清华大学：《微积分》课程教学资源_复习2：平行截面面积为已知的立体体积

复习§2:平行截面面 4.二重积分的计算(D是矩形区域 积为已知的立体的体积 z=f(r,y) y=J I=lf(, y)dxdy f(x,y) D是矩形区域[a,b;c,d 2(y)=f(x, y)dx I=∫()d e() D 问题:Q(y)是什么图形?是曲边梯形 囧

4.二重积分的计算 (D是矩形区域) 复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积 y 0 x z y a b c d D D是矩形区域 [a,b ; c,d] z=f (x,y)  b a f (x, y)dx  = d c Q( y)dy Q( y)    = = y y z f (x, y) 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = I 是曲边梯形。  = D I f (x, y)dxdy

4.二重积分的计算(D是矩形区域) =∫ f(x, y)dxdy f(x,y) D是矩形区域[a,b;c,d e() ∫(x,y)dx I=∫o() ∫刂∫(x,y)d b 同理,也可以先对y积分I=dx」"f(x,y)y 囧

4. 二重积分的计算 (D是矩形区域) 0 x z y y a b c d D   = d c b a dy f (x, y)dx .  b a Q( y ) = f (x, y)dx  = d c I Q( y)dy 同理，也可以先对y 积分   = b a d c I dx f (x, y)dy . .  = D I f (x, y)dxdy z=f (x,y) D是矩形区域 [a,b ; c,d]

5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域)2=/xy) y=y I=lf(, y)dxdy z了f(xy) D:g(y)≤x≤yy) ≤y≤d y(y) e() f∫(x,y)d p() I=g。g(p)dy x=p() e(y) D yU) 问题:Q(y)是什么图形?也是曲边梯形! 囧

0 x z y c d D z=f (x,y)  ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x x=(y) x=(y) Q( y) . y 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = D: (y)  x  (y) c  y  d    = = y y z f (x, y) 也是曲边梯形 ! 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域）  = D I f (x, y)dxdy .  d c I = Q( y)dy

5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域) =∫ f(x, y)dxdy z了f(xy) D:g(y)≤x≤yy) c≤y≤d y(y) e() f∫(x,y) p() I=o()d dy∫m(x,ydx x=yv) 囧

0 x z y x=(y) c y d D   = d c ψ y φ y y f x y x ( ) ) d ( , )d ( . D: (y)  x  (y) c  y  d 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） .  = D I f (x, y)dxdy  ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x  d c Q( y)dy Q( y ) = I = z=f (x,y) x=(y)

6.二重积分计算的两种积分顺序r=』y(x;ddy D:x1()≤x≤x2() csy≤d x10y) x2() D f∫(x,y)dx x1(y) 囧

D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d I =    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x 0 y x x1 (y) x2(y) D c d y  = D I f (x, y)dxdy 6. 二重积分计算的两种积分顺序

6.二重积分计算的种积分顺序r=/(x,)drdy D:x1()≤x≤x2() csy≤d x10y) x2() D f∫(x,y)dx x1(y) 囧

0 y x c d y D x1 (y) x2(y) I = 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d

6.二重积分计算的两种积分顺序r=∫/(x,p)dy D:x1()≤x≤x2() D:y1(x)≤y≤y2(x) ≤y≤d a≤x<b y2(x) x10y) x2() D D y1(x) x b x2(y) J2 f(x, y)dx f(x, y)dy x1(y) 囧

0 y x c d y  d c dy D D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d

6.二重积分计算的两种积分顺序r=∫/(x,p)dy D:x1()≤x≤x2() D:y1(x)≤y≤y2(x) ≤y≤d a≤x<b y2(x) x10) x2() D D y1(x) x b x2(y) J2 f(x, y)dx f(x, y)dy 囧

0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x  d c dy D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b

6.二重积分计算的两种积分顺序r=∫/(x,p)dy D:x1()≤x≤x2() D:y1(x)≤y≤y2(x) ≤y≤d a≤x<b y2(x) x10) x2() D D y1(x) x b x2(y) b J2 f(x, y)dx f(x, y)dy 囧

0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x  b a dx 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x  d c dy D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b

24将积分换序=dx 2ax f(x, y)dy 2ar 解D 2ax-x2≤y≤√2a 0≤x≤2a J 2a D D2 D3 r"y」Pr( x,y)dx y=√2 2a D i d f(, y)dx 0 2 Jata2_m2 f(x,y)dx x=a-va2 =a+va-y 2a 还有别的方法吗? 囧

0 y 2a x 2a 24. 将积分换序 d ( , )d       − =  a ax ax x I x f x y y a D: ax − x  y  ax 解  0  x  2a D1 D2 D3 y = ax .   x = a + a − y .   x = a − a − y .        = + + D D D I d ( , )d      =  a a a a y y f x y x d ( , )d   − −    +  a a a y a y y f x y x d ( , )d    + − +   a a a a y y f x y x . 还有别的方法吗？