清华大学：《微积分》课程教学资源_第五章（5.7）微分形式介绍（课后作业）

第五章向量分析 第五章向量分析 5-7微分形式介绍 第二十二讲微形形式介绍 课后作业: 阅读:第十三章13.7pp.278-290 预习:第十四章14-1pp.293304 作业题:p.290补充题1:4;5;8 5-7微分形式介绍 (一)微分形式问题的提出 我们已经学习过四个微积分的重要公式 Newton-Leibniz公式「d=f(b)-f(a) Gren公式{xax+h ar CX )dxd小y Gas公式F:=vF和 soes公式于手F:d=』xf) 它们都反映了类似的规律:函数(或者向量函数)的“微分”在区 域上的“积分”,可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积 分”来表示。当然,这里的微分与积分,都是有特定定义的,因而我 们加上了引号。 既然四个公式反映了类似规律,那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具.系统地讨论微分形式 需要较深的代数和拓扑知识.所以这里我们只是在R的范围中以尽可 能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知 (二)流形及其定向 在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称:“流形 “一维流形”指满足一定条件的曲线(包括直线) “二维流形”指满足一定条件的曲面(包括平面); “三维流形”指R中满足一定条件的区域 流形都是有向的.其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-7 微分形式介绍 第二十二讲 微形形式介绍 课后作业： 阅读：第十三章 13.7 pp.278-290 预习：第十四章 14-1 pp. 293—304 作业题: p.290 补充题 1; 4; 5; 8 5-7 微分形式介绍 (一) 微分形式问题的提出 我们已经学习过四个微积分的重要公式: Newton-Leibniz 公式 df f (b) f (a) b a = −  Green 公式 dxdy y X x Y Xdx Ydy D D ( )      + = −   , Gauss 公式      =    F dS F dV    和 Stokes 公式 ( ) .    =   S S F dl F dS      它们都反映了类似的规律：函数(或者向量函数)的“微分”在 区 域上的“积分”, 可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积 分”来表示。当然，这里的微分与积分，都是有特定定义的，因而我 们加上了引号。 既然四个公式反映了类似规律，那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具. 系统地讨论微分形式 需要较深的代数和拓扑知识. 所以这里我们只是在 3 R 的范围中以尽可 能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知 识. (二) 流形及其定向 在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称：“流形”. “一维流形” 指满足一定条件的曲线(包括直线); “二维流形” 指满足一定条件的曲面(包括平面); “三维流形” 指 3 R 中满足一定条件的区域. 流形都是有向的. 其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般

第五章向量分析 化 (1)对于曲线.设曲线L有参数方程 x= xlt y=y(),a≤t≤B z=z() 其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 x()2+y()2+()2≠0. 在这个条件下,曲线L在其上每个点都有非零的切向量 z=(x()yf()=() 规定z就是曲线在这点处切线的正方向,或者说确定为曲线的正向 这就意味着:参数t增加方向确定了曲线正方向。 这时,弧微分向量:d=y()t 2)对于曲面,设有向曲面S有参数方程 x=xs. y=y(.1).(.0)∈D I=:(s, 1) 其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 [det av,=) a(=,x) as, 1) 则曲面S在其上每点都有单位法向量 万=五+历+CK A+b+c 其中A=det ()B=,x) a(y,) h少、C=detx,y) a(s,1) 今规定n是S的正向法向量,或者说确定为曲面的正向; 这就意味着:参数1增加方向确定了曲岛正方向 这时,曲面的面微分向量 dS=dl1×dl2= x,2×x.=)ka 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 化。 (1) 对于曲线.设曲线 L 有参数方程: ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t ,   t   其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 ( ) ( ) ( ) 0. 2 2 2 x  t +y  t +z  t  在这个条件下,曲线 L 在其上每个点都有非零的切向量.  = (x (t), y (t),z (t))  规定   就是曲线在这点处切线的正方向, 或者说确定为曲线的正向； 这就意味着：参数 t 增加方向确定了曲线正方向。 这时，弧微分向量 : ( ) ( ) ( ) dt z t y t x t dl              =  (2) 对于曲面, 设有向曲面 S 有参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z s t y y s t x x s t , , , , Dst (s,t)  其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 [det ( , ) ( , ) ] [det ( , ) ( , ) ] [det ( , ) ( , ) ] .       y z s t z x s t x y s t 2 2 2 + +  0 则曲面 S 在其上每点都有单位法向量 2 2 2 A B C Ai Bj Ck n + + + + =     其中 A y z s t B z x s t C x y s t = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       今规定 n  是 S 的正向法向量, 或者说确定为曲面的正向； 这就意味着：参数 t 增加方向确定了曲岛正方向。 这时，曲面的面微分向量: ( ) ( ) ds dt s x y z t x y z dS dl dl            =  = , , , , 1 2   

第五章向量分析 ds dt=Adsdt i+Bdsdt i+Cdsdtk atat at di+dx7+dx入bhk 其中A=dety-,B=det a(=,x) ax,y) au,v) u.1 a(x, y) dsdt dady=o a(s, dads det a(, l dsr 记号∧表作“外积” (3)对于空间区域,我们也由变换的参数方程 x= rlu,v,M y=ynm).(r)e三cR 定向:其体微分是一个有正负的标量: auauau duded a(x,y,2)duddy d(u, v, w) (三)微分形式及其外积 (I)微分形式 设有函数:f:ΩcR3→R 向量函数:F:ΩcR3→R3, 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 = ds dt s z s y s x t z t y t x i j k                = Adsdt i Bdsdt j Cdsdt k    + + = dy dzi dz dx j dx dy k     +  +  其中 A y z u v B z x u v C x y u v = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       这里, 记: ( ) ( ) dsdt s t x y dx dy , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t y z dy dz , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t z x dz dx , , det    = 记号  表作“外积”. (3) 对于空间区域，我们也由变换的参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , ( ) 3 u,v,w   R 定向：其体微分是一个有正负的标量： ( ) dudvdw w z w y w x v z v y v x u z u y u x d dl dl dl u v w                                   = , , = det     = dudvdw u v w x y z ( , , ) ( , , ) det   (三) 微分形式及其外积 (I) 微分形式 设有函数： f   R → R 3 : , 向量函数： 3 3 F :  R → R 

第五章向量分析 F=X(x,y,si+Y(x,,)j+Zx,y, =kk x=x() 在一维流形L 上有零次和一次微分形式 (1)一维流形L零次微分形式就是L上的可微函数f 称函数∫在L上可微,是指t的函数 f(x(),y(t),z(1) 在[a,上可微 (2)一维流形L上有三个基本的一次微分形式,dx,dy, 而L上的一次微分形式的一般形状是 =++Zl 给定曲线L参数方程后,x,d,d由 dx=x(o)dt, dy=y(dt, d==(rdt 确定。其中X,Y,Z都是L上的可微函数 ●二维流形S x=x() 上有零次,一次和二次微形式 (1)零次和一次微分形式与一维流形上类似,只是此时相应的函 数取在二维流形S上。可微也是指相应函数在S上作为(s,)的函 数,在相应区域可微 (2)二维流形S上有三个基本的二次微分形式 dx∧dhy=det a(x, y)dsc dy∧de=det dsdt a( d∧ax=det dsdt 错误!未定义书签。上二次微分形式的一般形状为 =Wb∧c+Y∧dx+ZAd 其中X,Y,Z都是S上的可微函数 空间区域, 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , ⚫ 在一维流形 L : ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t ,   t   上有零次和一次微分形式: (1) 一维流形 L 零次微分形式就是 L 上的可微函数 f . 称函数 f 在 L 上可微, 是指 t 的函数 f (x(t), y(t),z(t)) 在 [,] 上可微. (2)一维流形 L 上有三个基本的一次微分形式,dx,dy,dz. 而 L 上的一次微分形式的一般形状是  = Xdx +Ydy + Zdz. 给定曲线 L 参数方程后, dx,dy,dz 由 dx = x t dt dy = y t dt dz = z t dt ' ' ' ( ) , ( ) , ( ) . 确定。其中 X,Y,Z 都是 L 上的可微函数. ⚫ 二维流形 S : ( ) ( ) ( )      = = = z z s t y y s t x x s t , , , , 上有零次,一次和二次微形式. (1) 零次和一次微分形式与一维流形上类似，只是此时相应的函 数取在二维流形 S 上。可微也是指相应函数在 S 上作为 (s,t) 的函 数,在相应区域可微. (2) 二维流形 S 上有三个基本的二次微分形式: ( ) ( ) dsdt s t x y dx dy , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t y z dy dz , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t z x dz dx , , det    = 错误！未定义书签。上二次微分形式的一般形状为  = Xdy dz +Ydz dx + Zdx dy. 其中 X,Y,Z 都是 S 上的可微函数. ⚫ 空间区域

第五章向量分析 =x( y=y{un,),(a,,w)∈三cR 二=二(u21,) 有零次、一次、二次和三次微分形式 其中零到二次微分形式与上述定义类似 基本的三次微分形式为d∧d入c.它的值等于 dx∧ch∧dz=det ax, y,=) dudan au, v, w) 微分形式的一般形状是 O=fa∧d∧d 其中∫是给定域上的可微函数 (II)外积 微分形式的外积“∧”是一种满足如下性质的代数运算:设 A,p,U是任意的三个微分形式 (i)结合律成立,即(A山)AU=A八(AD) (ii)分配律成立,即 aa(u+u)=Au+A,(a+uAu=AD+HAD (ii1)反称性:对基本的一次微分形式有: dx^ax=0,c∧d=0,Ac=0 dx∧的=-d∧dx,dAd=-dAd,d∧a=-d 由二次微分形式的定义,反称性是显然的 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dx∧dy=det (x,y) dsdt=-det (y,x) (S,D) 2(S,D) (=,y) dy a d== det ,2)dea._aet as, sdtsdeady d(s, t d∧ax=det dsdt =-det (x,=) dsdt= dxadz (s,1) dx adx=det x, x)=o dy dy=0.dAd==0 as,1) 对于任意两个一次微分形式 可1=Xx+}中+Z,m2=X2x+}2小+22c.由分配律得到 a1AO2=(X++Z)(X2+2dhy+Z22) 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , ( ) 3 u,v,w   R 有零次、一次、二次和三次微分形式. 其中零到二次微分形式与上述定义类似. 基本的三次微分形式为 dxdydz. 它的值等于 dx dy dz x y z u v w   = det dudvdw ( , , ) ( , , ) .   . 三次微分形式的一般形状是  = f dx  dy  dz . 其中 f 是给定域上的可微函数. (II) 外积 微分形式的外积“  ”是一种满足如下性质的代数运算：设 ,, 是任意的三个微分形式： (i)结合律成立，即 (  ) =  ( ) (ii)分配律成立，即  ( +) =    +   , ( + ) =   +   ; (iii)反称性：对基本的一次微分形式有: dx dx = 0 , dy  dy = 0 , dz  dz = 0, dx  dy = −dy  dx , dy  dz = −dz  dy , dz dx = −dx dz 。 由二次微分形式的定义,反称性是显然的: 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dsdt dy dx s t y x dsdt s t x y dx  dy = = − = −  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dz dy s t z y dsdt s t y z dy  dz = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dx dz s t x z dsdt s t z x dz  dx = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dx dx x x s t  = det = dy  dy = dz  dz = ( , ) ( , ) , , .   0 0 0 对于任意两个一次微分形式 , . 1 =X1dx +Y1dy +Z1dz  2 =X 2dx +Y 2dy +Z2dz 由分配律得到 (X dx Y dy Z dz) (X dx Y dy Z dz) 1 2 = 1 + 1 + 1  2 + 2 + 2

第五章向量分析 =X1HY2dxd+H1X2d∧dx+x1z2dx入d+ +,x,d Adx+rudy Ad +zr,d=ad (YZ2-Y2Zidy Ad+(zr2-z2Xide adr+(xr Ddx a dy (四)外微分运算 对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式O 的外微分记作da 对于零次微分形式(即可微函数)f,其外微分就是通常的全微分 df dx+dy +=dz 对于一,二,三次微分形式的外微分定义是,保持x,dAdy,与 dx∧d∧c等不动,只对于微分形式的系数(即函数)X,P,∫等进行 外微分运算.例如 d(xax)=ax∧dx dx+d+c)∧dx c∧d+一 dea dx a d(P∧c)=dP∧dAd dx+d+-c)∧d∧d dxAc∧d d((x^dAd)=可∧d入小A (+d+d)A∧如∧d=0 例1:设O=x+Ydh+Z,则 do=d(dx+h+z=)=ax∧ax+dY∧dy+dz∧d= Ddy ad=+( Dde a dx+( Ddx ady a g 例2:设O=P小入c+CAdx+R^d,则 do=dP∧d∧d+止+RAA小 )dx∧ dy adz. 由上三式可以看出以下几点 1.零次微分形式(即可微函数)∫的外微分即通常的全微分,在与 函数∫的梯度运算fa+k相当 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 = X Y dx  dy +Y X dy  dx + X Z dx  dz 1 2 1 2 1 2 + + Z X dz  dx +Y Z dy  dz + Z Y dz  dy 1 2 1 2 1 2 = (Y Z −Y Z )dy  dz + (Z X −Z X )dz  dx + (X Y −X Y )dx  dy 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 =-2 1 (四) 外微分运算 对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式  的外微分记作 d. 对于零次微分形式(即可微函数) f ,其外微分就是通常的全微分 df f x dx f y dy f z = + + dz       对于一,二,三次微分形式的外微分定义是, 保持 dx,dxdy, 与 dxdydz 等不动,只对于微分形式的系数(即函数) X, P, f 等进行 外微分运算. 例如 ( ) 0. ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) = + +    =   =    =    =   = + +   =  +  =  = + +  dz dx dy dz z f dy y f dx x f d fdx dy dz df dx dy dz dx dy dz x P dz dy dz z P dy y P dx x P d Pdy dz dP dy dz dz dx z X dy dx y X dz dx z X dy y X dx x X d Xdx dX dx                         例 1:设  = Xdx +Ydy + Zdz,则 d d Xdx Ydy Zdz dX dx dY dy dZ dz Z y Y z dy dz X z Z x dz dx Y x X y dx dy              = + + =  +  +  = −  + −  + −  ( ) ( ) ( ) ( ) . 例 2:设  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 则 ( )dx dy dz. z R y Q x P d dP dy dz dQ dz dx dR dx dy = + +   =   +   +          由上三式可以看出以下几点: 1.零次微分形式(即可微函数) f 的外微分即通常的全微分, 在与 函数 f 的梯度运算 f = + + f x i f y j f z k       相当;

第五章向量分析 2.一次微分形式=hx++Z的外微分在与向量场 F=+Y+Zk的旋度运算 aY、Yz、 )J ck a 相当 3.二次微分形式的O=P入+cAd+Rh∧d,的外微 分与向量场F=X+Y+Z的散度运算 ar ar al 相当. 如果微分形式O满足d=0,则称O是一个恰当微分形式 定理:( Poincare) 设微分形式O的系数二阶连续可微,则有d(do)=0 2.在一定条件下(例如为星形区域),设O是上的一个 k(=1,2,3)次恰当微分形式,则存在一个k一1次微分形式a,使得 这个定理的前半部分可以直接验证:比如 设O=Xax+h+Z,则 ae or CX )d∧d+(--)d∧dx+ dx∧chy d=(8203y ∧c八 dx Pa)dead_a'x a2z OX 0Z ∧d∧d ayaz ayax BY oX x)d∧d ay-a-xldx a dy ax aa d(do)=ar ax aar a-a)入b止 8x2体AbA-(2z-=y a入dAc Oya ayax) andy axa= ·若O=Pc+c∧d+Rxdy,则 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 2.一次微分 形式  = Xdx +Ydy + Zdz 的外微分在 与向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的旋度运算 k y X x Y j x Z z X i z Y y Z rotF     ( ) ( ) ( )             = − + − + − 相当. 3.二次微分形式的  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 的外微 分 与向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的散度运算 z Z y Y x X divF       = + +  相当. 如果微分形式  满足 d = 0, 则称  是一个恰当微分形式. 定理: (Poincare) 1.设微分形式  的系数二阶连续可微,则有 d(d) = 0. 2.在一定 条件下 (例如  为星形区 域),设  是  上的一个 k(=1,2,3) 次恰当微分形式,则存在一个 k −1 次微分形式  ,使得  = d. 这个定理的前半部分可以直接验证：比如， ⚫ 设  = Xdx +Ydy + Zdz, 则 ( ) ( ) ( )dx dy. y X x Y dz dx x Z z X dy dz z Y y Z d = −  + −  + −               dy dz dx x z Y x y Z dy dz z Y y Z d              −    −  = 2 2 ( )     , dz dx dy y x Z y z X dz dx x Z z X d              −    −  = 2 2 ( )     dx dy dz z y X z x Y dx dy y X x Y d              −    −  = 2 2 ( )     d(d) = dx dy dz z y X z x Y              −    2 2 dx dy dz y x Z y z X              −    − 2 2 dx dy dz x z Y x y Z              −    − 2 2 = 0 ⚫ 若  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 则

第五章向量分析 dos ap +=+)d∧dyAd aa C d(do =d( OP 00 OR dx∧d∧d 对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论: 对于一次微分形式=ax+hdh+Z,若有do=0,即 do=d(xax+ Ydy+Zd=) )dhy∧d+ ∧x or aX Ddx adv=( 这相当于向量场F=X+y+Zk的旋度为零,即是无旋场,因 而有势函数∫,这是零次微分形式,使得 d∫=+d+d=k+hy+z ·对于二次微分形式O=P小ca+ Rdx ad, 若有do=0,即 do=d(+l入d+Z入d) ax) a dy ad= =0 这对应于向量场F=X++Z散度为零,即这是一个无源场, 前面提到,它一定是一个旋度场,即有向量场 U=Pi+oi+wk 使得F=ro( 而旋度运算相当于一次形式a=Px+Oh+Wd的外微分,即 o=d(a) 对于三次微分形式=f∧∧d,总有do=0,即 只要选择a=∧d+h∧dx+z∧d,使得 ox v 0z 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( )dx dy dz. z R y Q x P d = + +          ( ) = ( + + )dx  dy  dz = 0 z R y Q x P d d d        对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论： ⚫ 对于一次微分形式  = Xdx +Ydy + Zdz, 若有 d = 0 , 即 d = d(Xdx +Ydy + Zdz) dz dx x Z z X dy dz z Y y Z = ( − )  + ( − )          + ( − )dx  dy = 0 y X x Y     , 这相当于向量场 F Xi Yj Zk     = + + 的旋度为零，即是无旋场, 因 而有势函数 f ,这是零次微分形式 , 使得 dz Xdx Ydy Zdz z f dy y f dx x f d f = + +   +   +   = ⚫ 对于二次微分形式  = Pdydz +Qdz dx + Rdx dy, 若有 d = 0, 即 d = d(Xdy  dz +Ydz  dx + Zdx  dy) = ( + + )dx  dy  dz. = 0 z zz y y x X       这对应于向量场 F Xi Yj Zk     = + + 散度为零, 即这是一个无源场， 前面提到，它一定是一个旋度场，即有向量场 U Pi Qj Wk     = + + 使得 F rot(U )   = , 而旋度运算相当于一次形式  = Pdx + Qdy +Wdz 的外微分，即  = d( ) . ⚫ 对于三次微分形式  = f dx  dy  dz , 总有 d = 0 , 即 只要选择  = Xdy  dz + Ydz  dx + Zdx  dy , 使得 f z Z y Y x X + + =      

第五章向量分析 就有:d=小(种止+Ab+aAd) BX oy oz xAdy∧d faxd∧d 就有 da (五)多变量积分的基本公式一 Stokes公式 (I)微分形式在流形上的积分 设L是R中的一维流形,O一次微分形式,它在L上的积分为 @=Xdx+Yay+Zdz 这恰好是向量场F=X+万+沿有向曲线L的第二型积分,曲线 L的方向由其参数方程给定 设S为二维流形,是二次微分形式,它在S上的积分 「a=xhA+A+2Ah 正是向量场F=+万+Zk沿有向曲面S第二型积分S,曲面S方 向已经由S的参数方程给定 ●设ΩcR是三维流形(即区域)c是三次微分形式,它在Ω 上的积分: 0 f∧d∧d 与一般的三重积分 ∫r=Jfl (u2v,) 相比较,主要区别是将Ω看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要 由9的定向决定,即由Jac矩阵dtax,y2) 的符号决定 (II) Stokes公式 最后.来看如何将 Newton- Leibniz公式, Green公式 Gauss公式, 和 Stokes公式写成统一的形式 设=[a,b],∫是上的连续可微函数(零次微分形式),则 lewton- Leibniz公式为 ∫4=f(b)-f(a) 注意到a={a,b}因此 Newton- Leibniz公式又可以写作 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 就有： d = d(Xdy  dz +Ydz  dx + Zdx  dy) = dx dy dz z Z y Y x X ( + + )         = f dx  dy  dz 就有  = d (五) 多变量积分的基本公式--Stokes 公式 (I) 微分形式在流形上的积分 ⚫ 设 L 是 3 R 中的一维流形,  一次微分形式，它在 L 上的积分为   = + + L L  Xdx Ydy Zdz 这恰好是向量场 F Xi Yj Zk     = + + 沿有向曲线 L 的第二型积分, 曲线 L 的方向由其参数方程给定. ⚫ 设 S 为二维流形,  是二次微分形式，它在 S 上的积分   =  +  +  S S  Xdy dz Ydz dx Zdx dy 正是向量场 F Xi Yj Zk     = + + 沿有向曲面 S 第二型积分 S ,曲面 S 方 向已经由 S 的参数方程给定。 ⚫ 设   3 R 是三维流形(即区域)  是三次微分形式，它在  上的积分：      = f dx  dy  dz 与一般的三重积分 dudvdw u v w x y z fdV f uvw    =  | ( , , ) ( , , ) | det   相比较,主要区别是将  看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要 由  的定向决定,即由 Jacobi 矩阵 det ( , , ) ( , , )   x y z u v w 的符号决定. (II) Stokes 公式 最后. 来看如何将 Newton-Leibniz 公式,Green 公式 Gauss 公式, 和 Stokes 公式写成统一的形式. 设 I =[a,b], f 是 I 上的连续可 微函数 (零次微 分形式),则 Newton-Leibniz 公式为 df f (b) f (a) I = −  注意到 I = {a,b} 因此 Newton-Leibniz 公式又可以写作

第五章向量分析 「df 再考察 Green公式 ax ydrdy=yxdx+Ydy 由于O=Aax+ha.则d=(-)x∧d.于是上式又可 以写作 do=o 对于 Stokes公式 ∫(2-地A在+(-2 d∧dx+( or aX dx∧dy =f Xdx+Yay+Zd= 若令O=x+Ydy+Z,则有 CX do=( Ddy ad= +o -dead+ -)d∧dv 于是 Stokes公式又可以写作 do=「 最后考虑 Gauss公式, +)d=地Ad+Aax+Ad 若令O=∧d+∧d+zAdy,则 cx a cl do= +=)dx∧d入d 因此 Gauss公式又可以写作do=|o 如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理 定理( Stokes):设S为R中的k(=1,2,3)维流形,其边界为低 维的流形.又设O是S上的一个k-1次微分形式,则有 这个公式统称为 Stokes公式 现在我们已经将 Newton- Leibniz公式, Green公式, Gauss公式 和 Stokes公式统一起来了由这个途径还可以将这些公式推广到高 维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析   = I I df f  . 再考察 Green 公式:   − = + D D dxdy Xdx Ydy y X x Y      ( ) 由于  = Xdx +Ydy .则 d Y x X y  dx dy     = ( − )  . 于是上式又可 以写作   = D D d    . 对于 Stokes 公式 Xdx Ydy Zdz dx dy y X x Y dz dx x Z z X dy dz z Y y Z D S = + + −  + −  + −                 ( ) ( ) ( ) . 若令  = Xdx +Ydy + Zdz,则有 d Z y Y z dy dz X z Z x dz dx Y x X y  dx dy             = ( − )  + ( − )  + ( − )  . 于是 Stokes 公式又可以写作   = S S d    最后考虑 Gauss 公式,     + + =  +  +         dxdydz Xdy dz Ydz dx Zdx dy z Z y Y x X ( ) 若令  = Xdy dz +Ydz dx + Zdx dy, 则 d X x Y y Z z  dx dy dz       = ( + + )   因此 Gauss 公式又可以写作     =  d  . 如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理: 定理(Stokes): 设 S 为 3 R 中的 k(=1,2,3) 维流形,其边界 S 为低 一维的流形.又设  是 S 上的一个 k −1 次微分形式, 则有   = S S d    . 这个公式统称为 Stokes 公式. 现在我们已经将 Newton-Leibniz 公式 , Green 公式, Gauss 公式 和 Stokes 公式统一起来了.由这个途径还可以将这些公式推广到高 维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了