L()=x+ax-+…+a=0 之根 这个代数方程称为微分方程L(Dx=0的特征方程 (characteristic quation).特征方程的根称为特征根 (二)特征根与方程L(D)x=0解的对应关系 先以二阶为例说明结果: 微分方程:L2(D)x=y”+qy'+by=0 特征方程:L2()=2+a+b=0 (1),A1,元2是特征方程L2()=0的不等实根 则 是方程L2Dx=0的两个无关解 (2),A1=A2是特征方程L2()=0的重根 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-3 高阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler 方程 第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解 考察 n 阶线性常系数齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = − − 1 − 1 1 1 .... 0 其中 a1 ,...,an 为实常数. 或记成 L(D)x = 0 由上一段的讨论知道,方程 L(D)x = 0 在区间 (−,+) 有 n 个线性无关解, 通解是这些解的线性组合。 (一) 特征方程： ⚫ 若 L(D)x = 0 有形如 t y e  = 的解，则  必须是代数方程 L( )= n n  + a  + + an = − 1 1 ... 0 之根。 这个代数方程 称为微分方程 L(D)x = 0 的 特征方程 (characteristic equation). 特征方程的根称为特征根. (二) .特征根与方程 L(D)x = 0 解的对应关系. 先以二阶为例说明结果： 微分方程: L2 (D)x = y  + ay  + by = 0 特征方程： ( ) 0 2 L2  =  + a + b = (1), 1 2  , 是特征方程 L2 () = 0 的不等实根, 则 t t e e 1 2 ,   是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (2),  1 =  2 是特征方程 L2 () = 0 的重根;

第六章常微分方程 则e,te是方程L2(D)x=0的两个无关解 (3),=a±1B是特征方程L2()=0的一对共轭复根 则e"Cost,e"Sint是方程L2(Dx=0的两个无关解 其中用到结果 设(1)=l(1)+ⅳv(1),定义它的导数为 dz du d dt dt 如果复值函数(1)=(1)+m(1)是齐次方程L(D)x=0的解,则 实部()和虚部v()都是L(D)x=0的实解 欧拉公式:e=e"(cOs身t+snf) 对n阶方程Ln(D)x=0 (1)设是特征方程L(x)=0的实根 则e“是方程Ln(D)x=0的实解 (2)设a土i6是特征方程的一对单重复根, 则ecos,e"Sn身是方程L(D)x=0的两个无关实解 (3).设是特征方程的k(10此时特征方程有一对单重复根=±i√,方程有两个无关解 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 则 t t e te 1 1 ,   是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (3),  =   i 是特征方程 L2 () = 0 的一对共轭复根, 则 e Cost e Sin t  t  t , 是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. 其中用到结果： ⚫ 设 z(t) = u(t) +iv(t) , 定义它的导数为 dz dt du dt i dv dt = + . 如果复值函数 z(t) = u(t) +iv(t) 是齐次方程 L(D)x = 0 的解, 则 实部 u(t) 和虚部 v(t) 都是 L(D)x = 0 的实解. ⚫ 欧拉公式：     t t e = e (cos t +sin t) 对 n 阶方程 Ln (D)x = 0 (1). 设  是特征方程 Ln () = 0 的实根, 则 t e  是方程 Ln (D)x = 0 的实解. (2) 设 i 是特征方程的一对单重复根, 则     t t e cos t,e sin t 是方程 Ln (D)x = 0 的两个无关实解. (3). 设  是特征方程的 k(1 k  n) 重实根, 则 t t k t e ,te ,...,t e −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 k 个无关实解. (4). 设 i 是特征方程的一对 k(1  2k  n) 重复根, 则 e t e t t e t t e t t t k t k t         cos , sin , , cos , sin  −1 −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 2 k 个无关实解. 由此可知：对应特征方程 Ln () = 0 的 n 个根，包括重根, 均能得到方程 Ln (D)x = 0 的 n 个线性无关解. 例 1:设  为实数,求方程 x  +  x = 0 的通解. 解: 特征方程为 2  + = 0. 1.   0,此时特征方程有一对单重复根  = i  , 方程有两个无关解 i t e  cos t,sin t

第六章常微分方程 因此方程的通解为ccos√4+csin√(c2c∈R 2.=0,此时特征方程有一个二重根=0.方程有两个线性无关解 q(1)=1,2()=t,于是方程为x(1)=c+c1 3.<0.时特征方程有两个单重根λ=±√-/.方程有两个线性无关解 cP,e,且方程通解为x()=ce+ce 例2:求方程x"-x=0的通解 解:特征方程为-1=0.它有四个单根A2=±1,Ax=±i 该方程有四个线性无关解e,e",cost,snt 因此方程通解为x(D)=ce+ce+ c cost+csnt 例3:求方程x"-3x”+3x-x=0通解 解:特征方程-3x2+3-1=0有一个三重根λ=1 于是方程有三个线性无关解e,te,te 所以通解为 x(t)=ce+cte+ote=(a+ct+cte 例4:求方程x4)+2x(2)+x=0通解 解:特征方程+22+1=(42+1)2=0它有一对二重复根± 于是该方程有四个线性无关解cost,sint, t cost,tsnt 所以通解为 x(o=(C1+C3t)cost+(c2+4t)sin t 6-3-2高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 d x d. d +…+anx=f(1) dt dr 其中a,a为实常数,f(D)是已知连续函数 方程可记成:Ln(D)x=f() 若相应的齐次方程Ln(D)x=0的一般解是:x()=∑cx,(,因此 如果又能够求得Ln(D)x=f()的一个特解Y(),就能够写出其通解: x()=x()+y()=∑ cx.()+ 般情况下可以用常数变异法根据L(Dx=0的通解求出 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 因此方程的通解为 c1 cos t + c2 sin t(c1 ,c2 R). 2.  = 0, 此时特征方程有一个二重根  = 0. 方程有两个线性无关解 1 1 2 (t) = , (t) = t, 于是方程为 x(t) = c1 + c2 t. 3.   0,时特征方程有两个单重根  =  − . 方程有两个线性无关解 −t − −t e ,e , 且方程通解为 x(t) c e c e −t − −t = + 1 2 . 例 2: 求方程 (4) x − x = 0 的通解. 解: 特征方程为 4  −1 = 0. 它有四个单根 1,2 1 3,4  =  , = i . 该方程有四个线性无关解 t t e ,e ,cost,sin t − . 因此方程通解为 x t c e c e c t c t t t ( ) = + + cos + sin − 1 2 3 4 . 例 3 :求方程 x  −3x  +3x − x = 0 通解. 解: 特征方程 3 2  − 3 +3 −1 = 0 有一个三重根  = 1 . 于是方程有三个线性无关解 t t t e ,t e ,t e 2 , 所以通解为 x t c e c t e c t e c c t c t e t t t t ( ) = 1 + 2 + 3 = ( + + ) 2 1 2 3 2 . 例 4:求方程 ( ) ( ) 2 0 4 2 x + x + x = 通解. 解:特征方程 2 1 ( 1) 0 4 2 2 2  +  + =  + = .它有一对二重复根 i . 于是该方程有四个线性无关解 cost,sin t,t cost,tsin t . 所以通解为 x(t) (c c t)cost (c c t)sin t = 1 + 3 + 2 + 4 . 6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = f t − − 1 − 1 1 1 .... ( ) 其中 a1 ,...,an 为实常数, f (t) 是已知连续函数. 方程可记成： L (D)x f (t) n = . 若相应的齐次方程 Ln (D)x = 0 的一般解是： ( )  ( ) = = n i i i x t c x t 1 , 因此, 如果又能够求得 L (D)x f (t) n = 的一个特解 Y(t), 就能够写出其通解: x(t) x(t) Y(t) c x (t) Y(t) n i = + =  i i + =1 一般情况下可以用常数变异法根据 Ln (D)x = 0 的通解求出

第六章常微分方程 Ln(D)x=f()的一个特解但对于右端函数f(1)属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解.下面我们以二阶方程为例说明这 种方法.对于高阶方程也可以类似地求解 考察二解线性常系数方程 2(D)x=+a+bx=f() 假定右端函数具有形式 f(t=P(t)e 其中P(1)是t的一个多项式 比较系数法的出发点是假定方程L2(D)x=P(e有一个形如 x()=Q()e 的解,其中Q()是t的一个多项式.问题是如何确定Q(1)的次数和系数 根据解的概念,将x(1)=Q)e代入方程L2(D)x=P(e 只要的系数设定适当,通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t),从而求出非齐次的一个特解 由(3.19)得到 将x()=Q()e代入方程L2(Dx=P(k,得 Qv()+(2a+a)Q(t)+(a2+a+b)Q(t)=P(l)(*) 下面分三种情形讨论 (1)当α不是特征根时,即a2+a+b≠0 (*)左端是一个次数与Q()相同的多项式.于是为了使(*)两端多项 式次数相等,Q()应当是一个与P(1)次数相同的多项式 (2).当a是特征根,但非重根时,即a2+aa+b=0,2a+a≠0 (*)左端是一个次数与Q'()相同的多项式.于是为了使(*)两端多 项式次数相等,Q()应当是一个比P(1)次数高一次的多项式 此时可以取 O(0)=tR(t) 这里R(1)是一个次数与P(t)相同的多项式 (3).当a是特征堇根时,即a2+a+b=0,2a+a=0 (*)左端是Q"(t).于是为了使(*)两端多项式次数相等, Q(t)应当是一个比P(1)次数高二次的多项式 此时可以取 Q()=tR(1) 例5:求方程x”+x'=2t2+1的通解 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 L (D)x f (t) n = 的一个特解. 但对于 右端函数 f (t) 属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解. 下面我们以二阶方程为例说明这 种方法. 对于高阶方程也可以类似地求解. 考察二解线性常系数方程 L (D)x 2 = 2 2 d x d t a dx dt + +bx = f (t) 假定右端函数具有形式 t f t P t e  ( ) = ( ) 其中 P(t) 是 t 的一个多项式. 比较系数法的出发点是假定方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = 有一个形如 t x t Q t e  ( ) = ( ) 的解, 其中 Q(t) 是 t 的一个多项式. 问题是如何确定 Q(t) 的次数和系数. 根据解的概念 , 将 t x t Q t e  ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = , 只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t), 从而求出非齐次的一个特解. 由(3.19)得到 将 t x t Q t e  ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = , 得 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q t +  + a Q t +  + a + b Q t = P t (*) 下面分三种情形讨论. (1) 当  不是特征根时, 即 0 2  + a + b  (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多项 式次数相等, Q(t) 应当是一个与 P(t) 次数相同的多项式. (2) . 当  是特征根, 但非重根时, 即 0 2  + a + b = , 2 + a  0 (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多 项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高一次的多项式. 此时可以取 Q(t) = tR(t), 这里 R(t) 是一个次数与 P(t) 相同的多项式. (3) . 当  是特征堇根时, 即 0 2  + a + b = , 2 + a = 0 (*) 左端是 Q(t). 于是为了使(*) 两端多项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高二次的多项式. 此时可以取 ( ) ( ) 2 Q t = t R t , 例 5:求方程 2 1 2 x  + x  = t + 的通解

第六章常微分方程 解:间方程写作x"+x'=(21+1)e 因为=0是特征方程A+2=0的单根所以应当寻找方程形如 co(o=t(at"+bt+c)e bt -+ 的特解将这个解代入原方程得到 2b)=2t-3 比较两端同次项的系数得到 a=2,2b+6a=0,c+2b=-3 2 解这个方程组得到a==,b=-2,c=1.从而得到原方程的一个特解 2t2+t 又求得相应的齐次方程x+x=0的通解 x(1)=a+ce所以方程通解为 x(n=c+oe+=t'-2t+t 例6:解方程x"-2x+x=4e 解:A=1是特征方程-2A+=0的重根,设特解为 xo(t)=t(at +be 将这个解代入方程得到(6a+2b)e=4te 比较系数得到a=5,b=0.于是得到方程的一个特解Y()=te 相应地齐次方程的通解是x(1)=(a+c21)e.因此原方程的通解为 2 x(1=(c+c2De+t'e 例7:解方程x-x=4c0st, 解1:考虑方程 x-x=4e=4(cost +isnt) 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解 现在首先求解方程x-x=4e=4(cost+isnt),由于虚数i不是 特征方程2-A=0的根,所以对于此方程应当寻求形如 x(1)=(4+iB)e 的特解(A,B为实常数)将这个解,比较系数,得到 2(A+iB)e=4e 由此得到A=2,B=0,于是求出x-x=4e=4(cost+isnt) 的一个特解为 它的实部-2cost,就是题设的一个特解 另外又求得相应的齐次方程x-x=0的通解,x=ce+ce 因此所求之的通解为x=ce+ce-2cost 解2:形如x+ax+bx=P(t)e( d, cosBt+ d 2 sin Bi) 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 解: 间方程写作 t x x t e 0  +  = (2 +1) . 因为  = 0 是特征方程 2  +  = 0 的单根,所以应当寻找方程形如 x t t at bt c e at bt ct t = + + = + + 2 0 3 2 0 ( ) ( ) 的特解.将这个解代入原方程得到 3 2 6 2 2 3 2 2 at +( b+ a)t +(c+ b) = t − 比较两端同次项的系数得到 3a = 2,2b + 6a = 0,c + 2b = −3. 解这个方程组得到 a = b = − c = 2 3 , 2, 1. 从而得到原方程的一个特解 0 2 3 2 3 x (t) = t − 2t + t. 又求得相应的齐次方程 '' ' x + x = 0 的通解 x t c c e t ( ) = + − 1 2 .所以方程通解为 x t c c e t ( ) = + − 1 2 + − + 2 3 2 3 2 t t t. 例 6: 解方程 t x  − 2x  + x = 4te . 解:  = 1 是特征方程 2  − 2 +  = 0 的重根, 设特解为 0 2 x t t at b e t ( ) = ( + ) 将这个解代入方程得到 (6at 2b)e 4t e t t + = . 比较系数得到 a = b = 2 3 , 0. 于是得到方程的一个特解 t Y t t e 3 3 2 ( ) = . 相应地齐次方程的通解是 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) . 因此原方程的通解为 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) + 2 3 3 t e t . 例 7:解方程 '' x − x = 4cost, 解 1:考虑方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解. 现在首先求解方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + , 由于虚数 i 不是 特征方程 2  −  = 0 的根, 所以对于此方程 应当寻求形如 x0 t A iB e it ( ) = ( + ) 的特解( A,B 为实常数).将这个解,比较系数, 得到 −2(A+iB)e = 4e it it . 由此得到 A = 2,B = 0, 于是求出 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 的一个特解为 x0 t 2e it ( ) = − . 它的实部−2cost ,就是题设的一个特解. 另外又求得相应的齐次方程 '' x − x = 0 的通解, x c e c e t t = + − 1 2 , 因此所求之的通解为 x c e c e t t t = + − − 1 2 2cos . 解 2: 形如 '' ' x a x bx P(t)e (d cos t d sin t) t + + = +  1  2 

第六章常微分方程 (其中P(1)为多项式,d1,d2为常数)的方程, 可以直接用比较系数法求解 例8:求方程 +@x=Hsin Bt (3.25) 其中H,O,B为常数 解:此方程对应的齐次方程x+cx=0的通解为 1.x(t)=c cos @t +a, sin ot Br 2.若B=O,则iB是特征根,并且是单重根,此时,从而方程通解是 x(t=(cga )cos af+a sn at 例9:求方程x-x=t2+1+te的一个特解 解:考察以下两个方程 用比较系数法分别求出这两个方程的特解:y1=-t 于是这两个解之和就是原方程的一个解 y=yty2 2+(---) 6-3-2 Euler方程 形如 d"y d"-y d y tan-I-,,y 的方程称为 Euler(欧拉)方程其中a,a2,an为常数 从解的存在唯一性条件看,对于这种方程,由于系数分别在(0,+∞)和 (-∞,0)中连续,因此应当分别考虑x>0和x0的情形。且以二阶为例 day d Tax +a2y=0 (1)观察待定法 由方程特点观察,方程可能有形如幂函数的解,可令解为:y=x2 再代入方程,得:(4(-1)+a1A+a2)x2=0 特征方程:(2-1)+a1A+a2=0 ●特征根与解的对应关系 单实根:A→x2 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (其中 P(t) 为多项式,d1 ,d2 为常数.)的方程, 可以直接用比较系数法求解 例 8:求方程 '' x + x = Hsin t 2   (3.25) 其中 H,, 为常数. 解:此方程对应的齐次方程 '' x + x = 2  0 的通解为 x = c1 cost + c2 sin t . 1. x t c t c t H ( ) = cos + sin + sin t + 1 2   2 2    . 2. 若  = , 则 i 是特征根, 并且是单重根,此时 , 从而方程通解是 x t c H ( ) = ( 1 − t) cos t + c2 sin t 2   . 例 9:求方程 '' x x t t e t − = + + 2 2 1 的一个特解. 解:考察以下两个方程: '' x − x = t + 2 1, '' x x t e t − = 2 . 用比较系数法分别求出这两个方程的特解: 1 2 2 2 2 3 4 9 y t y t e t = − − , = ( − ) . 于是这两个解之和就是原方程的一个解: y = y1+ y2 = :− − + − 2 2 2 3 4 9 t t e t ( ) . 6-3-2 Euler 方程 形如 ... 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dt d y a t dt d y a t dx d y x n n n n n n n n 的方程称为 Euler(欧拉)方程.其中 a1 ,a2 ,...,an 为常数. 从解的存在唯一性条件看, 对于这种方程, 由于系数分别在 (0, + ) 和 (−, 0) 中连续，因此应当分别考虑 x  0 和 x  0 的情形. 为方便计，我们只 考虑 x  0 的情形。且以二阶为例: 1 2 0 2 2 2 + + a y = d x d y a x dx d y x . (1) 观察待定法 ⚫ 由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：  y = x , 再代入方程, 得： ( ( −1)+ 1 + 2 ) = 0    a  a x , 特征方程： ( −1)+ a1 + a2 = 0 ⚫ 特征根与解的对应关系： 单实根：    x ;

第六章常微分方程 实重根:礼=2台x2,hxx2 共轭复根:a±iB台x“cos(Bhx)xsn(Bhx) (2)变量置换法 从前面结果可以看到,若作代换t=h|x|,可以将上述方程化为未知函 数y=y()的常系数方程.因为: 命点→2a dy=4y1-如1→x24y=d”-如 代入原方程x24 d +a1x,+a2y=0 ),即可得: dr2+aray +a2y=0 例12解方程门++2x=0 d 2x=0 d s ds 于是方程通解为x()=e( Ccos v S)即 x(n=tf(acos r+asin h D) 6-3-3曲线簇的微分方程 6-3-4振动问题 设一质量等于m的小球被弹簧吊着,从平衡状况开始,在空气中作垂直方 向的振动 用x()表示质点在时刻t的位置 质点在运动过程中受到两个力的作用 弹簧恢复力,与位移成正比,方向与位移相反的力—kx(1)(k>0为常数 力是空气阻力,它与速度成正比,方向相反,一x(1)(>0是常数) 又假定弹簧在运动过程中受到沿Ox轴方向的外力f(1)作用 由 Newton第二定律得到弹簧的运动方程为 mx+ux+k=f(r) 为了讨论方便我们将上述方程改写成下面的形式: x+2nx +ox=f(t) 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 实重根: 1 1 1 2 , ln    =   x x x 共轭复根：  i  x cos( ln x), x sin ( ln x)     (2) 变量置换法 从前面结果可以看到，若作代换 t = ln | x | , 可以将上述方程化为未知函 数 y = y(t) 的常系数方程. 因为： d t d y dt dy x dt x dy dx dt dt dy dx dy = =  = 1 ; dt dy d t d y dt d y x dt x dy dt x d y dx d y = −  = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . 代入原方程 1 2 0 2 2 2 + + a y = d x d y a x dx d y x ,即可得： 1 2 0 2 2 + + a y = d x d y a x dt d y . 例 12:解方程 2 2 2 t 2 2 0 d x d t t dx dt + + x = . 解 2 2 2 0 d x d s dx ds + + x = . 于是方程通解为 x s e c s c s s ( ) = ( cos + sin ) − 2 1 2 7 2 7 2 即 x(t) = |t| (c cos ln| t|+c sin ln| t|) 1 2 1 2 7 2 7 2 . 6-3-3 曲线簇的微分方程 6-3-4 振动问题 设一质量等于 m 的小球 被弹簧吊着，从平衡状况开始, 在空气中作垂直方 向的振动. 用 x(t) 表示质点 在时刻 t 的位置. 质点 在运动过程中受到两个力的作用: 弹簧恢复力, 与位移成正比,方向与位移相反的力−kx(t) ( k  0 为常数); 力是空气阻力, 它与速度成正比, 方向相反, − ' x (t) (   0 是常数). 又假定弹簧在运动过程中受到沿 ox 轴方向的外力 f (t) 作用. 由 Newton 第二定律得到弹簧的运动方程为 mx x kx f t '' ' + + = ( ) 为了讨论方便,我们将上述方程改写成下面的形式: '' ' x +2n x + x = f (t) 2 

第六章常微分方程 除了弹簧振动外,许多运动例如钟摆的往复运动机械振动,电路振荡都 以用这个方程作为其数学模型有无外力我们分为几种情形讨论 ().自由振动:即无外力作用(f(t)=0) 1.无阻尼自由振动 当阻尼系数=0时,有n=0.此时方程(429)变成 其通解为x(1)=acoO+csnm或者 x(t=Asn(ot +0(A,0ER) 因此不论初始位置x和初始速度w是什么,运动规律总是一个正弦函数 其周期等于、2兀 振动频率O与初始位置x。和初始速度v无关.A和分别 是振幅和初始位相、(它们由初始位置x。和初始速度w决定) 2有阻尼自由振动 当阻尼系数>0时,n>0,方程(3.30)变成 x+2nx+0x=0 其特征方程为x+2n+2=0,特征根为A2=-n√n2-c.这时又可以分 三种情况: (1)小阻尼自由振动:n0.因此的通解为 x(o=e(acosot+asn@t=Ae sin(at +8 上式表明,这是一个随时间t增长而衰减的振动.其中周围T=一仍然与初 值无关 (2)临界阻尼振动:n=.此时特征根为A=A2=-n(O.此时两个相异特征根A,A2均为负数,方程(332) 通解为 x(0=ce 因此这时仍然是衰减运动,不发生振动 (二)强迫振动,即f()不恒等于零通常假定弹簧只受到周期外力 f(r=Hsin pt(H,p>0) 的作用 1无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成 x+ox=Hsin pt 并且方程的通解为x(1)=Asn(O+b,这时又可以分为三种情形考虑 (1)当P≠O即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 除了弹簧振动外,许多运动,例如钟摆的往复运动,机械振动,电路振荡都 可以用这个方程作为其数学模型.有无外力,我们分为几种情形讨论. (一) .自由振动: 即无外力作用( f (t) = 0 ) 1. 无阻尼自由振动 当阻尼系数  = 0 时,有 n = 0.此时方程(4.29)变成 '' x + x = 2  0 其通解为 x(t) = c1 cost +c2 sint 或者 x(t) = Asin(t +) (A,R) 因此,不论初始位置 x0 和初始速度 v0 是什么, 运动规律总是一个正弦函数. 其周期等于 T = 2  , 振动频率  与初始位置 x0 和初始速度 v0 无关. A 和  分别 是振幅和初始位相,(它们由初始位置 x0 和初始速度 v0 决定). 2.有阻尼自由振动 当阻尼系数   0 时,n  0,方程 (3.30)变成 '' ' x + 2n x + x = 0 2  其特征方程为 2 2  + 2n + = 0,特征根为 12 2 2 , = −n  n − .这时又可以分 三种情况: (1) 小阻尼自由振动 : n   . 此时特征根为 1,2 = −n  i1 , 其 中 1 2 2  =  −n  0.因此 的通解为 x t e c t c t Ae t n t n t ( ) = ( cos + sin ) = sin( + ) − − 1 1 2 1 1  上式表明,这是一个随时间 t 增长而衰减的振动. 其中周围 T1 1 2 =   仍然与初 值无关. (2) 临界阻尼振动: n =.此时特征根为 1 = 2 = −n( 0) ,方程 的通解 为 x t e c c t nt ( ) = ( + ) − 1 2 其中 c1 = x0 ,c2 = v0 +n x0 .由(4.34)知道,此时是一个衰减运动,不发生振 动. (3)大阻尼自由振动: n  .此时两个相异特征根 1 2 , 均为负数,方程(3.32) 通解为 x t c e c e t t ( ) = 1 + 2 1 2 因此这时仍然是衰减运动,不发生振动. (二) .强迫振动, 即 f (t) 不恒等于零.通常 假定弹簧只受到周期外力 f (t) = Hsin pt(H, p  0) 的作用. 1.无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成 '' x + x = Hsin pt 2  并且方程的通解为 x(t) = Asin(t +).这时又可以分为三种情形考虑: (1)当 p   即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解

第六章常微分方程 x0(D)= 因此通解为 x(t=Asin(at+6)+ HsnP(A,O∈R) 这是一个由固有振动(齐次方程通解)和外力迭加而成的有界振动 (2)当P=ω即外加频率等于于固有频率时,用待定形式解 (t=t(Mcos t+Nsin r)(M,NER) 通过比较系数法得到一个特解为 x(t)= t cos ot 于是方程通解为 x(1)=ASn(+、 t cos ot(A,6∈R) 20 由此可以看出,虽然外力是有界的,但是x(1)的振动却是无界的,因为当 →>+∞,式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大.这就是物理学中著名的共 振现象,即小的外力导致大的振动 有阻尼强迫振动 我们仅讨论小阻尼情形00) 又用比较系数法得到非齐次的一个特解 xo(t=Mcos at +Nsn ot (M,NER) 其中 (a-p)+4nps-(o3-p∥ nph (a2-p)+4np 若令 B >0,6=9 2-p)+4np 则的通解为 x(t=Ae"sin(@ t +0)+Bsin(pt+0) 因此解仍然是振动的,它由两部分组成式中第一项为固有的衰减振动 第二项为周期外力引起的周期振动 不难验证,当外加力的频率为p=√a2-2n时,外加力产生的强迫振 H 幅最大,即这时有B=Ba 2n√a2 第六章常微分方程

第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 0 x 2 2 t H p ( ) = sin pt  − , 因此通解为 x t A t H p ( ) = sin ( + ) + sin pt ( A, R) −      2 2 . 这是一个由固有振动(齐次方程通解)和外力迭加而成的有界振动. (2)当 p = 即外加频率等于于固有频率时, 用待定形式解 x0 (t) = t(M cost + Nsint) (M,N R) 通过比较系数法得到一个特解为 0 2 x t H ( ) = − t cos t   . 于是方程通解为 x t A t H ( ) = sin( + ) − t cos t (A, R)    2 由此可以看出, 虽然外力是有界的, 但是 x(t) 的振动却是无界的, 因为当 t → +, 式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大. 这就是物理学中著名的共 振现象,即小的外力导致大的振动. 2.有阻尼强迫振动 我们仅讨论小阻尼情形: 0 n .此外方程变成 '' ' x +2n x + x = Hsin pt 2  . 并且)相应的齐次方程的通解为 x t Ae t n n t ( ) = sin( + )( = −  ) − 1 1 2 2     0 . 又用比较系数法得到非齐次的一个特解 x0 (t) = M cost + N sint (M,N R), 其中 M npH p n p N p H p n p = − − + = − − + 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , ( )  ( )   若令 B H p n p = − +  2 2 2 2 2 4 0 ( ) ,  = − − −1 2 2 2 tg np p . 则的通解为 x t Ae t B pt nt ( ) sin( ) sin( ) * = + + + − 1   . 因此解仍然是振动的,它由两部分组成:式 中第一项为固有的衰减振动; 第二项为周期外力引起的周期振动. 不难验证, 当外加力的频率为 p = − n 2 2  2 时, 外加力产生的强迫振 幅最大,即这时有 B B H n n = = − max 2 2 2 