清华大学：《微积分》课程教学资源_习题

1.计算下列含参变量积分的导数 )F(x)=∫e 2)F()-m”2 (3)F(t)= In(1+tx) 2.设f(x)为可微函数,且F(x)=(x+y)f(y)h,求F"(x) 3.求椭园积分E(k)= k sin de及F(k)= -k sin o (00,b> 提示:利用 x 研究函数F(y)= xf(x) dx的连续性,其中∫(x)在闭区间[0,1]上是正 的连续函数 7.设f(x)为可微分两次的函数,F(x)为可微函数,证明:函数 Mx0)=5(x-=a)+/(x+an)+ x+ar F()dy 满足弦振动方程 l 及初值条件:l(x,O)=f(x),,(x,O)=F(x) 8.证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛

129 习 题 1. 计算下列含参变量积分的导数 (1) F x e x x xy dy ( ) =  − 2 2 ; (2) F y yx x dx a y b y ( ) sin = + +  ; (3) F t tx x dx t ( ) ln( ) = + 0 1 . 2. 设 f (x) 为可微函数, 且 F x x y f y dy x ( ) = ( + ) ( ) 0 , 求 F(x) . 3. 求椭园积分 E k k d x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1   及 F k d k x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1   (0  k  1) 的导函数, 并以函数 E(k) 和 F(k) 表示之; 证明 E(k) 满足微分方程  +  + − E k = k E k E k k ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 2 . 4. 计算 0 1 2 1  − arctgx x dx x . 提示: 利用 arctgx x dy x y = + 0 1 2 2 1 5. 计算 0 1 1  −       x x x x dx b a ln sin ln , (a  0,b  0). 提示: 利用 a b y b a x dy x x x  = − ln . 6. 研究函数 dx x y yf x F y 2 2 1 0 − =  ( ) ( ) 的连续性, 其中 f (x) 在闭区间[0, 1]上是正 的连续函数. 7. 设 f (x) 为可微分两次的函数, F(x) 为可微函数, 证明: 函数 u x t  f x at f x at  F y dy x at x at ( , ) = ( − ) + ( + ) + ( ) − +  1 2 满足弦振动方程     2 2 2 2 2 u t a u x = 及初值条件: u(x,0) = f (x) , u x = F x t ( ,0) ( ) . 8. 证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛

(1)xedx(a≤s≤b) ax(-∞0, b 12.计算积分 -ax sin yrar (a> 13.利用积分号下求积分的定理,计算积分 cosax-cos bx d(a>0b>0) COAx- cOS ox 提 Sya在y≥y>0上一致收敛 (不要求证明此结论),并可利用例4结果 部分习题答案 y e )F(y) sin y(b+ y) sin y(a+ y) +y (3)F'()=-ln(1+t2)

130 (1) 0 + −  x e dx s x (a  s  b) ; (2) − +  + cos yx x dx 1 2 (−  y  +) ; (3) e x dx tx 2n 0 2 − +  (0  t 0  t  +) . 9. 利用积分号下求导的定理及 0 2 2 +  + = dx y x y  ( y  0) . 证明 0 2 1 1 2 2 2 1 2 + + − +        + = dx − y x n n y n n ( ) ( )!! ( )!!  (y  0) 10. 利用积分号下求导的定理及 t e dx tx  2 2 1 0 = − +  (t  0) 计算积分 e x dx. tx 2n 0 2 − +  . 11. 计算积分 0 2 2 + − −  e − e x dx ax bx (a  0,b  0) . 12. 计算积分 xe yxdx ax sin 2 0 − +  (a  0) . 13. 利用积分号下求积分的定理, 计算积分 0 2 +  cosax − cosbx x dx (a  0,b  0) 提示: a b yx x dy ax bx x  = sin cos − cos 2 , 0 +  sin yx x dx 在 y  y0  0 上一致收敛 (不要求证明此结论), 并可利用例 4 结果. 部分习题答案 (1)  = − − − − −  F x xe e y e dy x x x x xy ( ) 2 5 3 2 2 2 , (2) ( ) sin ( ) sin y(a y) y a y y b y y b y F y +         + + − +         +  = + 1 1 1 1 , (3) F t = + t ( ) ln( t ) 2 1 2 . 2. F(x) = 3 f (x) + 2xf (x)

3.E(6)sE(k)-F(k),F()=k-k)k E(k) F( k arct 6.F(y)在y=0点不连续 1+(a-1)(b+1) 1D(2n-1)!! I,n vi 12.提示:利用例3结果, 丌-y2 4 13.=(b-a) 附录函数的一致连续性 函数y=f(x)在x∈(a,b)点连续的定义义是 “VE>0.,36(6,x)>0,使当x-x0,要使 f(x)-f(x0) 0 0),则当x∈[c] 80 (E<1) 1+

131 3.  = − E k E k F k k ( ) ( ) ( ) ,  = − F k − E k k k F k k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . 4.  2 ln(1+ 2) . 5. ( )( ) arctg 1 + −1 + 1 − a b b a . 6. F(y) 在 y = 0 点不连续. 10. t t n n n  1 2 2 1 + ( − )!! . 11. 1 2 ln b a . 12. 提示: 利用例 3 结果, y a e a a y 4 2 4  − / . 13.  2 (b − a) . 附录 函数的一致连续性 函数 y = f (x) 在 x0 (a,b) 点连续的定义义是: “   0,  (, x0 )  0, 使当 x − x0   时 f (x) − f (x0 )   ”. 一般说来,  的选取不仅与  有关, 而且与 x 0 有关。 例 f x x ( ) = 1 在(0, 1)内连续, 设 x0 (a,b),   0 , 要使 f x f x x x ( ) − ( 0 ) = −  0 1 1  , 即 1 1 1 0 0 x x x −    +  , 1 0 1 1 0 0 0 −   x +  x x x x , 取   1 , 则 1− x0  0 , x x x x x 0 0 0 1+ 1 0    −  , − −  −  −     x x x x x x 0 2 0 0 0 2 1 1 0 , 故只要取 ( )       , x min , x x x x x x 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 1 1 0 = − +       = + , 则当 x − x0   (, x0 ) 时, f (x) − f (x0 )   . 显然, 在上述例子中,  (, x0 ) 与 x 0 有关, 且当 x0 → 0 时,  (, x0 ) → 0 。但是同 样的函数 f x x ( ) = 1 , 考虑 x c,1, (c  0) , 则当 x0 c,1 时,     x  x c c 0 c 2 0 2 2 1+ 1 2  +  (  1)

此时,VE≥0,彐6()=,当x-x0,存在只依赖于E的o(E)>0,使 当x∈/且|x-x00,36()>0,wx',x"∈I,x'-x"0,由柯西准则x∈(a-1,b+1),彐δ>0, 使x',x"∈(a-1.b+1)∩(x-6,x+6),恒有F(x)-F(x")0,存在上述>0,使x:xE 要'-x10,3()>0,使当

132 此时,     =  0 2 2 , ( ) c , 当 x − x0   () 时, f (x) − f (x0 )   , 对 x0 c,1 都成立。 对于上述两种情况, 我们称 f x x ( ) = 1 在(0,1)区间上不一致连续, 而在 c,1 区间上 一致连续。 定义 1 设函数 f (x) 在区间 I 上连续, 如果   0 , 存在只依赖于  的  ()  0 , 使 当 x I 且 x − x0   () 时, x  I 0 均有 f (x) − f (x0 )   , 则称 f (x) 在 I 上一 致连续。 定义 1 的等价命题是: “   0, ()  0, x , x I, x − x  (), f (x) − f (x)   ” 定理 1 有界闭区间 [a,b] 上的连续函数一致连续 证明 设 f (x) 在 a,b 上连续, 记 F x   f a x a a f x x a b f b x b b ( ) ( ), ( , ), ( ), , , ( ), ( , ) =  −   +      1 1 则 F(x) 在 (a − 1,b + 1) 内连续,   0, 由柯西准则 x (a −1,b + 1) ,  x  0 , 使 x x  a − b + x − x x + x , ( 1, 1)(  ,  ) , 恒有 F(x) − F(x)   , 取遍 (a − 1,b + 1) 上所有的点 x , 得到的开区间集        = ( − , + ) ( − , + ) | ( −1, +1) 2 2 a 1 b 1 x x x a b   x  x 覆盖了有界闭区间 a,b, 根据有限覆盖定理, 存在有限个开区间         − + − + 2 2 1 1 i i x i x i a b x x   ( , )  , , i = 1,  ,n, 覆盖了闭区间 a,b, 记    =       min , x x 1 n 2  2 , 则对上述   0 , 存在上述   0, 使 x , x a,b, 只 要 x − x   , x  , x 就必属于某个开区间 (a ,b ) (xi x , xi x ) i i − 1 + 1  −  +  , 从而 有 f (x) − f (x) = F(x) − F(x)   , 这就证明了 f (x) 在 a,b 上一致连续。 以上有关一致连续的定义和定理可以推广到多元函数上去, 下面以二元函数为例 定义 2 设 f (x, y) 在域 D  R 2 上连续, 如果   0 ,  ()  0 , 使当

(x0+1x,y+4)∈D,且10,3()>0,VP,P"∈D,只要|PP"|<,均有 J(P)-f(P")<E”。 定理2若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则它在D上一致连续 (证明略)

133 (x0 + x, y0 + y) D, 且 x   , y   时, (x0 , y0 ) D , 均有 f (x x, y y) f (x , y ) 0 +  0 +  − 0 0   , 则称 f (x, y) 在域 D 上一致连续。 其等价定义是: “   0, ()  0, P , P D , 只要 PP   , 均有 f (P) − f (P)   ”。 定理 2 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 则它在 D 上一致连续。 (证明略)