清华大学：《微积分》课程教学资源_习题讨论：曲线、曲面积分的计算

第五章向量分析 第五章向量分析 习题讨论:曲线、曲面积分的计算 习题讨论题 1.计算积分:x2d,C 2,计算积分:(1-2052)+(sm2+22), 沿任一条不与轴相交的曲线。 3,计算Ⅰ= Xdy-YdX 2TJx+y 其中f Y=cx+dy ad-bc≠0,C为包围原点的闭曲线。 4,计算=14,J=Ad 其中S:x2+y2+z2=a2,外法线为曲面正向。 5,设函数满足条件 d+)oG=n(xy,=),n为正整数, af af 曲面S1:∫(x,y,x)=0,与平面S2ax+by+c=d,所围 区域为g,g取外法线作正向,计算: I== A d+yd=a dx+sdx dy 6,计算ax+zh+xd,C lx+y+==0 从正z轴方向看,C的正向为反时钟方向。 7,设l=u(x,y,=)是闭域g上的调和函数,即满足方程 △u=Vv≈2ua2na2u ax ay az (1)若Ω:x2+y2+x2≤R2,求 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 习题讨论: 曲线、曲面积分的计算 习题讨论题 1. 计算积分：  C x dl 2 ,    + + = + + = 0 1 : 2 2 2 x y z x y z C . 2, 计算积分： ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y , 沿任一条不与轴相交的曲线。 3, 计算  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  ,其中    = + = + Y cx dy X ax by , ad −bc  0, C 为包围原点的闭曲线。 4, 计算 I zdS S  = , J zdx dy S =   , 其中 2 2 2 2 S : x + y + z = a , 外法线为曲面正向。. 5, 设函数满足条件： nf (x y z) z f z y f y x f x = , ,   +   +   , n 为正整数, 曲面 1 S : f (x, y, x) = 0, 与平面 S2 :ax + by + cz = d , 所围 区域为  ,   取外法线作正向,计算：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 . 6, 计算  + + C ydx zdy xdz ,    + + = + + = 0 : 2 2 2 2 x y z x y z a C . 从正 z 轴方向看, C 的正向为反时钟方向。 7, 设 u = u(x, y,z) 是闭域  上的调和函数，即满足方程： 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    =  = z u y u x u u u 。 (1) 若 2 2 2 2 : x + y + z  R , 求

第五章向量分析 cos ,亓) 其中,F是矢径,即F=x+y+k,r=, 万是dS的法线方向。 (2)若g是任一不包含原点作为内点的闭域,求 cos(, n) (3)若Ω是任一包含原点作为内点的闭域,求 COS ) I=HIu r on (4)若9是任一包含P(a,b,c)∈9点作为内点的闭域,求 I=hlu 其中,F是以P为起点的矢径,即 =(x-a)(-b+(2-ck,r=, 万是dS的法线方向。 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是矢径，即 r xi yj zk     = + + , r r  = , n  是 dS 的法线方向。 (2) 若  是任一不包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   . (3) 若  是任一包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   (4) 若  是任一包含 ( ) 0 0 P a,b,c  点作为内点的闭域, 求: ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是以 P0 为起点的矢径，即 r (x a)i (y b)j (z c)k     = − + − + − , r r  = , n  是 dS 的法线方向

第五章向量分析 参考解答 1.计算积分:于x2d,C x+y+二=0 解1:作坐标变换,将z轴变成平面x+y+z=0的单位法向 量,再在平面上取两个正交的向量: 和1 0 再单位化,以构成新坐标系: uyw 过渡矩阵T由新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形 成如下: 0)(1√3)(n(/2)(0)(6 01/3 /2 0 J/2161/3Yx 67对-2 /61/3 /2/61√3 /21√61 2/√61/3 因为是正交阵,T=T 因此, x)(2-/√20 y=v/61/6-2/√6|v (/33W3人 即 =0 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 参考解答 1. 计算积分：  C x dl 2 ,    + + = + + = 0 1 : 2 2 2 x y z x y z C . 解 1: 作坐标变换，将 z 轴变成平面 x + y + z = 0 的单位法向 量, 再在平面上取两个正交的向量:           − 0 1 1 和           − 2 1 1 , 再单位化，以构成新坐标系: ( )           w v u e e e 1 2 3    , 过渡矩阵 T 由 新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形 成如下：                        1 3 1 3 1 3 1 0 0 ,              −           0 1 2 1 2 0 0 1 ,             −            2 6 1 6 1 6 0 1 0 ( ) ( )                       − = −           z y x i j k w v u e e e 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 3                             − = −           z y x w v u 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3           = z y x T 因为是正交阵， T T = T −1 , 因此，                       − − =           w v u z y x 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 2 6 1 2 1 2 0    = + + = 0 1 : 2 2 2 w u v w C , 即    = + = 0 1 2 2 w u v

第五章向量分析 /216 /21/6 l/21/√6 l/216 2/√6 xpdl I+Cos tdt 解二:由对称性可知: fxdl=fadl=f fxd=÷(x2+y2+:)=5um 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析                     − = −           v u z y x 0 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6 =                     − − Sin t Cost 0 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6      = + +         = + C C C C C dl dl u dl uvdl u v x dl 3 1 3 1 6 1 2 6 2 2 2 =    3 2 3 1 3 1 2 0 2 + =  Cos tdt 解二：由对称性可知：    = = C C C x dl y dl z dl 2 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 1 2 2 2  = + + = =    C C C x dl x y z dl dl

第五章向量分析 2,计算积分:(1- y - ldr+smny+ cos y)zh, (1,x) 沿任一条不与轴相交的曲线 解:由于 cos=+=sin y sin+=cos=dy =dx+ycos-y2 dx+dy +sin 2dy =dx+cos sin dy -dx+yd sin=+sin=dy=d x+ysin cos=dx+sin+2cos=ydx (2,r) d x+sin xt sin 丌+1 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 2, 计算积分： ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y , 沿任一条不与轴相交的曲线。 解：由于 x Y x y x y x y x y y X   = − + =   cos sin 2 3 2 2 , dy x y x y x y dx x y x y       + +         1− cos sin cos 2 2 = = dy x y dy x dx x y x y dx y sin 1 cos 2  +      + − + = dy x y x y d x y dx y cos  + sin      + =        + = +      + x y dy d x y x y x y dx yd sin sin sin , ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin 1 2, 1, 2, 1,  = +       = +      +       x y x y x y d x y

第五章向量分析 3,计算 Xdy-ydx 2丌 2+y2,其中x=a+by d-bc≠0,C为包围原点的闭曲线。 解:由ad-bc≠0可知,仅有原点使X2+Y2=0 Xdr-Ydx=ad-bcXxdy-ydox) 1=201y fPd+Ody 易于验证:如=2 Islad-ba)r xdy-yodx_(ad-bc) xdy-yax 2 X-+y 2丌 m2亦 (ad-bc) ∂(x a(X, y 因 (X,Y) a(x,r) c a det a(x, y) ad-bc (ad-bc) dXdy sgn(ad-bc 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 3, 计算  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  ,其中    = + = + Y cx dy X ax by , ad −bc  0, C 为包围原点的闭曲线。 解：由 ad −bc  0 可知，仅有原点使 0 2 2 X + Y = . XdY −YdX = (ad −bc)(xdy− ydx)  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  = ( )  + − − C X Y ad bc xdy ydx 2 2 2 = ( )  + − C Pdx Qdy ad bc 2 , 易于验证： x Q y P   =   I= ( )  + − − C X Y ad bc xdy ydx 2 2 2 = ( )  + = + − − 2 2 2 2 2 2 X Y r X Y ad bc xdy ydx  = ( )  + = − − 2 2 2 2 2 X Y r xdy ydx r ad bc  = ( )  +  − 2 2 2 2 2 2 X Y r dxdy r ad bc  = ( ) ( ) ( )  +   −  2 2 2 , , det 2 X Y r dXdY X Y x y r ad bc  , 因 ( ) ( )         =   c d a b x y X Y , ,  ( ) ( )         − − − =   c a d b X Y ad bc x y 1 , ,  ( ) (X Y ) ad bc x y − =   1 , , det , ( ) dXdY r ad bc ad bc I X Y r − − =  +  1 2 2 2 2  = Sgn(ad bc) ad bc r r ad bc = − −  − 2 2  

第五章向量分析 4,计算=,J=∧d 其中S:x2+y2+z2 外法线为曲面正向 解:由对称性可知:I==JS+ 且∫s=」s d=女d d xe dxdy =|s=」s+s=2s= √a2-x2 dy 8a[√a2-x2dx=2m3 J=JJ=kx ady=[ dy+[Ji=kady 入的-⊥a-x-ydb ∫入b-a⊥a-x2-y(d J=入d=小入d+入b=0 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 4, 计算 I zdS S  = , J zdx dy S =   , 其中 2 2 2 2 S : x + y + z = a , 外法线为曲面正向。. 解：由对称性可知： I z dS z dS z dS S S S    = = + 1 2 , 且 z dS z dS S S   = 1 2 2 2 2 2 2 1 cos a x y a dxdy dxdy y z x dxdy z dS − − =            +        = = +  , I zdS zdS zdS z dS S S S S     = = + = 1 2 1 2 = =   − − − − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a x a a dxdy a x y a dx a x y =  − = a a a x dx a 0 2 2 3 8 2 J zdx dy zdx dy zdx dy S S S =  =  +     1 2    − − − −  = − − 2 2 2 2 1 2 2 2 a x a x a S a z dx dy dx a x y dxdy ( )    − − − −  = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a x a S a z dx dy dx a x y dxdy , 0 1 2 =  =  +  =    J zdx dy z dx dy z dx dy S S S

第五章向量分析 5,设函数满足 x9+y9+:9=m/(xy,=).n为正整数 曲面S1:∫(x,y,x)=0,与平面S2ax+by+c=d,所围 区域为g,a9取外法线作正向,计算: 盯x+地A+A 解:设F=x+y+zk=F =5JF4=F4+JF示 在曲面S上 F五n=F.f+”+/k xx+yf”+/ =0 V)+)+())+()+( 在平面S2上 b d a2+b2+c2√a2+b2+c2√a2+b2+c ∫F示(=F示△+』F 3a2+b2 这里,H是原点到平面S2的距离,是曲面S在平面S2上 切下图形的面积.另一方面,由 Gauss公式有 √^女+yddx+Ad= I rrr/away,az 3a+今+ah在dh 即所围体积:|2=1HS 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 5, 设函数满足： nf (x y z) z f z y f y x f x = , ,   +   +   , n 为正整数, 曲面 1 S : f (x, y, x) = 0, 与平面 S2 :ax + by + cz = d , 所围 区域为  ,   取外法线作正向,计算：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 . 解： 设 F xi yj zk r      = + + =         =  =  +       1 2 0 0 0 3 1 3 1 S S I F n dS F n dS F n dS       在曲面 1 S 上: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 x y z x y z f f f f i f j f k F n r  +  +   +  +   =        = ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 =  +  +   +  +  x y z x y z f f f xf yf zf 在平面 2 S 上: = 2 2 2 0 a b c ai bj c k F n r z + + + +  =        = 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c ax by cz + + = + + + +         =  =  +       1 2 0 0 0 3 1 3 1 S S I F n dS F n dS F n dS       = =  + + + 2 2 2 2 3 0 S dS a b c d = H  S 3 1 这里， H 是原点到平面 2 S 的距离，是曲面 1 S 在平面 2 S 上 切下图形的面积. 另一方面，由 Gauss 公式有：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 =   = =          +   +       dxdydz dxdydz z z y y x x 3 1 , 即所围体积:  = H  S 3 1

第五章向量分析 6,计算+z+xd,C 2=a x+v+==0 从正z轴方向看,C的正向为反时钟方向。 解1:直接计算:做的参数方程: x+y+==0 x={u-)/2 x +y +xy= x+y+==0 coS t - sin t a cost +sint,0≤t≤2 ydx+zdy +xdx= √3√3 tt=-√3na 解2:利用 Stokes公式计算: cosa cos B cosr ydx+rdy+xd= ax ay a= ∫jos+os+ corks cos a+cos B+cosy)ds=-v3na 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 6, 计算  + + C ydx zdy xdz ,    + + = + + = 0 : 2 2 2 2 x y z x y z a C . 从正 z 轴方向看, C 的正向为反时钟方向。 解 1：直接计算：做的参数方程：    + + = + + = 0 : 2 2 2 2 x y z x y z a C ( ) ( )        + = = − = + = −     + + = + + =  2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 0 2 u v a z u y u v x u v x y z x y x y a ,0 2 cos 3 2 2 sin 3 cos 2 sin 3 cos 2 :                      = −         = +         = − t t a z t a t y t a t x C  + + C ydx zdy xdz = 2 2 0 2 3 3 2 3 1 2 dt a a   = −         − −  . 解 2：利用 Stokes 公式计算：  + + C ydx zdy xdz =        S dS y z x x y z cos cos  cos = ( )dS S  − cos + cos  + cos = ( ) 2 cos cos cos dS 3 a S −  +  +  = −  

第五章向量分析 7,设u=u(x,y,=)是闭域g上的调和函数,即满足方程: au au au △=Vu= (1)若Ω:x2+y2+z2≤R2,求 其中,F是矢径,即F=x1+y+k,r=同 万是dS的法线方向。 (2)若Ω是任一不包含原点作为内点的闭域,求 os(F, n) (3)若g是任一包含原点作为内点的闭域,求 ff:n),1 (4)若9是任一包含P(a,b,c)∈点作为内点的闭域,求 1=f(,n+21 其中,P是以P为起点的矢径,即 =(x-a+(-b)万+(-ck,r= 五是dS的法线方向。 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 7, 设 u = u(x, y,z) 是闭域  上的调和函数，即满足方程： 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    =  = z u y u x u u u 。 (1)若 2 2 2 2 : x + y + z  R , 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是矢径，即 r xi yj zk     = + + , r r  = , n  是 dS 的法线方向。 (2)若  是任一不包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   . (3)若  是任一包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   (4)若  是任一包含 ( ) 0 0 P a,b,c  点作为内点的闭域, 求: ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是以 P0 为起点的矢径，即 r (x a)i (y b)j (z c)k     = − + − + − , r r  = , n  是 dS 的法线方向