清华大学：《微积分》课程教学资源_第六章 定积分（6.1）定积分概念与性质（课后作业）

5六章定积分 第六章定积分 CThe definite integration 第十四讲定积分概念及性质 课后作业: 阅读:第六章61,6.2:pp158-166 预习:63,64:pp168--182 练习pp166-168:习题6.2:1,(1),(3);2;3,(1);4,(1),(3),(5); 5,(1),(5) 作业p.166-168:习题62:1,(5);3,(2);4,(2),(4),6); 5,(2),(3),(6);6;7 6-1定积分概念与性质 6-1-1问题引入 定积分( Riemann)的背景:两个曲型问题。 (1)求曲线所围的面积 函数f(x)在有界区间[a,b非负连续,由Ox轴、直线x=a x=b(a<b)以及曲线y=f(x)所围成的平面图形称为曲边梯形 如何求曲边梯形D的面积S 第一,分划区间,求得近似: 即:在[a,b中任意插入一组 点a=x1<x2<…<xn=b 将[a,b分割为若干个子区间 [x-1,x,](i=1,2,…,m) 将曲边梯形D分成n个细条 又任取一点51∈[x1,x,] i=1.2 将第i个细条近似看成是以小区间[x1,x为底,f(51)为高的矩形, 于是第i个细条的面积 AS1≈f(5)·Ax1,Ax1=x1-x1,(=12,…,n) 整个曲边梯形D的面积S S≈∑f(5;)Ax 第二,无限分细,求取极限: 从直观上看,分点x1,x2,…,x越密,各个Ax1=x+1-x1的最大 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 第六章 定积分 (The definite integration ) 第十四讲 定积分概念及性质 课后作业： 阅读：第六章 6.1, 6.2: pp158---166; 预习：6.3, 6.4: pp168---182. 练习 pp.166---168: 习题 6.2 : 1, (1), (3); 2; 3, (1); 4, (1),(3),(5); 5, (1),(5). 作业 pp.166---168: 习题 6.2 : 1, (5); 3, (2); 4, (2),(4),(6); 5, (2),(3),(6); 6; 7. 6-1 定积分概念与性质 6-1-1 问题引入 一 定积分(Riemann)的背景: 两个曲型问题。 (1) 求曲线所围的面积: 函数 f (x) 在有界区间 [a, b] 非负连续,由 Ox 轴、直线 x = a 、 x = b ( a  b )以及曲线 y = f (x) 所围成的平面图形称为曲边梯形, 如何求曲边梯形 D 的面积 S ? 第一，分划区间, 求得近似: 即：在 [a, b] 中任意插入一组 点 a = x1  x2  xn = b , 将 [a, b] 分割为若干个子区间 [ , ]( 1,2, , ) xi−1 xi i =  n . 将曲边梯形 D 分成 n 个细条. 又任取一点 [ , ] i i 1 i x x   − , i = 1,2,  , n ; 将第 i 个细条近似看成是以小区间 [ , ] i 1 i x x − 为底, ( ) i f  为高的矩形, 于是第 i 个细条的面积 i S i i  f ( )x ,  i = i − i−1 x x x , (i =1,2,  , n). 整个曲边梯形 D 的面积 S S  i n i i  f x = ( ) 1  . 第二，无限分细，求取极限: 从直观上看, 分点 n x , x , , x 1 2  越密, 各个 i i i x = x − x +1 的最大 y y=f(x) i x x0 x1 xi-1 xi xn-1 xn

5六章定积分 值越小,和式∑∫(5;)·^x1就越接近于曲边梯形D的面积S.当各个 Ax;=x+1-x1的最大值x=max{△x}趋向于零时如果和式的极限 f(1) 存在,则这个极限就应该是曲边梯形D的面积S (2)已知速度求路程: 今己知质点作直线运动,其速度函数v=y(),求在时段[07]上的位移 第一,分划区间,求得近似; 即:在[0,刀中任意插入一组点0=1R.在区间[a,b]上任分、任取构成积分和式 (1)将[a,b]任作一分划P,即在[a,b中插入一组点 a=x0<x<…<xn= 将[a,b]分割为n个子区间:[x-1,x](=1,2,…,n) 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 值越小, 和式 i n i i  f x = ( ) 1  就越接近于曲边梯形 D 的面积 S . 当各个 i i i x = x − x +1 的最大值  = max{ }i i x 趋向于零时,如果和式的极限 = → =  n i i i I f x 1 0 lim ( )  存在, 则这个极限就应该是曲边梯形 D 的面积 S . (2) 己知速度求路程： 今己知质点作直线运动，其速度函数 v = v(t), 求在时段 [0,T] 上的位移. 第一，分划区间，求得近似/; 即：在 [0,T] 中任意插入一组 点 0 = t 1  t 2  t n = T , 将 [0,T] 分割为若干个子区间 [ , ]( 1,2, , ) t i−1 t i i =  n . 将此时段当作以速度 ( )i v  作等速运动, 其 [ , ] i i 1 i t t   − . 于是第 i 时段内的位移 i S i i  v( )t ,  i = i − i−1 t t t , (i =1,2,  , n). 整个位移 S 的近似值： S  i n i i v  t = ( ) 1  . 第二 无限分细，求取极限: 从常理想像, 当各个小时段  i = i − i−1 t t t 的最大值  =max{ }i i t 趋向于零时,如果和式的极限 = → =  n i i i I v t 1 0 lim ( )  存在, 则这个极限就应该是时段 [0,T] 的位移 S . 6-1-2 定积分概念 例 (一) 黎曼积分的定义 设函数 f :[a,b] → R . 在区间 [a,b] 上任分、任取构成积分和式 I (P) n ，即: (1) 将 [a, b] 任作一分划 P ，即 在 [a, b] 中插入一组点 a = x0  x1  xn = b , 将 [a, b] 分割为 n 个子区间: [ , ]( 1,2, , ) xi−1 xi i =  n ;

章定积分 (2)任意取ξ;∈[x-1,x](=1,2,…,n),构造和式 n(P)=∑f(5)△ 其中,Ax1=x1=x-1 =max{△x;} 如果和式极限=lmn∑f(;)Ax 存在,则称函数∫(x)在[a,b(黎曼)可积,记作∫∈Ra,b]该极 限值称为f(x)在[a,b]的定积分(值),记为: =m∑/()A=「/(x 经常用到的述语: f(x):被积函数;[a,b]积分区间 a,b分别称为积分上、下限 f(x)dx:被积分式x:积分变量 由上述定义可知,黎曼积分是一个特殊的极限,这个极限过程以 较复杂,变化过程是指所有子区间[x1-1,x,]的最大长度λ趋向于零.其 极限的存在与任何分划P和任何取法5∈[x21x]都没有关系。 (二)例1求∫ Sinner=? 解:(1)做等分划:将[O,]n等分,今Ax==h,取5=A△x 做和式:S,=Ss()x=sm( k=0 因有:Sm(kh)= 2k-1 2k+1 k+1 OS 2 Sir h OS h=x/2 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 (2) 任意取 [ , ] ( 1,2, , )  i  xi−1 xi i =  n , 构造和式 ( ) = =  n i n i i I P f x 1 ( ) , 其中，  i = i − i−1 x x x .  = max{ }i i x 如果和式极限 = → =  n i i i I f x 1 0 lim ( )  存在, 则称函数 f (x) 在 [a, b] (黎曼)可积, 记作 f  R[a, b].该极 限值称为 f (x) 在 [a, b] 的定积分(值), 记为：   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   . 经常用到的述语： f (x) : 被积函数; [a,b] 积分区间， a, b 分别称为积分上、下限; f (x)dx : 被积分式, x : 积分变量。 由上述定义可知, 黎曼积分是一个特殊的极限, 这个极限过程以 较复杂, 变化过程是指所有子区间 [ , ] i 1 i x x − 的最大长度  趋向于零. 其 极限的存在与任何分划 P 和任何取法  i  [ , ] i 1 i x x − 都没有关系。 (二)例 1 求  2 0  Sinxdx =? 解：(1) 做等分划：将 ] 2 [0,  n 等分, 今 n x 2   = = h , 取 k x  k =  ; 做和式：  ( )  ( ) − = − = =   =  1 0 1 0 2 n k n k n Sin k x n S Sin k x x  ; 因有： ( )       + − − = h k h Cos k Cos h Sin Sin k h 2 2 1 2 2 1 2 2 1 , =       + − − = n k n h k h Cos k Cos h Sin S 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 =       − − h n Cos h Cos h Sin h 2 2 1 2 2 2 ; h =  2n

5六章定积分 (2)求极限:ImSn=m-分 21 h→0 2Sin h 丌=1 h 2Si 是否真有| Sinxdx=1? f(x) (三)定积分的几何意义 定积分f(x)ax的几何意义是, 曲边梯形面积的代数和 由此可知: xdx=a2,a≥0;「 Sin xdx=「 sSinxdx=0 2-x2d=xr2,等等 (四)定积分的值与积变量的记号无关 即若f,∈ab则∫f(x)k=∫f()ht 6-1-3定积分基本性质 定积分是一种极限,因此其性质与极限性质密切相关。 性质一:积分的线性性质 若∫,g∈R[a,b],则对于任意常数a,B,有 1(x)+B(对)=(x)+B(x); 性质二:关于区间的可加性 若∫∈R[a,b],c∈(a,b),则∫∈Ra,c],f∈R[c,b],并且 f(x)k=」f(x)d+g(x)h 证明:只要保持是一个分点即可。 在定义中要求b≥a,但可以推广到b<a的情形。 规定: f(x)dx== f(x)dx 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 (2)求极限:       − = − → → h n Cos h Cos h Sin h S h n h 2 2 1 2 2 2 lim lim 0 0 = =  =      −  −             → →   n n Cos n Cos h Sin h h n 4 2 1 4 lim 2 2 lim 0 1 是否真有  2 0  Sinxdx =1 ? (三)定积分的几何意义 定积分  b a f (x)dx 的几何意义是， 曲边梯形面积的代数和. 由此可知： , 0 2 1 2 0 =   xdx a a a ;   = = −    2 0 Sin xdx Sin xdx 0 ; 2 0 2 2 4 1 r x dx r r   − = , 等等。 (四) 定积分的值与积变量的记号无关， 即, 若 f , R[a,b], 则   = b a b a f (x)dx f (t)dt . 6-1-3 定积分基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。 性质一： 积分的线性性质: 若 f , g  R[a,b] , 则对于任意常数 ,  ,有    + = + b a b a b a [f (x) g(x)]dx  f (x)dx  g(x)dx ; 性质二：关于区间的可加性 若 f  R[a, b], c(a,b) ,则 f  R[a, c], f  R[c,b],并且    = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx g(x)dx ; 证明： 只要保持是一个分点即可。 在定义中要求 b  a ，但可以推广到 b  a 的情形。 规定：   = − a b b a f (x)dx f (x)dx y y=f(x) + + 0 x _

5六章定积分 推论:这时对区间可加性可推广:设∫∈Ra,b],Va,B,∈[a,b] f()dx=Lf(x)dx+g(x)dr 性质三:积分的不等式性质 设∫∈R[a,b]若f(x)≥0(a≤x≤b),则 f(x)dx≥0. 证明:直接来自极限的保不等式性质 注意若a>b则反号了 推论1:设∫∈R[a,b],g∈R[a,b],若f(x)≤g(xa≤x≤b),则 f(x)atx≤g(x)dr 推论2:设∫∈Cab],/(x)20但不恒为零则,则 f(xdx>0.(a<b) 推论3:设∫∈Ra,b]则fke[a,b],并且 f(x)d≤f(x)|d 证明:(1)证f∈刚ab]→团∈ab],要用到可积的充要条件, 将在微积分(中个绍。若有了的可积性这一结果,则 (2)因为f(x)≤|( 性质四:(估值定理设∫∈Ra,b]若m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤f(x)dr≤M(b-a) 证明:m(b-a)=∑mAx,≤∑f(5xs∑MAx,=M(b-a) 取极限得:m(b-a)≤[f(x)dt≤M(b-a) 性质五:积分中值定理设∫∈CIab则存在5∈[b]满足 af(x)dx=(b-a)f() 证明:f∈C[a,b→彐M=Maxf(x),m=Mmf(x), 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 推论：这时对区间可加性可推广：设 f  R[a, b], , , [a,b],    = +       f (x)dx f (x)dx g(x)dx 性质三：积分的不等式性质 设 f  R[a, b],若 f (x)  0(a  x  b),则 ( )  0  b a f x dx . 证明：直接来自极限的保不等式性质。 注意若 a  b 则反号了！ 推论 1：设 f  R[a, b], g  R[a,b], 若 f (x)  g(x)(a  x  b) , 则    b a b a f (x)dx g(x)dx 推论 2：设 f C[a,b], f (x)  0 但不恒为零,则, 则 ( )  0  b a f x dx . ( a  b ) 推论 3：设 f  R[a, b],则 | f | R[a,b],并且    b a b a f (x)dx | f (x) | dx . 证明：(1) 证 f  R[a,b] f  R[a,b], 要用到可积的充要条件，这 将在微积分(II)中介绍。若有了 f 的可积性这一结果, 则： (2).因为 f (x)  f (x) 性质四：(估值定理) 设 f  R[a, b],若 m  f (x)  M ,则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  证明： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 m b a m x f x M x M b a n i i n i i i n i − =   i       = − = = =  , 取极限得： m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . 性质五：积分中值定理: 设 f C[a, b],则存在  a,b,满足 f (x)dx (b a) f () b a = − . 证明： f C[a, b] ( ) , ( ) [ , ] [ , ] M Max f x m Min f x x a b x a b   = =

章定积分 f(x)dx -<M 35∈[a,b],f(5 f(x)a f(x)dx=f(s).(b 例2估计积分在的上下界 2≥-x+-2 e≥e2→e22je≥e 推论1:在积分中值定理可得较好结果: 设∫∈Cab]则存在∈(ab),满足 a f()ax=(b-a)f(s) 证明:若有∫f(xk=(b-/(a)→((-/()=0 →35∈(a,b)f()-f(a) 否则与性质三的推论二矛盾 推论2:推广的积分中值定理: 设∫∈Ra,b],g∈Ra,b],m≤f(x)≤M,g(x)在[a,b 不变号,则彐H∈[m,M],使得 f(x)g(x)x=山g(x) 如果∫∈C[a,b则存在ξ∈[a,b],使 f(x)dx=f(s)g(x)x 性质六: Riemann积分存在的必要条件 若∫∈R[a,b]→f在[a,b]中必有界。 例3:求证 lim sin"xdx=0 n→ 证明:sn"x∈C[0,],由积分中值定理,存在5∈(0,),使得 Sin d 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 M b a f x dx m b a  −   ( )   [a,b], ( )  − = b a f x dx b a f ( ) 1   f (x)dx f ( ) (b a) b a =  −   . 例 2: 估计积分        2 − + 1 1 e dx x x 的上下界。 解： 2 1 5 2 2 1 5 2   −       +   −  − + x x x x 2 2 5 1 1 2 2 1 5 2  −      − + −  −      − + −        e e e e e dx e x x x x 推论 1： 在积分中值定理可得较好结果: 设 f C[a, b],则存在  (a,b),满足 f (x)dx (b a) f () b a = − 证明：若有 ( ) = ( − ) ( )  ( ( ) − ( )) = 0   b a b a f x dx b a f a f x f a dx  (a,b), f () − f (a) = 0 , 否则与性质三的推论二矛盾。 推论 2： 推广的积分中值定理: ⚫ 设 f  R[a, b], g  R[a,b], m  f (x)  M , g(x) 在 [a,b] 不变号, 则   [m, M ], 使得   = b a b a f (x)g(x)dx  g(x)dx ⚫ 如果 f C[a, b] 则存在  [a,b],使  =  b a b a f (x)dx f () g(x)dx 性质六：Riemann 积分存在的必要条件： 若 f  R[a,b]  f 在 [a,b] 中必有界。 例 3: 求证 lim sin 0 1 0 =  → xdx n n 证明： x n sin  C[0,1] , 由积分中值定理, 存在 ) 2 (0,    ,使得 n n n Sin x dx Sin    2 2 0 = 

5六章定积分 因为∈D1]00.这时存在正数o,使得在区间 x0-6,x+上恒有f(x)>(x) 由于函数f(x)非负所以 f(x)dx (x)k+。(x)k+C/(x)≥ ≥,f(x)dx ≥+(x)a= 26 f(x0) =f(x0)·>0 这与假设冲突,因此f(x)=0(a≤x≤b) 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 因为  0,1,0  sin   sin 1, 从而 lim lim 1 0 1 0 = = → →  n n n n Sin x dx Sin . 对 lim sin 0 2 0 =  →  xdx n n 如下证明对不对？ x n sin ] 2 [0,  C , 由积分中值定理, 存在 ) 2 (0,    ,使得 n n n Sin x dx Sin    2 2 0 =  因为 ),0 sin 1 2 (0,      , 从而 lim 0 2 lim 2 0 = = → →  n n n n n Sin x dx Sin    . lim sin 0 2 0 =  →  xdx n n 这个证明对不对？ 不对！因为中值点 ) 2 (0,   n  与 n 有关。 例 2: 设 f C[a, b], f (x)  0 , 如果 ( ) = 0  b a f x dx , 求证 f (x)  0(a  x  b) . 证明 1: 反证,设 f (x) 在 [a,b] 不恒等于零,则存在 [ , ] x0  a b ,使得 f (x0 )  0 , 不妨设 f (x0 )  0 . 这时存在正数  , 使得在区间 [ , ] x0 − x0 + 上恒有 2 ( ) ( ) 0 f x f x  . 由于函数 f (x) 非负,所以 =  b a f (x)dx = + +     + + − − b x x x x a f x dx f x dx f x dx     0 0 0 0 ( ) ( ) ( )  + −    0 0 ( ) x x f x dx  =  + −   0 0 2 ( ) 0 x x dx f x = ( ) 0 2 ( ) 2 0 0   = f x   f x 这与假设冲突, 因此 f (x)  0(a  x  b)

5六章定积分 6-1-4可积函数类 ()连续函数可积:f∈C[ab,则∫f(x)tx存在 (2)只有有限间断点的有界函数可积 设f:[a,b]→>R是有界函数,只在c∈(a,b)是间断点,则 ∫/(x)存在 (3)单调函数可积:设f:[a,b→R是单调函数,f(x)x存在 (4)若∫,g∈R[a,b],则∫g∈R[a,b] (5)若f(x)在b]上除有限点外都是零,则:「f(x)dr=0 推论:若「f(x)x存在,而g(x)只在有限点上与f(x)不同,则 f(x)dx=g(x)da 例一,若∫(x) sn-,x≠0 ,定积分∫(x)是否存在? 1,x是有理数 例二, Dirichlet函数:f(x)= 0,x是无理数 定积分「f(x)x是否存在? x是既约真分数P 例三,若f:[0→R,f(x)={q 0,x是无理数 定积分∫f(x)女存在。 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 6-1-4 可积函数类 (1) 连续函数可积： f C[a,b], 则  b a f (x)dx 存在. (2) 只有有限间断点的有界函数可积： 设 f :[a,b] → R 是有界函数, 只在 c (a,b) 是间断点, 则  b a f (x)dx 存在. (3) 单调函数可积: 设 f :[a,b] → R 是单调函数,  b a f (x)dx 存在. (4) 若 f , g  R[a,b], 则 f g  R[a,b]. (5) 若 f (x) 在 [a,b] 上除有限点外都是零，则: ( ) = 0  b a f x dx 推论: 若  b a f (x)dx 存在, 而 g(x) 只在有限点上与 f (x) 不同，则   = b a b a f (x)dx g(x)dx . 例一，若      =  = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x f x x , 定积分  − 1 1 f (x)dx 是否存在？ 例二，Dirichlet 函数:    = 是无理数 是有理数 x x f x 0, 1, ( ) , 定积分  − 1 1 f (x)dx 是否存在？ 例三，若 f :[0,1] → R,      = 0, . , , 1 ( ) 是无理数 是既约真分数 x q p x f x q 定积分  1 0 f (x)dx 存在